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1、1,3.5线性系统的稳定性分析,3.5.1稳定的概念和定义,如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为小范围稳定的系统。,2,3,对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。,4,线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动(t)的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称
2、系统为稳定。反之，则为不稳定。3.5.2线性系统的稳定条件 线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。根据定义输入(t)，其输出为脉冲过渡函数K(t)。如果当 t时，K(t)收敛到原来的平衡点，即有,那么，线性系统是稳定的。,5,线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平面的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。
3、,不失一般性，设n 阶系统的闭环传递函数为,6,线性系统的代数稳定判据 首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭环特征方程为,式中，a0 0,si（i=1,2,n）是系统的n个闭环极点。根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：,7,从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为：ai aj 0(i,j=1,2,n)即，闭环特征方程各项同号且不缺项。如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条件。1.劳斯判据 系统稳定的充要条件是：该方程式的全部系数为正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要
4、是正的；劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位于右半s平面上根的个数。,8,表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。,a0 a2 a4 a1 a3 a5 c1 c2 c3 cn(an),snsn1 sn2 s1 s0,(i 3,j=1,2,),9,2.劳斯判据的应用（1）判断系统的稳定性 例3-3 设有下列特征方程D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。解：劳斯表,第一列元素 符号改变了2次，系统不
5、稳定，且s 右半平面有2个根。,s4s3s2s1s0,1 3 52 4,6,1,5,5,10,例3-4 系统的特征方程为 D(s)=s3 3s+2=0试用劳斯判据确定正实数根的个数。解：系统的劳斯表为,第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，可作如下处理：,s3s2s1s0,1 3 0 2,用一个很小的正数 来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。,11,0+时，b1 0，劳斯表中第一列元素符号改变了两次系统有两个正根，不稳定。,（s+3）乘以原特征方程，得新的
6、特征方程为：D1(s)=D(s)(s+3)=s4+3s3 3s2 7s+6=0,s3s2s1s0,1 3 0()2,2,s4s3s2s1s0,1 3 6 3 7 2/3 6 20 6,12,例3-5 设某线性系统的闭环特征方程为 D(s)=s4+s3 3s2 s+2=0试用劳斯判据判断系统稳定性。解:该系统的劳斯表如下,第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：,s4s3s2s1s0,1 3 2 1 1 2 2 0 0,13,由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，系统有两个正根，系统不稳定。关于对原点对称
7、的根，可解辅助方程求出。得 s1=1 和 s2=1。对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为 s3=1 和 s4=2。,用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。,s4s3s2s1s0,1 3 2 1 1 2 2,4 2,F(s)=2s2+2 F(s)=4s,14,（2）分析参数变化对稳定性的影响 例3-6 已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K的取值范围。,解：系统特征方程式 s3+3s2+2s+K=0,要使系统稳定，劳斯表中第一列元素均大于零。0 K 6,s3s2s1s0,1 2 3 K(6 K)/3 K,15,（3）确定系统的相对稳定
8、性,例3-7 检验多项式2s3+10s2+13s+4=0是否有根在s 右半平面，并检验有几个根在垂直线 s=1的右边？,解：1),劳斯表中第一列元素均为正系统在s 右半平面没有根，系统是稳定的。,2)令 s=s1 1 坐标平移，得新特征方程为2 s13+4 s12 s1 1=0,s3s2s1s0,2 13 10 412.2 4,16,劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在s1 右半平面有一个根。因此，系统在垂直线 s=1的右边有一个根。,s13s12s11s10,2 1 4 10.5 1,17,3.6线性系统的误差分析,3.6.1误差的基本概念,1.误差的定义 误差的
9、定义有两种：从系统输入端定义，它等于系统的输入信号与主反馈信号之差，即 E(s)=R(s)B(s),从系统输出端定义，它定义为系统输出量的实际值与希望值之差。（性能指标中经常使用）对于单位反馈系统，两种定义是一致的。2.两种定义的关系,18,由图可知，R(s)表示等效单位反馈系统的输入信号，也就是输出的希望值。因而，E(s)是从输出端定义的非单位控制系统的误差。E(s)=R(s)B(s)=R(s)H(s)C(s),由此可见，从系统输入端定义的稳态误差，可以直接或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。,19,3.稳态误差ess定义：,例3-8设单位反馈控制系统的开环传函为，,当 r(t)=t2/
10、2 R(s)=1/s3解法一：,终值定理的条件,试求当输入信号分别为r(t)=t2/2，r(t)=1(t)，r(t)=t，r(t)=sint 时，控制系统的稳态误差。解：,20,解法二：,e(t)=T(tT)+T2 e t/T,(2)当 r(t)=1(t)R(s)=1/s,(3)当 r(t)=t R(s)=1/s2,21,(4)当r(t)=sint R(s)=/(s2+2),终值定理的条件不成立！,22,3.6.2 给定作用下的稳态误差,不失一般性，开环传函可写为：,=0 称为 0 型系统；=1 称为型系统；=2 称为型系统。等等,在一般情况下，系统误差的拉氏变换为：,23,1.阶跃输入作用下
11、的稳态误差,令,系统的静态位置误差系数,0 型系统：Kp=K ess=R/(1+K)型及型以上系统：Kp=ess=0,24,2.单位斜坡输入作用下的稳态误差,令,静态速度误差系数,0 型系统：Kv=0 ess=型系统：Kv=K ess=R/K型及型以上系统：Kv=ess=0,25,3.加速度输入作用下的稳态误差,令,静态加速度误差系数,0 型系统：Ka=0 ess=型系统：Ka=0 ess=型系统：Ka=K ess=R/K 型及型以上系统：Ka=ess=0,26,阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差,r(t)=Rt2/2,r(t)=R t,r(t)=R1(t),静态误差系数,系统型别,ess
12、=R/Ka,ess=R/Kv,ess=R/(1+Kp),Kp Kv Ka,R/(1+K),K 0 0,0,R/K,0,0,K,2,R/K,0,K 0,1,27,例3-9 已知两个系统如图所示，当参考输入r(t)=4+6 t+3t 2，试分别求出两个系统的稳态误差。,解：图（a），型系统 Kp=，Kv=10/4，Ka=0,图（b），型系统Kp=，Kv=，Ka=10/4,28,3.6.3 扰动作用下的稳态误差 所有的控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用之下。因此，系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗干扰能力。计算系统在扰动作用下的稳态误差，同样可以采用拉氏变换终值定理。例3-10 控制系统如图,29,H(s)=1，G1(s)=K1，G2(s)=K2/s(Ts+1)试求系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差。,解：（1）单位阶跃给定作用下的稳态误差:系统是型系统：Kp=ess=0（2）单位阶跃扰动作用下的稳态误差。系统误差的拉氏变换为,30,系统结构稳定，且满足终值定理的使用条件。扰动单独作用时稳态误差为,（3）根据线性系统的叠加原理，系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差为,31,结束，谢谢欣赏,32,
