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1、第二节 一阶微分方程,一、可分离变量的微分方程,二、齐次方程,三、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,例如,线性的;,非线性的.,三、一阶线性微分方程,齐次线性方程的通解为,1.齐次线性方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2.非齐次线性方程,讨论,两边积分,非齐次线性方程通解形式,与齐次线性方程的通解相比:,常数变易法,把齐次线性方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例1,例2 如图所示，平行于 轴的动直线被曲
2、 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,例 3,解,即,解,分离变量法得,所求通解为,例4 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,1.齐次方程,2.线性非齐次方程,思考题,求微分方程 的通解.,解：,练习,判别下列方程类型:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,2,2,A,B,B,可降阶高阶微分方程,第四节,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.,型的微分方程,例1.,解:,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,例2.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,
