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1、,多元微积分,第七节 高阶偏导数,多元函数的高阶导数与一元函数的情形,在区域 内,函数 z=f(x,y)的偏导数,仍是变量 x,y 的多元函数,如果偏,导数,仍可偏导,则它们的偏导数就,是原来函数的二阶偏导数.,依此类推,可定义多元函数的更高阶的,导数.,类似,一般说来,一般地,若函数 f(X)的 m1 阶偏导数仍可偏导,则称其偏导数为原来函数的 m 阶偏导数.,二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数,其中,关于不同变量的高阶导数,称为混合偏导数.,高阶偏导数还可使用下列记号,二元函数的二阶偏导数共 22=4 项,共 23=8 项.,并发现求高阶导数与求导顺序有关.,解,先求一阶偏导数：,再求
2、二阶偏导数：,解,二阶混合偏导数：,发现两个混合偏导数相等,一般性？,这里的两个混合偏导数均连续,设,求,解,需按定义求函数在点(0,0)处的偏导数:,0,0,不相等,这说明只有在一定的条件下求函数,的高阶偏导数才与求导顺序无关.,想想应是什么条件？,定理,则必有,废话!求出偏导数才能判断连续性,这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了,还要定理干什么.,有些函数不必求出其导数,就可知道它的导函数是否连续.懂吗！,证,令,则,由二阶混合偏导数的连续性,可知函数,值定理得,即,关于变量 y 再运用拉格朗日中值定理,得,同理,令,则,先关于变量 y 再关于变量 x 运用拉格朗日中值,定理,得,故,由二
3、阶混合偏导数连续性,取极限后,即得定,理的结论.,该定理的结论可推广到更高阶的混合偏导数的情形.,现在问你,证明定理时为什么会想到用,？,看 图,课后再想,引入记号：,在,内有直到 k 阶的连续偏导数,记为,时,则在求 n 阶及 n 阶以下,的偏导数时,可大大减少运算次数.自变量,二元函数的 n 阶偏导数就有 2n 项,当,的个数越多,求导与求导顺序无关的作用越,明显.,解,求,解,解,偏微分方程,解,这是一维传热方程的基本解.,比较后,得,解,这是求隐函数的高阶偏导数.,请自己计算,解,令,即,同理可得,将上述偏导数带入原方程,得到,表示为极坐标形式.,解,我们选择一种复合方式进行运算,另外
4、的一种方式同学们课余可试一下.,极坐标系：,设,将二维拉普拉斯方程,表示为极坐标形式.,解,极坐标系：,分别对上式两边关于x 和 y 求导,得到方程组,和,解方程组得,类似可求出,综上所述,拉普拉斯方程的极坐标形式为,通常称,为二维拉普拉斯算子,为三维拉普拉斯算子.,利用算子可以方便地表示,高阶微分,泰勒公式,高 阶 微 分,存在,且,高 阶 微 分,存在,且,记为,u=f(x,y)的二阶全微分表达式,即,引进算符运算记号：,则,到 k 阶的微分:,解,而,故,此题也可先求du,再由 d(du)求 d2u.课后不妨一试.,解,又,故,与求多元函数的偏导数的方法类似,我们想借助一元函数的泰勒公式来建立,多元函数的泰勒公式.,首先,将一元函数的泰勒公式写成微分形式,(x 为自变量)：,运用点函数进行推广,定理,(多元函数的泰勒公式),内有,其中,称为拉格朗日余项.,该公式称为多元函数泰勒公式的微分形式,由多元函数高阶微分式：,多元函数的泰勒公式可写成一般形式：,令,则,于是由一元函数的泰勒公式,再按多元函数的求导法则求出各阶导数值,即,可得到多元函数的泰勒公式.,取 X0=0,泰勒公式即为马克劳林公式.,证,即取 m=0,由已知条件及 X0 的任意性,立即可得,
