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1、 4.5 双 曲 面,1.单叶双曲面,定义 4.5.1 在直角坐标系下，方程,（4.5-1）,所表示的曲面叫做单叶双曲面，,方程（4.5-1）叫做,单叶双曲面的标准方程，,其中,是任意的正常数.,现在我们从方程(4.4-1)出发来讨论椭球面的一些最简单的图形性质.,单叶双曲面与z轴不相交，,与x轴与y轴分别交于点,这四点叫做单叶双曲面的,顶点.,因为方程仅含有坐标的平方项，可见当,满足方程时，,点,也一定,关于三坐标平面，,三坐标轴及坐标原点都对称.,满足，,其中正负号可任意选取，,所以单叶双曲面,（1）对称性,（2）顶点,1.单叶双曲面关于坐标原点、各坐标面、坐标轴对称,单叶双曲面与x和y坐
2、标轴的交点分别为,这四个点叫做单叶双曲面的顶点,与z轴没有交点,下面继续讨论一般单叶双曲面的形状特点.,对称性已经讨论,利用平行截割法即平行平面的截口来研究曲面图形的方法.,如果用三个坐标平面,分别截割曲面，那么所得的截线顺次为,y,x,z,o,这三个截口叫做主截线,（1）,（2）,（3）,(1),(2),(3),当我们用一组平行平面,来截割单叶双曲面(4.5-1)，便得到椭圆,（4）,它的两半轴分别是,两轴的端点分别为,容易知道这两对端点分别在主双曲线(2)与(3)上.,(2),(3),单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生的，,这个椭圆在变动中,这样，,保持所在的平面
3、与,面平行，,且两对顶点分别沿着两个定双曲线(2)与(3)滑动,单叶双曲面,那么截线为？,先看方程是什么,如果用平行于,的平面,来截割单叶,双曲面(4.5-1)，那么截线的方程为：,（2）,当,时，,截线(2)为双曲线，,轴，,实半轴长为,它的实轴平行于,虚半轴长为,且双曲线(2)的顶点？,轴，,实半轴长为,虚半轴长为,且双曲线(2)的顶点,在腰椭圆(1)上,（2）,顶点在腰椭圆上,y,x,z,当,时，,截线仍为双曲线，,但它的实轴平行于z轴，,实半轴长为,虚半轴平行于x轴，,虚半轴长为,而且它的顶点,在主双曲线上.,当,时，,截线仍为双曲线，,但它的实轴平行于z轴，,实半轴长为,虚半轴平行于
4、x轴，,虚半轴长为,而且它的顶点,在主双曲线上.,y,x,z,当,时，,截线变成,或,这是两条直线,或,或,当,时，,截线变成两条直线,或,当,时，,截线变成两条直线,如果,那么两条直线交于(0,-b,0).,如果,那么两条直线交于点(0,b,0),(0,b,0),(0,-b,0),y,x,在单叶双曲面方程中，如果,那么它就成为,单叶旋转双曲面(4.3-3).,方程,与,所表示的图形，也都是单叶双曲面.,如果,那么两条直线交于(-a,0,0).,如果,那么两条直线交于点(a,0,0),求这些椭圆焦点得轨迹。,解,这一族椭圆的方程为,即,因为，所以椭圆的长半轴为，短半轴为，从而椭圆焦点的坐标为,消去参数 得,显然这族椭圆焦点的轨迹是一条在坐标面 上的双曲线，双曲线的实轴为 轴虚轴为 轴。,思考与练习：第166页.1.4.作业：第166页.3.5.,
