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1、第三章 静态场的解法,本章内容3.1 静态场边值问题及唯一性定理3.2直接积分法3.3在直角坐标系中的分离变量法3.4在圆柱坐标系和球坐标系的分离变量法3.5镜像法3.6静态场的数值解法,3.1 静态场边值问题及唯一性定理,静态场的问题大体上可分为两类：（1）分布型问题（2）边值型问题常遇到的边值问题有三种：（1）全部边界上的位函数是已知的，称为第一类边值问题，又称为狄利克雷（Dirichlet）问题。（2）全部边界上的法线方向的位函数的导数是已知的，称为第二类边值问题，又称为纽曼（Neumann）问题。,（3）混合边值问题，又称为第三类边值问题，它是第一类和第二类边值问题的混合型。静态场的边
2、值问题有多种求解方法，大体可分为以下几种：（1）直接求解法：直接积分法、分离变量法、格林函数法等。（2）间接求解法：复变函数法、镜像法等。（3）数值计算法：有限差分法、有限元法、矩量法等。,唯一性定理：不管用什么方法，可以如上任何一种方法，也可以依靠判断猜出解答，只要在给定区域内满足所要求解的微分方程，并满足给定的全部边界条件，那么这个解答就是静态场的唯一解答。,3.2直接积分法,下面举几个例子来介绍这种方法的应用。例 空间电荷区如图所示，在-l0区域内为负电荷，在0l区域内为正电荷，且电荷分布函数为=Kqx（x范围为-lxl，K为比例常数）。取x=0为电位参考点，在x=l处电场为零。求在-l
3、xl范围内的电位分布和电场分布。,解：在-lxl范围内，电位 满足泊松方程（为材料的介电常数）从图可以看出，电位函数 是x的函数，即=（x）对上式进行积分,例3.2.2 有一个半径为R的球体，均匀分布着体电荷密度为的电荷。设球内、外介质的介电常数为 和。求球内、外的电位分布和电场强度分布。解：由于球体具有球对称分布，取球坐标系，电位为半径r的函数，与坐标和无关，即=（r），则 在球内：,在球外：,在球体表面根据边界条件可知在r=R处有,对式（3.11）进行积分得,3.3在直角坐标系中的分离变量法,如果边界面的形状适合用直角坐标系表示，那么可以在直角坐标系中求解。在直角坐标系中，位函数的拉普拉斯
4、方程为,位函数是x、y、z的函数，可以表示成三个单变量未知函数的乘积（3.49）式中f(x)仅为x的函数；g(y)为y的函数，h(z)为,z的函数，得上式除以 得,上式第一项仅是x为变量的函数，与y和z无关；而第二项仅随y而变化，第三项仅随z而变化。所以式（3.50）成立的唯一条件是这三项中每一项都是常数。令第一、二、三项分别为常数，即,三个常数满足的关系式为,（3.54）,这样就把偏微分方程（3.48）变成了三个常微分方程，这种方法就是分离变量法。三个常微分方程（3.51）（3.53）可以改写为,下面讨论拉普拉斯方程对二维位场的求解问题。所谓二维位场即是,于是有,例3.3.1 两块彼此平行的
5、半无限长接地金属板，板间距离为b，两平行板的一端另一块电位为 的极长的金属条，它们之间缝隙极小，但彼此绝缘，如图3.2所示。求两板间的电位分布。解:给定的边界条件为,例3.3.2 两块完全相同的T形导体构成导体槽，两块T形导体间有一狭缝，如图3.3.2(a)所示。上板所加的电压为U0，下板接地。求金属槽内的电位分布。,图3.3.2 例图,解：本题所给的场可以分解为两个场的叠加，分解后的两个场如图3.3.2(b)(c)所示。槽内的电位分别为x、y的函数，是一个二维场问题。分解后第一个场是两个距离为d的无穷大的平行板，上板电压为U0，下板接地，其解为,(3.3.23),第二个场电位为2，是两个电位
6、为零的无穷大的平行板，并且在x=0处2满足,那么金属槽内的电位分布的解为=1+2，分别求出1和2，也就得出来了，根据唯一性定理，即是要求的唯一解答。1已知，见（）式，下面求出2。,由例的讨论，2可表示为,(3.3.24),式中Cn由x=0处的边界条件求出，即,可以确定傅里叶系数Cn为,则,(3.3.25),金属槽内的电位分布为,(3.3.26),3.4 在圆柱坐标系和球坐标系的分离变量法,1.在圆柱坐标系的分离变量法,在圆柱坐标系中，拉普拉斯方程为,(3.4.1),下面讨论电位不随纵向（z方向）变化的二维场问题，即仅为r和变化的情况。此时拉普拉斯方程变为,(3.4.2),设（）式中R(r)仅为
7、r的函数，把式（）代入到式（）中得,(3.4.4),式（）第一项是关于r的函数，第二项是关于的函数，要使上式对于所有的r和都成立，必须每项都等于一个常数，于是有,（）,(3.4.6),对式（）求解，其解为,(3.4.7),对于所研究的实际问题，位场是单值的，则有,所以k必须为整数，令k=n，于是式（）变为,(3.4.8),用n代替k，并把式（）改写为如下形式,(3.4.9),它是一个欧拉方程，其解为,(3.4.10),（）,式中的系数由边界条件确定,2.在球坐标系的分离变量法,球坐标系中的拉普拉斯方程为,在球坐标系中具有轴对称的二维场的解,式中常数Am、Bm由边界条件决定。,例3.8 无限大介
8、质外加均匀电场，在介质内有一个半径为a的球形空腔，介质的介电常数为，求空腔内、外的电位分布及电场强度。,解 本题为球坐标系中具有轴对称性的二维场问题 在空腔内的通解为,在介质中的通解为,下面利用边界条件确定各个系数。,所以B1=0 系数A1、C1、D1可以由r=a时的边界条件求出，当r=a时由1=2 所以可以得出 A1acos=（C1a+D1a-2）cos,3.5镜像法,镜像法最简单的情况是点电荷对无限大平面的镜像问题。在无限大接地导体平面上方的空气中放置一个电荷q，距平面距离为h，如图所示，要求出这个无限大接地导体平面上方任意一点的电位,那么可以设想在平面下方有一个镜像电荷-q，在所研究的区
9、域即平面上方的电位为点电荷q产生的电位和镜像电荷-q产生电位的叠加。,图3.5.1 镜像法求解点电荷与无限大接地导体平面形成的位场,建立一个坐标系，如图所示，可以很方便地求出平面上方任意一点的电位分布及无限大接地平面上的电荷分布。,图3.5.2 在直角坐标系中求解点电荷与无限大接地导体平面问题,从图可以看出 R=x2+y2+（z-h）21/2 R=x2+y2+（z+h）21/2所以在平面上方空间任意一点P的电位为,平面上方空间任意一点P的电场强度为,无限大接地导体平面的面电荷分布为,例3.9 相交成直角的接地导体平面AOB附近有一个点电荷q，如图3.10所示，中间介质为空气，求空间任意一点P的
10、电位。,图3.10直角形导体平面的镜像,解:点电荷q位置为（h1,h2,0），在OA面的镜像为-q，位置在（-h1,h2,0）。在OB面的镜像为-q，位置在（-h1,h2,0）。按照平面镜像法则还应该成第三个镜像位置在（-h,-h2，0），第三个镜像为q。这样点电荷q与三个镜像电荷共同作用才能满足原来的边界条件在导体平面AOB上的电位为零。所以本问题可以用三个镜像电荷代替相交成直角的接地导体平面AOB。得到P点的电位为,例3.10 一根无限长直导线与地面平行，设导线半径为a，高出地面的高度为h(ha)，求单位长度导线对地的电容。,图3.11无限长直导线的镜像法,解:本题可以采用镜像法求解，无限
11、长的直导线的线电荷密度为l，则地面这个边界可以用镜像的线电荷密度为-l的直导线代替，如图所示。,原导线在P点的电场强度为,同理镜像电荷的电位为,所以由镜像法可知，地面上方任意一点P的电位为,则直导线的电位为,所以单位长度导线对地的电容为,例3.11 有一个接地导体球半径为a，与球心O相距d1的位置P1点有一个点电荷q1如图所示，试求：(1)导体球外的电位函数；(2)球面上感应的面电荷密度；(3)球面上总感应电量。,图3.12 点电荷对导体球的镜像,解（1）导体球接地时，导体表面电位处处为零。下面在球内区域找到一个镜像电荷q2，用q2来代替球形边界。在球面上任取一点P，则P点的电位为零，即,上式
12、对球面上任意一点都是成立的，那么可以在球面上取两个特殊点：一个是OP1与球面的交点，另一个是OP1的延长线与球面的交点，于是有,由上面两个方程联立解得,这样球外任意一点P的电位为,以O为中心建立球坐标系，设OP与OP1夹角为,所以,由在r=a时的边界条件可知,（3）球面上总感应电量为,计算结果表明，球面上总感应电量等于镜像电荷的电量。,3.6静态场的数值解法,数值积分法 电磁场分布型问题可以利用数值积分法计算。例如，可以在各向同性电介质中的电场强度E和电位,式中为源区。如为体分布，则需对V体积分；如为面分布，则需对S面积分；如为线分布，则需对l线积分。,再如对于一闭合回路l，电流为I，在场点的
13、磁感应强度B和矢量磁位A也可以通过数值积分法计算,诸如此类的电磁场问题很多，通过矢量计算都可以得到数值积分问题。数值积分的算法很多，如梯形求积算法、辛普生求积算法等。下面通过一个例子介绍梯形求积算法。,例3.6.1 求均匀带电直导线的中垂线上一点P的电场强度，设带电直导线的长度为l，带电量为q。,解:取棒的中点为坐标系原点，在带电体上取电荷元,图3.6.1 例用图,（这里加“”表示源点），则dq和P点的电场强度的大小为,根据对称性可知，P点的电场强度只有x分量，而y分量Ey=0，即,现在对上式进行数值积分，把被积函数f(x)在积分区间(a,b)取N个小梯形，则第n个小梯形的面积为f(xn)xn
14、，则f(x)在(a,b)上的积分为,按照梯形算法，每一个小梯形区间宽度为，第n个梯形采样点为,则,然后编写程序计算数值解。,2.有限差分法 在一个闭合边界L所界定的平面域，其定解问题可表述为,首先是把求解的场域离散化，即在求解的场域划分成网格，网格的划分有许多种方法，最简单的是正方形网格划分，如图所示。然后对偏微分方程进行离散化，对正方形网格可采用五点差分格式。在二维场域中取一点P，则沿x轴方向并通过P点的直线上任意一点的数值ux用泰勒公式展开为,式中h=（x-xP）很小时，4阶以上的高次项可以忽略。P点与其相邻的四个网格点构成了五个网络点，如图所示。,图二维场域的正方形网格剖分 图3.15正
15、方形网格的五点差分格式,则1点的值为,3点的值为,上两式相加得,同理,取P点为（xi,yi），则uP=ui,j；u1=ui+1,j；u2=ui,j+1；u3=ui-1,j；u4=ui,j-1。则有ui,j=1/4（ui+1,j+ui,j+1+ui-1,j+ui,j-1-h2F）,例3.6.2 如图所示为一长直接地金属槽，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位的相对值为10，试求槽中的电位分布。解:在金属槽中,题中的边界构成第一类边值问题,按照有限差分法，本题的解题过程如下：,1）离散化场域。用正方形网格对场域D进行剖分，剖分越细计算精度越高。根据工程需要，沿x、y方向的等分数应取p=30以上，本题中
16、为了形象直观，沿x、y方向的等分数均为p=4，步距h=a/4，如图所示。,图3.6.4 例图,图场域离散化,（2）采用超松弛迭代法，本题中F=0，得到差分方程的迭代运算形式为,式中加速收敛因子可以通过一定的方法估算给出，本题中加速收敛因子的最佳取值通过估算取为opt=1.17,（3）给出边界条件和初始值。因为本题中给定的是第一类边界条件，则边界条件的差分离散化应采用直接赋值方式，即,给定其他网络点的初始值。可取初始值都为零，但需迭代次数较多，一般可按照其数值规律设定。如本例中可设网格内点的初始值为,（4）给出计算流程框图。流程框图中要给定迭代解收敛指标，如本例中可以设DF=10-5，即当各网格
17、内点相邻二次迭代近似值的绝对误差的绝对值小于DF=10-5时，终止迭代循环。（5）编写计算程序。可以采用许多编程语言来编写，如Fortran77、C语言、MATLAB语言等，这里不再给出,4.有限元法 以下面的二维拉普拉斯方程的第一类边值问题为例来分析有限元法的原理。设在曲线C为边界的场域S内，电位函数的边值问题为,在场域S内的电磁能量为,可以看出，电场能量W是电位的函数，称为能量泛函。,（）,可以证明，在边界条件（）下，使电场能量W取得极小值的电位函数，必定满足式（）。这样，原来的电位函数关于边界条件求解的问题等价为求泛函极限问题,（）,然后对场域进行剖分与插值，把变分问题离散化。场域的剖分方法很多，二维场域最常用的是三角形单元剖分，如图所示，各三角形单元的形状和大小可以是任意的，可以很好地适应边界形状。场域三角形剖分的原则是：任何一个三角形单元的顶点必须同时为其相邻三角形单元的顶点，相邻的单元既不能相互重叠也不能相互分离，各单元节点编号顺序一律按逆时针方向进行。线性插值是最常用的方式。场域中任取一个单元e，如图所示，其三个顶点编号顺序标记i、j和m。,
