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1、高等土力学,谢康和,3 固结理论Consolidation Theory,3.1 概述3.2 一维固结3.3 太沙基二、三维固结理论3.4 Biot固结理论,3.1 概述,固结理论描述土体固结行为的数学模型及其解答。固结（渗流、变形两者缺一不可）土体在荷载作用下，土中孔隙水逐渐排出（气体压缩或溶解或排出）超静孔压逐渐消散，有效应力随之增大，变形不断发展直至稳定的过程。固结理论与土力学学科关系：固结理论在土力学中占据非常重要的地位。没有固结理论，土力学将与固体力学无殊，也就没有土力学。1925年太沙基建立一维固结理论，标志着土力学作为一门独立的学科而诞生。固结=渗流+变形=流固藕合 s u（h）
2、s 土力学 流体力学 固体力学土的变形和强度均与土体的固结密切相关。,3.1 概述,现有理论：,3.1 概述,浙大濱海中心研究概况：国家自然科学基金四项，博士点基金两项，浙江省自然科学基金两项。(1)砂井地基非理想固结理论研究与参数确定(1991-1993,No.59009506),国家自然科学基金项目,负责。(2)成层饱和软粘土地基大应变固结理论研究(1997-1999,No.59679015),国家自然科学基金项目,负责。(3)成层饱和软粘土地基大应变非线性流变固结理论研究(2001-2003,No.50079026),国家自然科学基金项目,负责。(4)复杂条件下竖向排水井地基固结理论研究
3、（2007-2009,No.50679074),国家自然科学基金项目,负责。(5)成层各向异性土固结理论与试验研究(1996-1998,No.9533527),国家教育部高校博士点基金项目,负责。(6)软粘土地基非单调压缩固结理论研究(2004-2006,No.20030335027),国家教育部高校博士点基金项目,负责。(7)软土地基大变形固结性状(1994-1995,No.593077),浙江省自然科学基金项目,参加(8)考虑土体动力固结时桩基水平振动特性研究(2005-2006,No.Y104423),浙江省自然科学基金项目,参加。,3.2 一维固结（One dimensional Co
4、nsolidation）,一維（单向）固结：渗流和土体变形仅发生在一个方向。背景：室内 一维固结试验（侧限）；实际 荷载分布，面积无穷大；或H/B较小时，荷载中心点处。,3.2.1 太沙基一维固结理论一.固结模型与基本假定基本假定：土体是完全饱和的均质线弹性体（实际土体呈非线性、粘弹性、成层性）；土体固结变形是微小的（当土压缩性很大，比如泥浆，或荷载很大，土体将发生大变形）；土颗粒和孔隙水不可压缩（但土骨架可压缩）；,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,土中渗流服从Darcy定律（但也有不符合的情况）；土中渗流和变形仅发生在荷载作用的方向上（实际情况往往是二、三维的）；土体的压缩性
5、在固结过程不变（即压缩系数或压缩模量为常数。但实际土体的压缩性随有效应力的增大而减小，即在固结过程中是变化的）；土体的渗透性在固结中不变（即渗透系数为常数。但实际土体的渗透性也随有效应力的增大而减小）；外部荷载连续分布且一次骤然（瞬时）施加（实际荷载是逐渐施加的）。,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,固結：有效应力不断增大，孔压逐渐消散，变形不断发展至稳定。,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,二.固结方程与求解条件,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,取微元体单位时间内通过平面 的水量：dt时段内从土微元中流出的淨水量=dt时段内土微元体积的变化量,3.
6、2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,求解条件（单面排水，PTIB）：(起始超静孔压),，一维固结系数,整理后得：,（太沙基一维固结方程）,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,三、固结方程的求解1、一般解 采用分离变量法求解设 代入固结方程，得：或,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,求解条件：，可求得：；由 有 所以：,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,将所有的解叠加得：由初始条件：可以证明：所以：,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,2、特殊情况下的解（1）起始孔压均布（矩形分布）当起始
7、孔压均布，即，则故 此即太沙基一维固结解。,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,平均孔压：平均固结度：任一时刻沉降：平均有效应力：,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,由广义虎克定律和一维条件：所以，平均固结度=某时刻的沉降/最终沉降=某时刻的有效应力面积/总应力面积。但对于成层地基和非线性固结，上述结论并不正确。对于双面排水，以上解仍适用，但应将土层厚度理解为2H（对称性）。,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,Tv50=0.197Tv90=0.848,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,（2）起
8、始孔压非均布例一：起始孔压呈倒三角形分布（单面排水）则故所以：,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,例二：起始孔压呈倒梯形分布（课后练习）因為 倒梯形=矩形+倒三角形，故由上述解叠加即可得u以及其它量，如，等。亦可用公式,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,四、考虑逐渐加荷的一维固结理论固结方程:解答:其中u为瞬时加荷下的解。,例:等速加荷(图示虚线),3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,例解：其中，同理：由 可求逐渐加荷下的固结度。,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,检验法则：a.,b.,（太沙基解）上述解是精确解，而Terzaghi提出的（
9、见书中）是近似的！,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,对于任意级荷载，如：,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,课后作业：试给出下列单层地基固结解析解除加荷条件外，一切假定同Terzaghi一维固结理论。加荷条件为：,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,解答：（a）,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,（b）,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,五成层地基一维固结理论1.谢康和，“双层地基一维固结理论与应用”，岩土工程学报，1994，vol.16,No.5,P24-352.谢康和、潘秋元，“变荷载下任意层地基一维固结理论”，岩土工程
10、学报，1995，vol.17,No.5,P82-873.双层地基一维固结数学模型,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,主要结论之一：,即：按变形定义的固结度不等于按孔压（应力）定义的固结度。,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,一维固结理论的若干结论1、固结度与Tv（cv，k,Es，H2）呈单值关系。除边界条件和土层厚度外，土的压缩性和渗透性的大小决定了地基的固结速率。土层越硬，渗透性越好，则固结越快。2、固结系数并不决定地基的固结速率。,两种工况上下土层的固结系数相同，但工况I固结快于工况II。,3.2 一维固结3.2.1 太沙基一维固结理论,因此，固结系数是可有可无
11、的参数。3、t0越小(即加荷速率越快)，固结越快。4、只有单层地基一维线性固结问题，才有Us=Up。,3.2 一维固结,3.2.2 固结系数的测定（自学）（实验土力学课应已讲）。3.2.3 次固结 主固结：伴随着超静孔压的逐步消散，土体发生变形的过程。次固结：超静孔压消散后，土体变形伴随时间发展而继续增大的过 程。变形机理尚无统一意见，还需深入研究。,3.2 一维固结3.2.3 次固结,对塑性指数大，有机质含量高的土，次固结变形较大，而在一般情况下很小，不超过总变形的10%。,e,3.2 一维固结,3.2.4 考虑流变的一维固结理论 可参阅：Xie,K.H.and Liu,X.W.(1995)
12、,A study on one dimensional consolidation of soils exhibiting rheological characteristics.Compression and Consolidation of Clayey Soils,Yoshikuni&Kusakabe(eds),Vol.1,385-388,Rotterdam:Balkema.,3.3 太沙基二、三维固结理论,一、太沙基伦杜立克（Rendulic）方程（扩散方程）dt时间段内流出土微元的水量等于该微元体积的减小量。即 同理可得、,、,3.3 太沙基二、三维固结理论,故故有：其中：，平均总应
13、力，假定为恒量（实际是变的，很难确定）。,3.3 太沙基二、三维固结理论,设=，并记，则有 或：此即TerzaghiRendulic三维固结方程。,3.3 太沙基二、三维固结理论,对于二维问题：(；设 为常量，平均总应力）此即TerzaghiRendulic二维固结方程。,3.3 太沙基二、三维固结理论,对于一维问题：此即太沙基一维固结方程。,3.3 太沙基二、三维固结理论,对于逐渐加荷,此即为逐渐加荷的一维固结方程。对于Terzaghi二、三维固结问题，均质土求解见黄传志；横观各向异性土求解见夏建中。,3.3 太沙基二、三维固结理论,二、轴对称固结方程实际课题：砂井（竖井，Vertical
14、drains）地基的固结。计算模型：三维问题简化为一维变形、轴对称渗流固结问题。即：（瞬时加荷）其中：；此即自由应变条件(Free strain condition,ev随r变化）下的砂井地基固结方程。,3.3 太沙基二、三维固结理论,等应变条件（Equal strain condition,与r无关）使求解简化。其中：当存在井阻时，有土体与竖井间的流量连续方程：任一时刻从井周土中流入砂井的水量等于从井中向上流出的水流的增量。,3.3 太沙基二、三维固结理论,流入砂井：流出砂井：由，即：,3.3 太沙基二、三维固结理论,三、Carrillo定理 Carrillo,N.,Simple Two&T
15、hree Dimensional cases in the theory of consolidation of soils,J.Math.Phys.,Vol.21,1942,pp.1-5其中：（若 和 分别为以上二方程之解，则 必为原解）,四、等应变条件下的竖井地基固结理论（谢康和，曾国熙，岩土工程学报，1989，11（2）：3-17）1、计算简图,3.3 太沙基二、三维固结理论,为砂井影响区直径,S为砂井间距,3.3 太沙基二、三维固结理论,井阻作用（Well Resistance）：由于砂井排水能力的局限性，而对流经砂井的孔隙水的阻力作用。涂抹作用（Smear Action）：由于砂井的
16、施工对井周土体的扰动而使扰动区内的土体渗透性减低，从而对流过该区域的孔隙水的阻碍作用。2、一般情况（非理想井）解答 基本假定：（1）等应变条件成立（2）除渗透性外，井料和涂抹区内的土体的其他性质同天然地基（3）砂井内的孔压仅与z有关（4）其它同Terzaghi理论假定。,3.3 太沙基二、三维固结理论,据Carrillo定理，可得仅考虑径向渗流的固结方程：其中：是任一点孔压；，平均孔压。另：土体与砂井间的流量连续方程 其中：为砂井中的孔压。,3.3 太沙基二、三维固结理论,求解条件：,3.3 太沙基二、三维固结理论,利用分离变量法，可得解为：,3.3 太沙基二、三维固结理论,，井阻因子任一深度
17、的砂井地基径向的固结度为：整个土层的平均径向固结度为：,3.3 太沙基二、三维固结理论,3、特殊情况（理想井）解答对理想井，或恒等式 及由一般解可得：其中：此即巴隆（Barron）理想井解。巴隆考虑井阻解错误！,3.4 Biot固结理论,Biot,M.A.(1941),General theory of three-dimensional consolidation,J.Appl.Phys.12,p.155（后来又考虑了动力土体的运动加速度动力固结方程）,3.4 Biot固结理论,1、Biot三维固结方程（静力）平衡方程当惯性力为零，不计体力（与体力相应的位移和应力均发生于固结分析前）的平衡方
18、程为：作用在微元上的总应力，以压为正；作用在微元上的剪应力,、,、,3.4 Biot固结理论,几何方程 u、v、w微元体土骨架沿x、y、z正方向的位移分量 正应变，以压缩为正 剪应变,3.4 Biot固结理论,物理方程（广义虎克定律）：,3.4 Biot固结理论,可推得：其中：有效应力；排水条件下，土的弹性模量、泊松比、剪切模量。，即拉姆常数。有效应力原理,3.4 Biot固结理论,结合平衡方程、几何方程、物理方程和有效应力原理，可得以位移和孔压pw表示的平衡方程。,3.4 Biot固结理论,或即：（1），体应变；,3.4 Biot固结理论,又由连续条件：单位时间内流出土微元的水量等于该微元体
19、积的变化量，并设，得：（2）方程（1）、（2）为Biot三维固结方程。共四个方程，四个未知量：，故若得解，即可得地基中任一点任一时刻的位移和孔压。而太沙基理论不可。,3.4 Biot固结理论,一般力学 水力学 土力学 变形：渗流：固结：（1）中（2）中右边为0（1）+（2）变形+渗流,3.4 Biot固结理论,2、与太沙基固结理论（扩散方程）的比较计算方法不同:Terzaghi先计算孔压、固结度，后计算变形 Biot位移和孔压同时解出Biot对二、三维是精确的，而Terzaghi是近似的对一维问题，两者是一致且精确的,3.4 Biot固结理论,由（其中）代入（2）其中：，水平向三维固结系数；，
20、竖向三维固结系数；，三维体积压缩系数。易见，当 不随时间而变，此即 Terzaghi-Rendulic三维固结方程。可见太沙基固结方程是Biot固结方程当总应力不随时间而变的特例。,3.4 Biot固结理论,类似地对于二维问题，（2）可转化为如下 Biot二维固结方程：，二维情况下的平均总应力；，水平向二维固结系数；，竖向二维固结系数；，二维体积压缩系数。,3.4 Biot固结理论,同样可见，当 不随时间而变，Biot二维固结方程就转化为Terzaghi-Rendulic二维固结方程。可见，对于二、三维固结问题，Biot理论与太沙基理论不同。因 确实随时间而变，故唯Biot理论精确。,3.4
21、Biot固结理论,最后讨论一维问题，有所以式（2）转化为Biot一维固结方程，即：其中：，地表荷载（由弹性理论）。此也即为考虑逐渐加荷的太沙基一维固结方程。因此，对于一维固结问题，Terzaghi固结方程与Biot固结方程完全相同，两种理论均是精确的。由此也可见一维固结解的重要性（精确、简便、实用）。,3.4 Biot固结理论,3、曼代尔克雷尔效应（MandelCryer effect）Cryer,c.w.(1963),A comparision of the three-dimensional theory of Biot and Terzaghi,J.Mech.Appl,Math.16太沙
22、基理论：超静孔压在任何时刻随时间总是越来越小。（因为总应力假定不变）曼代尔克雷尔在圆球试样的固结试验中发现：超静孔压在固结早期不是消散，而是上升，然后再逐渐减小。这一现象称为曼代尔克雷尔效应。这一发现非常重要，是两者的重要差别，太沙基理论无法解释，唯Biot理论才行。,3.4 Biot固结理论,原因：近排水面的土体，由于排水固结发生变形体积收缩，总应力和有效应力均增加，但内部土体尚来不及排水，体积不变，为了保持内外变形协调，表面土体中的总应力增量必然向内部传递，从而使内部应力和孔压增大，直至内部开始排水。,3.4 Biot固结理论,曼代尔克雷尔效应的特点（平面问题研究结论）：a.地面透水性越好
23、，越显著。b.影响范围：x/a越小，效应越大；x/a1.12处，即消失。c.泊松比越小，效应越大。对于一维问题，不存在曼代尔克雷尔效应。,3.4 Biot固结理论,4、Biot固结方程现有解析解（由于求解困难，解析解很有限）(1)受均布荷载作用的球形土体固结问题 Gibson,R.E.et.al,(1963)Critical experiment to examine theories of three-dimenional consolidation.(2)无限厚度土层的固结问题 a.半空间体平面与轴对称固结解 Mc Namee,J.&Gibson,R.E.,Plane strain axi
24、ally symmetric problems of the consolidation of a semi-infinite clay stratum,J.Mech,Appl.Math.Vol.13,Part 2 b.矩形荷载下半空间体的固结问题 Gibson,R.E,&Mc Namee,J.(1957),the consolidation settlement of a load uniformly distributed over a rectangular area,Proc 4th ICSMFE,Vol.1,3.4 Biot固结理论,(3)有限厚度土层的固结问题 a.底部光滑且不透水
25、的单层地基平面和轴对称固结解 Gibson,R.E,Schiffman,R.L.&Pu,S.L.(1970),Plane strain and axially symmetric consolidation of clay layer on a smooth impervious base,J.Meth.Appl.Math.,Vol.23,Part 4,1970 b.表面荷载作用下有限厚度土层的固结解 Book J.R.The consolidation of finite layer subject to surface loading,Int J.Solids Structures,197
26、4,10:1053（只是地基表面沉降解且以复变函数形式给出）c.黄传志（1996）二维固结问题的解析解，岩土工程学报，Vol 18,No.3,p.47(积分形式解）,3.4 Biot固结理论,有限元解:土工计算机分析,龚晓南主编;岩土工程有限元分析理论与应用,谢康和、周健编著我国最早：沈珠江（1974）外国最早：Sandhu,R.S.,&Wilson,E.L.(1969)非饱和土固结（自学）。,附：平均固结度实用计算公式瞬时加荷条件下,（一）瞬时加荷条件下1天然地基 2砂井地基（1）仅考虑径向渗流,附：平均固结度实用计算公式瞬时加荷条件下,式中：；，井阻因子；，井径比；涂抹区渗透系数与直径；土
27、体水平向与竖向渗透系数；H土层最大竖向排水距离；砂井直径，砂井影响区直径及砂井材料渗透系数。（2）考虑径向和竖向渗流,附：平均固结度实用计算公式瞬时加荷条件下,3普遍式 对天然地基：；对砂井地基：；,附：平均固结度实用计算公式逐渐加荷条件下,（二）逐渐加荷条件下,加荷速率：,计算实例,例：某饱和软粘土地基粘土层厚20m，其下为砂土层，拟采用堆载预压法处理，荷载单级施加，加载时间to=30天。粘土的固结系数ch=2cv=210-32/s,渗透系数kh=2kv=510-7/s。若设计要求地基的平均固结度在堆载开始后60天时达到70，问：1.地基不处理直接堆载预压是否能满足设计对固结度的要求？2.采用直径为7,间距为1.2m，按正三角形布置的袋装砂井处理后再堆载预压能否满足设计要求？（计算中不考虑涂抹作用，但需考虑井阻作用，取kw=210-2/s。）,解：1.采用天然地基时：，,60天时地基平均固结度为：远不满足设计对固结度的要求。2.采用袋装砂井地基：，,满足设计要求。,谢谢！,
