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1、1.2 时域离散信号,1.4 时域离散系统的输入输出描述法,1.3 时域离散系统,1.1 引言,第1章 时域离散信号和时域离散系统,1.5 模拟信号数字处理方法,信号：是一个或几个自变量的函数。如f1(t)、f2(n1,n2)如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数字信号处理的理论与技术。,1.1 引 言,信号的自变量：有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，我们一般地把信号看作时间的函数。,数字信号和数字系统与模拟信号和模拟系统不同，在处理方法上有本质的区别。模拟系统用许多模拟器件实现；数字系统则通过运算方法实现。,重点内容：（1）时域
2、离散信号的表示方法和典型信号等；（2）系统的线性、时不变性以及因果性、稳定性；（3）系统的输入输出描述法线性常系数差分方程及其 解法。（3）模拟信号数字处理方法：采样定理。,重要公式（1）线性卷积公式,如果公式中x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位脉冲响应，y(n)是系统输出；则该式说明系统的输入、输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。,（2）x(n)=x(n)*(n)该式说明任何序列与(n)的线性卷积等于原序列。x(nn0)=x(n)*(nn0)（3）采样定理,对信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上，才能得到不失真的采样信号。（4）由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式
3、,1.2 时域离散信号,时域离散信号序列,对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：,n取整数。对于不同的n值，xa(nt)是一个有序的数字序列。,实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，形成x(n)信号，称为序列。,对于具体的序列，x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信号在第n个时刻信号的采样值,是序列,不是序列,强调：序列x(n)中 n 取整数，非整数时无定义，在数值上(序列值)等于信号的采样值，即：x(n)=xa(nT),x(n)、y(n)都是序列吗？,序列的三种表示方法：,（1）用集合符号表示（枚举法）,（2）
4、用公式表示（函数法）,（3）用图形表示（图形法）,1.2.1 常用的典型序列,1、单位采样（脉冲）序列,与单位采样序列的关系,2、单位阶跃序列,（n-m=k),常用表示方法,与其他序列的关系：,3、矩形序列,（N称为矩形序列的长度）,4、实指数序列,（a为实数）,如果|a|1，则称为发散序列。,发散序列,收敛序列,如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么 xa(t)=sin(t)xa(t)|t=nT=sin(nT)x(n)=sin(n),5、正弦序列,x(n)=sin(n),称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度。表示序列变化的速率；或表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。,模拟角频率,
5、因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率与模拟角频率之间的关系为 T 表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。也可以表示为（采样频率Fs与采样周期T互为倒数）：,表明数字频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。,例1:,则：,则周期,T=0.0025s,T=,正弦序列的一般形式：,模拟正弦信号：,数字角频率是模拟角频率对采样频率的归一化,是一个采样周期相位变化的角度。数字频率是模拟频率对采样频率的归一化,是一个采样周期变化的周数。,关系式,采样时间序列：,例：,应用欧拉公式,6、复指数序列,复指数(正弦、余弦)序列对参量呈现2的周期性。,复指数序
6、列,正弦序列,设r为整数,余弦序列,7、周期序列,若对所有n存在一个最小的正整数N，满足 则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。,例如：,因此，x(n)是周期为8的周期序列。,一般复指数(正弦)序列关于时间序号n的周期性：,是周期信号，周期为,复指数(正弦)序列的周期性取决于,模拟正弦,正弦序列,不一定是周期信号：,讨论一般正弦序列的周期性：,例1：判断,是否是周期序列？,实际上,例2：求下列两序列的周期N=？(1)x(n)=Acos(n/4+/7);(2)x(n)=Asin(n/5)+Bcos(n/3);(3)x(n)=Asin(n/5),解:(1)由于w=/4,2/w=24/=8为整数，
7、则周期 N=8(2)由于w1=/5,w2=/3,N1=2/w1=10,N2=2/w2=6序列x(n)的周期N为N1和N2的最小公倍数，可得 N=10,6=30(3)x(n)不是周期序列。,任意序列x(n)都可以表示成单位采样序列的移位加权和。即：,解：x(n)=a(n+3)+b(n-3)+c(n-5),8、用单位采样序列来表示任意序列,例1：用单位采样序列(n)表示x(n)。,1.2.2 序列的运算,序列移位序列翻转序列加法序列乘法时间尺度变换线性卷积,序列的基本运算：,序列移位,已知序列x(n)，假设m0y(n)=x(n-m)：逐项依次右移m位（延时序列）y(n)=x(n+m)：逐项依次左移
8、m位（超前序列）,整个序列发生移动！,y(n)=x(-n)以n=0的纵轴为对称轴，将序列x(n)加以翻转,序列翻转,n=0,加法运算表示两序列同序列号n的序列值逐项对应相加,已知序列x1(n)、x2(n),序列加法,乘法运算表示两序列同序列号n的序列值逐项对应相乘,序列乘法,m插值,m抽取,时间尺度变换(两种),x(mn)是x(n)序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。,例1、给定信号x(n)：（课后习题2）（1）试用延迟的单位脉冲序列及其加权和画出表示x(n)序列；（2）令x1(n)2 x(n-2)，试画出x1(n)的波形；（3）令x2(n)2 x(n+2)，试画出x2(n)的
9、波形；（4）令x3(n)x(2-n)，试画出x3(n)的波形。,解：（1）,x(n)=3(n+4)-(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n)+6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4),（2）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2个单位，再乘以2，波形如下：,（3）x2(n)的波形是x(n)的波形左移2个单位，再乘以2，波形如下：,（4）x3(n)的波形：先画x(-n)的波形，然后右移2个单位，波形如下：,例2、给定信号x(n)：试用延迟的单位脉冲序列及其加权和画出并表示x(n)序列,-R4(n-1),第1次作业,P29：1、3、,1.3 时域离散系统,设时域离散系统的输入为x(n)
10、，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T表示，输出与输入之间关系用下式表示：,其框图如图所示：,在时域离散系统中，最重要和最常用的是线性时不变系统（LTI）。,则该系统为线性系统。,对于系统,若满足线性叠加原理：,满足线性叠加原理与同时满足可加性和齐次性等效,齐次性：,其中：,，设,可加性：,1.3.1 线性系统,对于线性系统，当系统为零输入时，其输出也恒为零，即零输入产生零输出,例：证明由线性方程表示的系统,是非线性系统,1.3.2 时不变系统,系统算子 不随时间变化，即输入序列的移位引起输出序列同样的移位（系统响应与激励加于系统的时刻无关）的系统。,时不变系统：,注：序
11、列先移位再通过系统等效于先通过系统再移位,时不变系统的判断方法：,相等则为时不变系统，否则为时变的。,例1：试判断,是否是时不变系统？,例2,是否为时不变系统？,解：,则,令,则,则得,令,因此该系统是时不变系统。,例3.判断系统 y(n)=3x(n)+4 的线性和时变特性？解：1.判断线性特性 根据定义有：设输入为x1(n)和x2(n)时，输出分别为y1(n)和y2(n)，即：Tax1(n)=3ax1(n)+4;Tbx2(n)=3bx2(n)+4;,而Tax1(n)+bx2(n)=3ax1(n)+3bx2(n)+4 ay1(n)+by2(n)所以系统是非线性系统。,2.判断系统的时变特性 根
12、据定义有：y(n)=Tx(n)而Tx(n-m)=3x(n-m)+4=y(n-m)是时不变系统,1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系,单位脉冲响应h(n),设一个线性时不变系统输出的初始状态为零，当输入为单位脉冲序列时系统的输出序列，称为该系统的单位脉冲响应。,一个线性时不变系统的特性可以用其单位脉冲响应唯一表征。,同时具有线性和时不变性的离散时间系统，称为线性时不变系统（LTI）。,线性时不变(LTI)系统输入、输出间的关系：,“卷积”运算,一个LTI系统可以用单位抽样响应h(n)来表征，任意输入系统的输出等于输入序列和该系统单位抽样响应h(n)的卷积和。,设两序列x(n)、h(n)
13、，则其卷积定义为：,1）,2）移位n：,3）相乘：,相加：,翻转：,卷积的计算,卷积举例：,h(-2-m),例1：,求：,例2：设线性时不变系统的单位取样响应为h(n)=anu(n),0a1，则输入序列x(n)=u(n)时，输出序列y(n)=?,解：,当n-1时 y(n)=0,当0nN-1时,0nN-1,解：,结论：若有限长序列x(n)的长度为N，h(n)的长度为M，则其卷积的长度L为：L=N+M-1,卷积运算满足交换律：,线性卷积服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下：(1)x(n)*h(n)=h(n)*x(n)(2)x(n)*h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2
14、(n)(3)x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n),两系统级联,两系统并联,线性卷积的性质,证明卷积运算的结合律,x(n)*h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n),两个有用的公式：,1.序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身,2.序列与一个移位的单位取样序列(nm)的线性卷积等于序列本身移位m,例1.h1(n)系统与h2(n)系统级联，设,求系统的输出y(n)。,解：先求第一级的输出m(n)，再求y(n)。,1.3.4 系统的因果性和稳定性,若系统 n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则
15、称该系统为因果系统。即输出的变化不超前于输入的变化。,LTI系统是因果系统的充要条件：,非因果数字系统可以用因果系统实现,因果序列,稳定系统：有界输入产生有界输出的系统,LTI系统是稳定系统的充要条件：,则,若,例1.设LTI的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解：1、因果性：由于n 0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。2、稳定性：(h(n)是否满足绝对可和)讨论：当|a|1时，当|a|1时，|h(n)|，此时系统不稳定。当|a|1时，系统是因果稳定的，|a|1时，系统因果非稳定,系统稳定,例2：某LTI系统，其单位脉冲响应为,试讨论其是否是因果
16、的、稳定的。,例3：设某线性移不变系统，其单位抽样响应为 h(n)=-anu(-n-1)(1)讨论因果性(2)讨论稳定性,结论：因果稳定的LTI系统的单位脉冲响应是因果的，并且是绝对可和的，即：,第2次作业,P29：5（5）,P30：8（2）,1.4 时域离散系统的输入输出描述法,用差分方程来描述时域离散系统的输入输出关系。一个N阶常系数线性差分方程表示为：,N,式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai和bi均为常数，式中y(n-i)和x(n-i)项只有一次幂，没有相互交叉项，故称为线性常系数差分方程。,差分方程的阶数是用方程y(n-i)项中i的取值最大与最小之差确定的。式
17、中，y(n-i)项i最大的取值为N，i的最小取值为零，因此称为N阶的差分方程。,当以x(n)作为输入、y(n)作为输出，是因果系统；,当以x(n)作为输入、y(n-N)作为输出，是非因果系统。,阶数=N,已知系统的输入x(n)，根据线性常系数差分方程求系统的输出y(n)，称为求解差分方程。用递推解法求解差分方程：直接递推求解用递推法先求单位脉冲响应，再用卷积求解注意：N阶线性常系数差分方程只有已知N个初始条件才能得到唯一解。(1)对于因果系统求 的输出需要初始条件(2)对于非因果系统求 的输出需要初始条件,例1.设系统用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述，输入序列x(n)=(n)，求
18、输出序列y(n)。解:该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。,（1）设初始条件:,单位抽样响应为：,用递推法求系统的单位脉冲响应，N个初始条件必须取为0,（2）设初始条件:,例2：已知线性常系数差分方程同上例，初始条件,例3.已知线性常系数差分方程同上例，初始条件,，求y(n),方法1：直接递推,方法2：利用例1的结果进行卷积运算,例4：已知常系数线性差分方程同上例 若初始条件 讨论系统的线性和时不变性。,一些关于差分方程的结论：,一个差分方程不能唯一确定一个系统常系数线性差分方程描述的系统不一定是线性时不变的不一定是因果的不一定是稳定的,1.5 模拟信号数字处理方法,模拟信号数字处
19、理方法：先将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号。其原理框图如图所示。,采样器开关每隔T秒短暂地闭合一次，每次闭合时间为,1.5.1 采样定理及A/D转换器,采样器的输出 是一列被连续时间信号 所调制的脉冲串。,等效于 与一个重复周期为T，宽度为 的脉冲串 相乘。,采样信号在每一个采样点的积分幅度等于输入信号在该采样瞬间的幅度，这就是理想采样信号（为数学分析的方便）。,成为一个单位冲激串。在每一个冲激处的强度为1。,讨论：,采样前后信号频谱的变化。什么条件下，可以从采样信号不失真地恢复出原信号？,复习相关常用公式,1.傅立
20、叶变换,2、时域卷积定理,3、频域卷积定理,4、其中,采样信号的频谱：,周期冲激串：,理想采样输出：,设：,则有,求理想采样信号频谱：,其频谱：,周期冲激串 的梳状谱,采样信号的频谱是模拟信号频谱以采样频率为周期进行周期延拓而成频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍,基带频谱,调制频谱,调制频谱,频谱不发生混叠。可用一增益为T，截止频率为,的理想低通滤波器取出原信号的频谱，从而完全恢复原信号。,带限信号：信号的最高频率有限(),称为折叠角频率，或奈奎斯特角频率,称为折叠频率，或奈奎斯特频率,不能无失真取出原信号的频谱，即不能完全恢复原信号。,理想低通滤波器:,奈奎斯特(Nyquist)采样定理：,
21、对连续信号以周期T进行等间隔理想采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期的周期延拓。采样信号频谱的幅度是原连续信号的1/T。,设连续信号的最高截止角频率为，如果采样角频率 那么使采样信号通过一个增益为 T,截止角频率为 的理想低通滤波器，可以完全恢复出原连续信号，否则会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。,奈奎斯特抽样定理:,要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率:,理想低通滤波器的单位冲激响应：,时域上讨论利用低通滤波器由满足采样定理的理想采样信号恢复模拟信号：,1.5.2 将数字信号转换成模拟信号,输出：,内插公式,内插函数,采样的离散序列x(n)与连续内插函数g(t)的半离散卷积,内插函数：,由采样信号内插恢复原模拟信号,实际连续信号的数字化和恢复：,对连续信号 以周期T进行等间隔采样获得离散序列，只要采样频率大于连续信号最高频率的2倍，就可以由离散序列与理想内插函数的半离散卷积完全恢复连续信号。,连续信号的数字化（模数转换ADC）,连续信号的恢复（数模转换DAC）,实际的内插函数h(t)零阶保持器（低通滤波器）,理想内插函数是非因果，不可实现的,采样序列及内插函数,零阶保持输出波形,内插函数的频率特性,后置滤波频率特性,解：,3）,第3次作业,P31：13,
