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1、1,1.1 多维随机变量及其分布,2,一.随机向量的定义,随机向量主要用来描述用一维随机变量不能完全刻划的随机现象。,例如，随机地抽出一张扑克牌：它具有花色与点数这两个离散随机属性；导弹的落点与目标之间的误差：由两个连续随机变量组成的二维随机向量；,以及更一般的多维随机向量。,3,1.二维随机向量 如果 X、Y 都是定义在同一个样本空间中的随机变量，则它们构成的向量(X,Y)就称为一个二维随机向量。,2.n 维随机向量 定义在同一样本空间中的随机变量 X1,X2,Xn 构成的向量(X1,X2,Xn)称为一个 n 维随机向量。,随机向量(X,Y)的概率性质除了与每一个分量有关外，还依赖于这两个分
2、量之间的相互关系。,4,n元分布函数具有以下性质：,、,5,6,例1 多项分布(Multinomial Distribution),7,二项分布,如果随机变量 X 的分布律为,二项分布的概率背景,进行n重Bernoulli试验，设在每次试验中,令 X：在这次Bernoulli试验中事件A发生的次数,8,一元正态分布 的概率密度函数为,9,二维正态分布,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,10,二维正态分布的图形,11,二、边缘分布,显然，共有 个k维边缘分布函数,12,13,X,Y,1 2 3 4,1 1/4 0 0 02 1/8 1/8 0 0 3 1/12 1/12 1/12 0 4 1
3、/16 1/16 1/16 1/16,pi=P X=xi,p j=P Y=yj,1/41/41/41/4,25/48 13/48 7/48 3/48,1,例 二维离散随机向量的边缘分布律,14,注：边缘分布函数由联合分布函数惟一确定；反之不然，即不同的分布函数可能有相同的边缘分布函数。,例 设有两个二元分布函数F(x,y)和G(x,y)，密度函数分别为,显然,F(x,y)和G(x,y)不恒等。但它们的边缘密度函数分别为,15,16,(X,Y)N(1,2;12,22;),其中 x，y+，参数 1,2+；1,2 0；1 1,二维正态分布,则 X N(1,12)，Y N(2,22)。二维正态的两个边
4、缘分布都不依赖于参数。,17,三、随机变量的独立性,注意：在独立条件下，由随机变量的边缘分布可惟一确定其联合分布函数。,18,即联合分布密度函数等于边缘分布密度函数之积。,19,显然，相互独立性可推得两两独立性，反之不然。,20,例（正态随机变量的独立性）,21,22,23,四、条件分布与条件数学期望,设(X,Y)为离散的，其联合概率分布为,则,24,设(X,Y)为连续随机变量，联合密度函数为f(x,y),如果在定点x，X的边缘密度,25,定义,显然有,26,同理可得,也可写成,由上式可得,这就是Bayes公式的密度函数形式。,27,条件密度函数的性质,(,),0,y,x,f,Y,X,28,条
5、件概率 链规则（Chain Rule）,链规则,或,29,链规则推广,条件概率的定义递归定义：,30,例1.9,31,32,定义 条件分布的数学期望称为条件数学期望.,它可用条件分布计算得,33,例 X表示中国成年人的身高，则E(X)表示中国成年人的平均身高，,我国公安部研究得,条件数学期望是条件分布的数学期望,故具有数学期望的一切性质,如,34,证明 仅对连续场合证明(3),设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),则,35,36,例 设走进某百货商店的顾客是均值为35000的随机变量，顾客在商店消费的钱数是相互独立、均值为52元的随机变量，并且任一顾客所消费的钱数与进入该商店的总人数也相互独立，问该商店一天的平均营业额为多少？,37,38,39,40,五、多维随机变量的数字特征,41,42,43,由柯西不等式得,44,相关系数的性质有：,
