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1、,第三节 函数的极限,函数极限的性质,函数在无穷远点的极限,函数在一点的极限,2,函数自变量变化过程的六种形式:,3,一、函数在一点(one-point)的极限,4,考虑空心邻域，是什么意思？,考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什么，但是，在附近必须要有定义。,例1,5,例2,6,1.定义,恒有,定义,任何极限定义都是“四句话”结构。,7,(1)定义中的,f(x)有没有极限与在点x0,是否有定义无关.,(2)定义中 标志x接近x0的程度,也将越小.,(3)不要求最大的,表示,一般,越小,只要求 存在即可.,8,必存在x0的去心邻域,对应的函数图形位于这一带形区域内
2、.,带形区域,9,一般说来,应从不等式,出发,推导出应小于怎样的正数,这个正数就是要找的与 相对应的,这个推导常常是困难的.,但是,注意到我们不需要找最大的,所以,适当放大些,的式子,变成易于解出,找到一个需要的,找到,就证明完毕.,可把,10,例,证,11,例,证,函数在点,处没有定义.,要使,12,练习,证明,证,要使,只要,取,13,3.左、右极限(单侧极限),两种情况分别讨论!,14,左极限,右极限,或,15,且,16,试证函数,证,左、右极限不相等,故,例,17,左、右极限存在,证,故极限不存在.,例,但不相等,讨论,的存在性.,18,练习,设函数,答案,19,二、函数在无穷远点(i
3、nfinite point)的极限,设对充分大的x,函数 处处有定义.,如果随着x的无限增大,相应的函数 就,无限接近某一常数 A.,20,用数学语言刻划,问题,表示,表示,无限增大.,1.定义,定义,无限接近、,21,2.另两种情形,22,解,但不相等.,23,在x的该种趋向下,例,都不存在.,不存在.,总结一下,x的趋向一共有六种:,24,图形,完全落在:,25,例,证,要使,成立.,只要,有,26,图形的,水平渐近线,直线,27,证,要使,只要,有,28,三、函数极限的性质,函数极限与数列极限有类似的性质,且证明方,法也类似.以自变量趋于有限值时函数的极限说明.,定理1（唯一性）,定理2
4、（局部有界性）,若极限 存在，则它是唯一的.,若 存在，则存在 的某去心邻域，使得 在 内有界,29,定理2(局部有界性),f(x)有极限,30,定理3(局部保号性),证,(1)设A0,取正数,即,有,自己证,31,只要取,便可得更强的结论:,证,(1),也即,(2),自己证.,定理3(1)的证明中,不论,定理,32,证,假设上述论断不成立,那末由(1)就有,在该邻域内,这与,所以,类似可证 的情形.,假设矛盾,若定理3(2)中的条件改为,必有,不能!,如,思考,是否,定理3,33,1.函数极限的,或,定义;,2.函数极限的性质,局部保号性;,唯一性;,局部有界性;,函数极限与数列极限的关系;,3.函数的左右极限判定极限的存在性.,内容小结,34,极限定义中 与 的关系是().,B,(1),思考练习,35,C,36,(3),试证,提示,限定,37,练习册(37页),1；5（3）；6（2）,课后作业,
