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1、第一专题 质点运动学,知识与方法研究,三、平面上两运动曲线的交点的运动,一、运动分解的任意性,二、曲率半径的物理求法,四、质点弹性斜碰的运动轨迹类比于光的反射,一、运动分解的任意性,不限于正交分解，更不限于沿水平、竖直方向的正交分解.可以根据解题需要沿选定方向分解.,知识与方法研究,运动的分解与合成是不同于参照系变化时（KK）对运动描述的伽利略或洛仑兹变换,是在一个参照系中进行的.,将质点所作的运动视为同时参与两个独立存在的运动后的结果，便称之为一个运动分解为两个运动.,例1 足球运动员在球门正前方距离球门s远处的O点踢出一球，球从球门高为h的横梁下边沿射入球门.问球以怎样的角度 射出，才能使
2、射出的初速度v0最小？,O,C,B,s,h,解一,建立如图的坐标系，,则球到达球门时,消去t 得：,进而得：,所以,将v0做水平、竖直的正交分解.,v0,O,C,B,s,h,v0,解二,如图，建立坐标系.,则有,将v0、g均沿x、y方向进行分解.,足球到达B时，,所以有,消去t 得：,所以,此时,现在足球在x轴方向、y轴方向的分运动各是什么运动？,O,C,B,s,h,v0,解三,建立如图的坐标.,据图中的几何关系，,对三角形BOD由正弦定理有：,即,由左边的等式得：,将此代入右边的等式：,所以,此时,x方向为匀速直线运动，y方向为自由落体运动.,现在足球在x轴方向、y轴方向的分运动各是什么运动
3、？,O,C,B,s,h,v0,题后总结与思考本题充分说明运动分解的任意性.,如果愿意，还有一种如图的合理分解方式！,例2 弹性小球从高h处自由落下，落到与水平面成角的足够长的斜面上，碰撞后以同样大小的速度弹回.（1）求每个弹回点（第一点和第二点，第二点和第三点，第n点和第（n+1）点）间的距离x1-2、x2-3、x3-4、x n-(n+1).（2）求当斜面以u匀速向上运动并在（1）中原处与小球第一次相碰时的x1-2的数值.,解,小球第一次与斜面相碰（前、后）的速度大小为,则小球在两个碰点之间的在x、y方向的分运动均是匀变速直线运动.,于是,以斜面为参照系.,建立如图所示的坐标系.,第一次碰后（
4、第二次碰前）的运动方程为：,令 y 1=0，可得第一与第二次碰撞的时间间隔为,代入x1的计算式后可得,每相邻两次相碰的时间间隔均相等，,于是,据匀变速直线的特点可知在每次碰前碰后瞬间在y方向的速度大小均相等，为,据匀变速直线运动的特点可知在相邻的相等时间内位移的增量相等，,为,第二次碰撞（前后）x方向分速度为,题后思考 能否建立水平方向的 x 坐标与竖直方向的y 坐标解本题？能否建立斜面方向的x坐标与竖直方向的y坐标求解？,（2）求当斜面以u匀速向上运动时在原处与小球第一次相碰时的x1-2的数值.,此时，仍以斜面为参照系.则小球第一次与斜面相碰时速度大小便由（1）中的v10变成了(v10+u)
5、.,于是,让质点做某种轨迹为给定的曲线的运动确定质点在运动轨迹上某处的v和a心由向心加速度公式求在选择质点的运动时，尽量考虑如何方便 得到曲线某处的v和a心,二、曲率半径的物理求法,1、从曲率圆的角度看质点作平面光滑曲线运动的速度和加速度,表示由速度大小变化引起的速度变化之快慢程度,表示由速度方向变化引起的速度变化之快慢程度,y,o,p1,p,x,2、由运动学求曲率半径的思路：,例3 试求椭圆 的顶点处的曲率半径.,解,椭圆的参数方程为,可以选择质点沿椭圆轨道的运动为：,在x方向和y方向的分运动为简谐振动的运动.,(其简谐振动方程即为以上椭圆的参数方程),于是有,在图中顶点A处：,x,y,0,
6、A,B,所以,同理可得,求滚轮线上任意点处曲率半径.,解,为方便计，让轮子做匀速的纯滚动.,设轮心O相对地面的速度为v0.,P点相对于轮心匀速平动参照系o 的加速度为：,故,例4,方向指向轮心o点,则图中P点相对轮心o的速度为,相对地面速度为,设P点的曲率圆半径为，,则向心加速度为,由此即得,讨论：,在滚轮线最高点：,在滚轮线最低点：,于是有,题后总结此两题的解法属于运动学的求法，曲率半径还有动力学的求法这将在以后研究.,三、平面上两光滑运动曲线（包括直线）的交点的运动,注 意交点并非曲线上的一个固定点(一个质元，一个点记号)，而是两条曲线相交而成的几何点.,1、几种交点的运动情况,2、如何求
7、交点的速度,决不能！,（1）由速度的定义出发求,（2）从相对运动出发求,如图，一平面内有l1、l2两细杆，相交成角.细杆分别以垂直于自身杆长的速度匀速运动.求两杆的交点P相对于纸面的速率.,解一,由定义出发求速度,在图中：,由余弦定理有,所以,例5,l1,l2,P,v1,v2,P1,A,B,P2,P3,解二,由相对运动出发求速度,先求出交点相对于杆l1的速率v1：,在图中：,所以,进一步得交点P相对于地面的速率：,如图,在o-xy平面内有一个圆,在y轴上放一根细杆,从t=0开始,细杆以速度v0朝x轴正方向匀速平动.试求细杆与第一象限内的圆弧的交点的向心加速度与时间t的关系.,x,y,O,v0,
8、解一,设在t 时刻交点在P点，经过小量时间t，交点由P点运动到P1点.,P0,而,由、消去：,将,代入即得,所以,（其中）,由速度定义出发解答.,所以,（1）小量分析,例6,解二,由相对运动出发解.,则,所以便有,进一步便可得到交点 P 的向心加速度.,（2）微分求解,x,y,O,P,P0,P3,v0,如图所示，,由几何关系得,两边求导得,而,由上式即得,进一步可得向心加速度.,（3）平面两光滑曲线交点速度的最简求法,如图，L1、L2的交点P相对地面的速度为.,分别作L1、L2的切线l1、l2.,交点P在L1参照系中以速度 沿l1运动，,则据绝对运动与相对运动、牵连运动的关系有,在地面参照系中
9、沿l1、l2方向分解,在地面参照系中沿l1、l2方向分解,交点P在L2参照系中以速度 沿l2运动，,则据绝对运动与相对运动、牵连运动的关系有,重解例5：,l1,l2,P,v1,v2,由余弦定理求合：,重解例6：,所以,进一步便可得到交点 P 的向心加速度.,题后总结该方法仅局限于光滑平面运动曲线的交点！此方法并不限于两曲线作平动的情况.,参考资料：李卫平.平面内两运动光滑曲线交点速度计算之“速度分解-合成法”的证明及应用举例.物理教师（2010年第4期）.,四、质点弹性斜碰的运动轨迹类比于光的镜面反射,例7 如图，光滑水平面上两块刚性挡板OM、ON成15夹角交于O点，小球在OM的内侧与O相距l
10、=20cm的P点处，以与MO成30角方向的初速朝ON板运动，初速度大小为v0=10cm/s.试问小球能否回到P处？若能，则须经多少时间回到P处？,解,小球作的是匀速折线运动.,M,N,P,O,l,300,150,将光线经镜面反射后的行进对应处理为光线沿原入射方向的行进.,因此光线在两平面镜之间的不断反射可对应为光线沿PP直线传播.,可将小球的运动类比为光线在平面镜M、N之间的反射.,由于,因此光线能够沿原路返回到P点.,M,N,P,O,l,P,300,150,P,所以小球从P点出发到又回到P点，总的路程即为PP=2PP.,所经历的时间为,例7 如图，OABC是一桌球台面.取OA为 x 轴，OC
11、为y 轴，P是红球，坐标为(x,y),Q是白球，坐标为（x,y),(图中未画出Q球在台面上的位置）.已知OA=BC=25分米，AB=OC=12分米.,A,B,C,O,P,Q,x,y,(x,y),解,（1）若P球的坐标为：x=10分米，y=8分米.问Q球的位置在什么范围内时，可使击出的Q球顺次与AB、BC、CO和OA四壁碰撞反弹，最后击中P球？,（2）P球有没有一些位置是Q球无论从什么位置出发，按上述次序从四壁反弹后都无法击中的？如没有，加以证明；如有，找出这些位置的范围.（白球Q同四壁的碰撞均为弹性碰撞，两球体积很小，可看作质点.）,如右图，你能不能让白球与桌璧N M 弹性相碰后击中红球?,A
12、,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),(25,12),(25,0),(10,8),给球桌各顶点及红球的位置标注上坐标,(0,0),（1）,如果白球对着镜像点P2击在CO上就能射向P1;,如果白球对着镜像点P3击在OC上就能射向P2；,如果白球对着镜像点P4击在BA上就能射向P3.,A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),(25,12),(25,0),(10,8),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),2、为了保证白球能对着P4点且击在BA上，白球应该放在什么区域？,3、白球放在该区域是否能保证经BA反弹后能击在BC上？,4、
13、白球是否击在BC上任何地方都能反弹后又击在CO上？比如放在图中所示的点处？,A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),（25,12),(25,0),(10,8),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),E,5、白球应该对着P3击在BC上的什么地方才能保证经BC反弹后能击在CO上？,E点坐标为(15,12).,(15,12),A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),（25,12),(25,0),(10,8),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),E(15,12),D,(25
14、,4),6、白球应该对着P4击在BA上的什么地方才能保证经BA反弹后能击在EC上？,D点坐标为(25,4).,A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),（25,12),(25,0),(10,8),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),E(15,12),Q,D,(25,4),(20,0),7、白球应该放在什么区域才能保证对着P4击在DA上？,H点的坐标(20,0).,A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),（25,12),(25,0),(10,8),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4
15、(60,32),E(15,12),D,H,(25,4),(20,0),最终结论：,白球应放在三角形DAH以内的区域.,（但不能放在HD、DA边上）,（2）P球有没有一些位置是Q球无论从什么位置出发，按上述次序从四壁反弹后都无法击中的？如没有，加以证明；如有，找出这些位置的范围.,A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),(25,12),(25,0),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),D,H,(12.5,12),在BC取中点E，,当红球P放在三角形CEO以内的区域以及其边上时，无论白球从何处开始击出，均不可能击中红球.,E,若P点
16、左移，,D点下移，,三角形DAH的面积就会缩小,则E点左移，,E点的坐标为(12.5,12).,最终结论：,连接E、O，,得三角形CEO.,E点左移至何处三角形DAH面积为零？,镜面反射后的光线的行进可等效处理为在虚像空间中光线沿原入射方向的直线行进,P1,M,N,P2,P3,P4,（1）光线1在镜面N的P1点发生反射,其反射光线2的行进对应着在虚像空间中光线2的行进.,1,2,3,4,（2）光线2在虚镜面M 上的P2点发生反射后得到反射光线3，反射光线3的行进对应着在虚像空间中光线3的行进.,（3）光线3在虚镜面N的P3点发生反射得到光线4，反射光线4的行进对应着在虚像空间中光线4的行进.,
