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1、第8章 金属波导,8-1 沿均匀波导系统传播的波的一般分析,所谓“均匀波导系统”（均匀波导）是指无限长的直波导，其横截面的形状和尺寸以及所用的导体和介质的特性沿轴向（纵向）都是不变的。,在前述假设条件下，任意横截面波导的电磁场满足亥姆霍兹方程,1.横向场和纵向场的亥姆霍兹方程,式中,是波数。该方程又称波动方程。,波动方程可分解为六个独立的标量方程,Z方向是一个特殊的方向，电磁波沿z的方向传播，波导横截面各点情形沿着这个方向的变化是一致的。此方向称为纵向，与此方向垂直的方向称为横向。,二.传播模式及其传播特性,波动方程是二阶偏微分方程，满足该方程的解的个数应是无穷多的。它们既可单独出现，又同时出
2、现。这种能够在波导中单独存在的电磁场分布，就称为波导中的波型或模式，简称为波或模。通常按是否存在纵向场将其分为三类：TEM模、TM模、TE模TEM波（横电磁波）Ez=0，Hz=0TM波（横磁波）Hz=0，但Ez0，TE波（横电波）Ez=0，但Hz0,1、TEM波及其存在的条件,TEM波（Hz=0，Ez=0），要使其横向分量不全为0，必须,此时，,则得，,可见，沿波导系统传播的TEM波与无界理想介质中传播的均匀平面波具有相同的传播特性,（1）TM波和TE波导中的传播条件：,kkc或ffc或c,2、TM波及TE波其存在的条件,工作波长，c 截止波长,当kkc时，波将沿着z方向传播，传播因子为,当k
3、kc时，波将沿着z方向呈指数衰减。衰减因子为,，称为衰减常数。,称为相位常数；,截止波长,截止波数Kc,截止频率（或临界频率）,（2）截止特性,分别代表场量沿边a和边b变化的半周期数,（3）波长,工作波长定义：微波振荡源所产生的电磁波的波长。,在波导内，电磁波沿传播方向上相位相差,的两点之间的距离定义为波导波长，记为g，,或,式中,（无界空间中的波长）,波导波长g,截止波长c,相速vp,或,其中,（无界空间中的相速）,（3）传播速度,相速是指波导中合成波的等相位面移动的速度,群速vg,群速（能速）就是电磁波所携带的能量沿波导纵轴方向（z轴）的传播速度。,（无界空间中的相速）,TM波的阻抗,（无
4、界空间中的波阻抗）,或,（4）波阻抗,TE波的阻抗,或,TM波的阻抗,（无界空间中的波阻抗）,TE波的阻抗,从上面的讨论可以看出，与TEM波不同，TM波和TE波的传播特性参数都是频率的函数，称为色散波。当然这种色散不同于导电媒质引起的色散。波导中的色散是由波导的边界条件引起的，故称之为几何色散。,讨论的几个问题：1.波导系统的几种假设2.用亥姆霍兹方程把波导中的场的横向分量用纵向分量表示出来3.依据纵向分量的存在与否，对波导当中的波进行分类，分为TEM波、TM波、TE波4.TEM波、TM波和TE波在波导当中的传播特性,82矩形波导,波导的横截面为矩形，宽边尺寸为a，窄边尺寸为b，材料为良导体（
5、铜，内表面渡银，可视其为理想导体），内为空气或填充介质。矩形波导内不可能存在TEM波。矩形波导的传播模式是TM波和TE波。,一、矩形波导中的TM波,设波的传播方向为z轴方向，TM波的磁场纵向分量为Hz=0，故可通过求解Ez的亥姆霍兹方程并利用矩形波导的边界条件得到Ez，进而得出其全场分量。TM波的其余场分量,TM波的横向分量,式中,分别代表场量沿边a和边b变化的半周期数,求出传播常数,称为TMmn模。显然，m,n皆不可能为0，故最低阶模为TM11。,的每种组合对应于一种可能的传播模式（或波形），,TMmn模的截止频率,TMmn模的截止波长,可见，矩形波导的截止频率截止波长不仅与波导尺寸a、b有
6、关，还与模指数m、n有关。当a、b一定时，随着频率的改变，矩形波导可以单模传播，也可以多模传播。,二、矩形波导中的TE波,设波的传播方向为z轴方向，TE波的磁场纵向分量为Ez=0，此时其余场分量为：,TE模的场分量为,式中,同样，m和n的每种组合对应于一种可能的传播模式（或波形），称为TEmn模。显然，m和n皆可取0，但又不能同时为0。,TEmn模的截止频率,TEmn模的截止波长,可见，TMmn模和TEmn模的截止频率,、截止波长,和TEmn模具有相同的截止参数，这种现象称为模式简并，相应的模式称为简并模式。例如，TM21模和TE21模是简并模式。,的计算公式相同。当m和n取非零值时，,TMm
7、n模,例1.已知矩形波导的横截面尺寸为a8cm，b=4cm，试求频率f=5GHz的微波信号在该波导中传输时，可能存在的波形。,解：由ffc或c判断,：,可见，能传输的波形是TE10,TE20,TE01,TE11,TM11,例2.频率f10GHz的TE10 波在一矩形波导内传播，已知相位常数,试求工作波长、波导波长,以及相速vp,解：设该波导内填充空气，故,则,而,三、主模和单模传输,（一）主模TE10模截止波长最大的模式称为主模，其余则称为高次模。,可见，TE10 模是矩形波导的主模。,（二）TE10模的传播参数,截止波长,截止波数Kc,截止频率（或临界频率）,（1）截止特性,（2）波长,工作
8、波长定义：微波振荡源所产生的电磁波的波长。,在波导内，电磁波沿传播方向上相位相差,的两点之间的距离定义为波导波长，记为g，,或,式中,（无界空间中的波长）,波导波长g,相速vp,或,其中,（无界空间中的相速）,（2）传播速度,相速是指波导中合成波的等相位面移动的速度,群速vg,群速（能速）就是电磁波所携带的能量沿波导纵轴方向（z轴）的传播速度。,（无界空间中的相速）,波阻抗,1.TE10 模的场方程和场结构,TE10 模各个场分量为：,写出瞬时值表达式：,据此可画出矩形波导中TE10 模的场结构（任一时刻，波导中电力线和磁力线的空间分布图），,由图可见,场的各个分量沿宽边a只变化一次,即有一个
9、半驻波分布,是沿窄边b均匀分布,这是因为m=1及n=0的缘故,故m表示场分布沿波导宽边方向的半驻波个数,n表示场分布沿波导窄边方向的半驻波个数。,2、TE10 模的管壁电流,在金属波导的内部，由于介质是无损耗，所以不存在传导电流。但是，当电磁波在金属波导内传播时，其金属壁上将会因感应而产生高频电流，此电流就是金属波导的传导电流。由于电磁波的频率很高，波导管又是用良导体制成，强烈的趋肤效应使得电磁的穿透能力极小。故可视为理想导体管壁上形成了表面电流，又称管壁电流。,管壁电流的面电流密度可由理想导体的边界条件求得：,这里的,在x0处，,在xa处，,可见，波导的两个宽边上，管壁电流的大小、方向都是同
10、相的。,在y0处，,在yb处，,可见，波导的两个窄边上，管壁电流的大小相等，但方向是相反的。,TE10 模的管壁电流,了解波导的管壁电流分布，不仅是研究波导传播时的功率损耗（由导体引起的损耗），而且也有助于在波导上开槽或开孔以达到某种目的。例如，顺着电流线开槽不会影响其内部电场的分布，可作为波导测量线；而横着电流线开槽将使其内部的场辐射出来，可做成辐射器（横天线或者缝隙天线）。,（二）单模传输利用截止波长分布图（称为模式分布图）来分析矩形波导中各种模式的传播状态是很方便的。,当2a时，波导中的所有模式都是截止，称为截止区；,当a2a时，波导中只能传播TE10模，称为单模区；,当a时，波导中将可
11、传播TE10、TE20、TE01、TE11、TM11等多种模式，称为多模区。,因此，实现单模传输的条件是：a2b时a2a，,a2b时2b2a.,横截面的尺寸：,8.4矩形波导中功率(一)传输功率 在行波状态下,传输的平均功率可由波导横截面上的坡印亭矢量的积分求得,即,当传输TE10模时,Ex=0,若波导中填充空气介质,则,(二)功率容量;E0用波导内媒质的击穿电场强度Ebr来代替(对于空气媒质Ebr=30kV/m),便得到行波状态下波导传输TE10模的功率容量Pbr,即,上面功率容量的计算公式是在行波状态下导出的,实际传输线上总有反射波。在行驻波状态下,矩形波导传输TE10模的功率容量为,图
12、3614,传输功率与波长的关系：,37 圆波导,波导截面为圆形的波导称为圆波导。它具有损耗较小和双极化的特性,常用于天线馈线中,也可作较远距离的传输线,并广泛用作微波谐振腔。,8.5 波导的激励与耦合,波导的激励(enouraging)在波导中产生导行模。微波源在波导内壁的有限空间辐射，产生所需的模式波导的耦合(coupling)从波导特定模式场中提取能量。激励与耦合的场结构要和原波导中场结构相同 本节要点：,电激励磁激励电流（孔缝）激励,激励的必要条件：电激励：激励源附近产生的电力线的形状和方向和要产生的波形电力线的形状和方向一样。磁激励：激励源附近产生的磁力线的形状和方向和要产生的波形磁力
13、线的形状和方向一样。电流激励：激励源附近产生的电流线的形状和方向和要产生的波形电流线的形状和方向一样。,1.电激励(electrical encouragement),将同轴线内的导体延伸一小段沿电场方向插入矩形波导内构成探针激励，由于这种激励类似于电偶极子的辐射，故称电激励。通常置于所要激励模式的电场最强处,在探针附近，电场强度会有Ez分量，电磁场分布与TE10模有所不同，而必然有高次模被激发。,调节探针插入深度和短路活塞位置，可以使同轴线耦合到波导中去的功率达到最大。,短路活塞的作用？,2.磁激励(magnetic encouragement),将同轴线的内导体延伸一小段后弯成环形，将其端
14、部焊在外导体上，然后插入波导中所需激励模式的磁场最强处，并使小环法线平行于磁力线，由于这种激励类似于磁偶极子辐射，故称为磁激励。可连接一短路活塞以提高耦合功率。耦合环不容易和波导紧耦合，而且匹配困难，频带较窄，最大耦合功率也比探针激励 小，在实际中常用探针激励。,3.电流激励(current encouragement),在两个波导的公共壁上开孔或缝，使一部分能量辐射到另一波导去，以此建立所要的传输模式。由于波导开口处的辐射类似于电流元的辐射故称为电流激励。,小孔耦合最典型应用是定向耦合器,小孔耦合及其等效,8.7圆波导,波导截面为圆形的波导称为圆波导。它具有损耗较小和双极化的特性,常用于天线
15、馈线中,也可作较远距离的传输线,并广泛用作微波谐振腔。,一、圆波导中的场分布;采用与矩形波导相类似的分析方法,分别求出圆波导中TM模与TE模的场分布。同样圆波导中可能存在无穷多个模式,分别用TMmn模和TEmn模表示。其中下标m=0,1,2,表示场沿半圆周方向的半驻波数;下标n=1,2,表示场沿半径方向的半驻波数。根据场分布和边界条件,可分别求出TM模和TE模的截止波长c与圆波导半径R的关系式。表列出了几种TM模与TE模的c值。,圆波导中几种模式的截止波长c值,图 372,圆波导中截止波长c的计算公式为,(TE模),(TM模),二、圆波导中三个主要模式;圆波导中有无限多个模式存在,最常用的三个
16、主要模式为TE11、TE01和TM01模。(一)TE11模(c=3.41R)TE11模的场结构图。其中图(a)表示横截面上的电磁场分布;图(b)为纵截面上的电场分布;图(c)为波导壁上的壁电流分布。,(二)TE01模(c=1.64R)TE01模的场结构。其中图(a)为横截面上的电磁场分布,图(b)为纵截面上电磁场分布,图(c)为壁电流的分布。,TM01模的场结构图。,图 375,由图可见,磁场只有H分量,是具有轴对称分布的圆磁场;电场有Ex分量,是在r=0处Ez最大;壁电流只有纵向分量Jz。因此适用于作微波天线馈线旋转铰链的工作模式。由于它具有Ez分量,便于和电子交换能量,可作电子直线加速器中
17、的工作模式。但由于它的管壁电流具有纵向电流,故必须采用抗流结构的连接方式。,(三)TM01模(c=2.62R),一.传播模式及其传播特性,波动方程是二阶偏微分方程，满足该方程的解的个数应是无穷多的。它们既可单独出现，又同时出现。这种能够在波导中单独存在的电磁场分布，就称为波导中的波型或模式，简称为波或模。通常按是否存在纵向场将其分为三类：TEM模、TM模、TE模TEM波（横电磁波）Ez=0，Hz=0TM波（横磁波）Hz=0，但Ez0，TE波（横电波）Ez=0，但Hz0,1、TEM波及其存在的条件,TEM波（Hz=0，Ez=0），要使其横向分量不全为0，必须,此时，,则得，,可见，沿波导系统传播
18、的TEM波与无界理想介质中传播的均匀平面波具有相同的传播特性,这样以来，TM波和TE波导中的传播条件可表示为,kkc或ffc或c,2、TM波及TE波其存在的条件,截止频率,截止波长,式中,（无界空间中的波长）,波导中的相速,或,其中,（无界空间中的相速）,TM波的阻抗,（无界空间中的波阻抗）,TE波的阻抗,因此，实现单模传输的条件是：a2b时a2a，,a2b时2b2a.,例：空气填充的金属波导内传播TE10模，已知波导宽边a=2cm，窄边b=1cm。测得波导内的最大电场Emax5103V/m、波导波长g4.5cm；试确定该波的工作频率，相位常数、相速、波阻抗，并写出各个场分量表达式。,例5.1
19、0 国产紫铜矩形波导尺寸为a=2.286cm,b=1.016cm(型号为BJ=100,这里BJ表示标准矩形波导,(100108 Hz表示中心频率)。(1)内部为空气,当工作于f=10 GHz时,该波导能传输什么模式?(2)若充填r=4 的理想介质,能传输的模式有无改变?解(1)内部为空气时的工作波长为,对TE10模,c=2a=4.572cm;对TE20模,c=a=2.286 cm;其它模c更短。因此该波导仅能传输TE10模。,(2)对充填r=4 理想介质的波导,媒质波长为,可见对TE10和TE20模均有c。除它们能传输外,还可能传播其它模式。对TE01模,c=2b=2.032cm;对TE11和
20、TM11模,;对TE30模,c=2a/3=1.524cm;对TE21和TM21模,。以上这些模都能在此波导中传输。,一.传播模式及其传播特性,波动方程是二阶偏微分方程，满足该方程的解的个数应是无穷多的。它们既可单独出现，又同时出现。这种能够在波导中单独存在的电磁场分布，就称为波导中的波型或模式，简称为波或模。通常按是否存在纵向场将其分为三类：TEM模、TM模、TE模TEM波（横电磁波）Ez=0，Hz=0TM波（横磁波）Hz=0，但Ez0，TE波（横电波）Ez=0，但Hz0,1、TEM波及其存在的条件,TEM波（Hz=0，Ez=0），要使其横向分量不全为0，必须,此时，,则得，,可见，沿波导系统
21、传播的TEM波与无界理想介质中传播的均匀平面波具有相同的传播特性,这样以来，TM波和TE波导中的传播条件可表示为,kkc或ffc或c,2、TM波及TE波其存在的条件,截止频率,截止波长,式中,（无界空间中的波长）,波导中的相速,或,其中,（无界空间中的相速）,TM波的阻抗,（无界空间中的波阻抗）,TE波的阻抗,因此，实现单模传输的条件是：a2b时a2a，,a2b时2b2a.,习 题,5.2 矩形波导的横截面尺寸a=22.86 mm，b=10.16 mm，将自由空间波长为2 cm，3 cm和5 cm的信号接入此波导，问能否传输？若能，出现哪些模式？,6.3 矩形波导截面尺寸ab=23 mm10
22、mm，波导内充满空气，信号源频率为10 GHz，试求：(1)波导中可以传播的模式；(2)该模式的截止波长，相移常数，波导波长及相速。5.4 试证明工作波长，波导波长g和截止波长c满足以下关系：,6.4 什么叫模式简并？6.5 为什么一般矩形(主模工作条件下)测量线探针开槽开在波导宽壁的中心线上？,5.5 谐 振 腔,图 7-25 空腔谐振器及其耦合方式,5.5.1 波导谐振腔的谐振频率,应用z=0处Et=0的边界条件知,B=-A,得,然后由z=d 处Et=0 的条件得sin kzl=0,故,这表明,谐振腔必须是谐振模的半波长的整数倍长。,我们用TEmnp和TMmnp来标记谐振腔中的谐振模,n
23、和p分别是场分量沿x,y和z向变化的半周期数。其截止波数为,TEmnp或TMmnp模的谐振角频率为,TEmnp或TMmnp模的谐振频率为,若bad主谐振模(谐振频率最低)将是TE101模,对应于长g/2的短路波导中的TE10主波导模。,5.5.2 TE101模,因kz=/l,令E0=-j2AE10,上式可简化为,例。有一填充空气的矩形谐振腔，其沿着x，y，z方向尺寸分别为（1）abl(2)alb;(3)a=b=l。试确定相应的主模和谐振频率。,图 TE101模的电磁场分布,实际的谐振腔总存在一定的损耗。若无外源补充,振荡一段时间后,腔中全部电磁能将变为热能。为了衡量谐振器件的损耗大小,一个重要
24、参数是Q值即品质因素(Quality factor),它定义为,即,式中0为谐振角频率,W=We+Wm为腔中时间平均电、磁储能之和,P为腔中时间平均功率损耗。,对TE101模,因,故有,对于低损耗情况,导体损耗功率为,(式中已代入,因d=g/2。),于是,因导体损耗所引起的空腔Q值为,若空腔中媒质0,将存在欧姆电流 J=E,由此引起的介质损耗功率为,这样,由介质损耗所引起的空腔Q值为,这一公式对任意谐振模都是适用的。最后,当同时存在导体损耗和介质损耗时,总损耗功率为Pc+Pd,从而总Q值为,例 7.11 由紫铜矩形波导BJ-48(a=4.755cm,b=2.215 cm)制成谐振腔,其中充填聚乙烯(r=2.25,tg=0.0004)。要求工作于主模,谐振频率为f0=4.8 GHz,试确定长度l并求其Q值。解其波数为,令谐振模为 TE101模,得,可见,TE101谐振频率最低,是主模。,紫铜的表面电阻为媒质波阻抗为,总Q值为,可见,谐振腔Q值要比一般集中参数RLC谐振电路高很多。介质损耗对Q值有重要影响,因此高Q的设计应采用空气介质。,
