《类时频分布》PPT课件.ppt

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1、第4章Cohen类时频分布,4.1 前言 4.2 Wigner分布与模糊函数 4.3 Cohen类时频分布 4.4 时频分布所希望的性质 及核函数的制约 4.5 核函数对时频分布中 交叉项的抑制 4.6 减少交叉项干扰的核的设计,4.1 前言,1966年，Cohen给出了时频分布的更一般表示形式：式中 称为时频分布的核函数，也可以理解为是加在原Wigner分布上的窗函数。不同的，可以得到不同类型的时频分布。目前已提出的绝大部分具有双线性形式的时频分布都可以看作是Cohen类的成员。,4.2 Wigner分布与模糊函数,模糊函数定义 令 为一复信号，由定义 的瞬时自相关函数为（）并定义 相对 的

2、傅立叶变换（）为 的WVD。,的对称模糊函数 定义为 相对变量 的傅立叶逆变，即：（）由（）式，有）对该式两边取相对变量 的傅立叶变换，立即可得（）该式说明，信号的WVD是其AF的二维傅立叶变换。,令 为一复信号，定义，分别是作正、负移位和正、负频率调制所得到的新信号，即：（）（）式中为时移，为频移，显然）即：模糊函数可理解为信号在作时移和频率调制后的 内积。,模糊函数的含义,当将信号 发射出去并由一固定目标作无失真反射回来时，反射信号应是。通过估计时间可知道从信号发射点到目标的距离。若目标是移动的，由多普勒效应，还将产生频移，即接受到的信号应是。因此，模糊函数在雷达理论中具有重要的作用。,模

3、糊函数的性质：,.若，则（）2.若，则（）的最大值始终在平面 的原点，且该最大值即是信号的能量，即：（）如果我们再定义（）,为 的“瞬时”谱自相关，式中为的FT，则：（）（）且（）,WVD和AF的本质区别：不论 是实信号还是复信号，其WVD始终是实信号，但其模糊函数一般为复函数。两个信号，的互WVD满足（）而其互AF不存在上述关系，即（）,WVD和AF分别处在不同的“域”：时频域，对应：瞬时自相关域，对应：“瞬时”谱自相关域，对应：模糊函数域，对应之所以称 为“模糊函数”，是因为 和 分别对应了频域的“频移”和时域的“时移”。,图WVD和AF的关系,举例说明 和 在 和 平面上的位置的不同 例

4、令（）我们在例中已求出其WVD是（）同样可求出其模糊函数是（）,分析结论：（1）是实函数，而 是复函数；（2）的中心在 处，它是一高斯型函数，时域、频域的扩展受 的控制；的中心在 处，其幅值也是高斯型函数，且受到一复正弦的调制。该复正弦在 和 轴方向上的震荡频率由 和 所控制。这就是说，和 并不影响 的中心位置，影响的只是其震荡速度。,例4.2 令（）其模糊函数（AF）：(4.2.20)及 是 的AF的互项，其中：（）式中，因此 的中心为 的中心为,x(t)的模糊函数与时频分布,(a)模糊函数,(b)时频分布,将WVD的互项及（）式均写成极坐标的形式，即：（）（）由（）式，有（）由（）式，有（

5、）,上式结果表明：WVD互项的相位对 和 的偏导数分别对应于该信号模糊函数的互项的中心坐标，即。AF中互项的位置直接反映了WVD中交叉项的震荡状况。WVD中交叉项震荡越厉害，那么，AF中互项的中心距 平面的原点越远，反之，我们由AF互项的中心位置又可大致判断WVD互项的震荡程度。,WVD和AF各自互项与自项的位置及它们互项间的关系提供了一个抑制WVD中交叉项的有效途径，即：（1）首先对 求模糊函数，由于 的自项始终在平面 的原点处，而互项远离原点，因此，我们可设计一个 平面的低通滤波器对 滤波，从而有效地抑制了 中的交叉项；（2）对滤波后的AF按（）式作二维傅立叶变换，得到。这时 的已是被抑制

6、了交叉项的新WVD。,AF中越是远离原点的交叉项，在 的作用下，抑制的效果越明显。,图4.2.3 同一信号AF及WVD互项与自项的位置示意图,4.3 Cohen类时频分布,时频分布形式 令，Cohen类分布的统一表示形式变为（）即Wigner分布是Cohen类的成员，且是最简单的一种。,Rihaczec分布 Page分布 ChoiWillams分布 BornJordan分布,Cohen类分布的其它表示形式 1、用 的频谱 表示，即 2、用模糊函数表示（）（）3、用WVD表示（）,4、用广义模糊函数表示在（）式中，定义（）为信号的广义模糊函数，那么（）5、用广义时间相关表示定义时间自相关域的核函

7、数为：（）则广义时间自相关定义为：（）,（）6、用广义谱自相关表示。定义（）为谱自相关域的核函数，那么广义谱自相关定义为：（）这样，可表为 的傅立叶逆变换，即：（）,Cohen类时频分布的六种表达形式，归纳起来可分为四类：和 在域 内的卷积（）；广义模糊函数的 傅立叶变换（）、（）及（）；瞬时时间自相关 和时间自相关域核函数 在t方向上卷积后的 傅立叶变换）（）；瞬时谱自相关 和谱自相关域核函数 在 方向上卷积的傅立叶变换（）（）。,由Moyals公式，可以证明，图谱也是Cohen类的成员，即：（）式中 是作STFT时所用时域窗函数 的WVD。比较（）式，对应，它应是某一模糊函数的2-D傅立叶

8、变换。,表已知时频分布及其核函数,4.4时频分布所希望的性质及对核函数的制约,由表可以看出，给出不同的核函数可以得到不同的分布。因此，通过对核函数的性能的分析，可以考察其时频分布的能性，可以得到一个新的分布，对核函数施加一些制约条件，有可能得到我们所希望的时频分布的性质。表列出了这些性质 及对核函数的制约。,表所希望的时频分布的性质及对核函数的制约,表六个时频分布满足性质情况比较,Y-Yes,性质 及对核函数 的要求 给出一些解释，时频分布的非负性，即 但遗憾的是，对已知的许多分布，它们并不满足这一性质。如表中的六个分布，只有谱图总是正的。条件 指出，若想保证Cohen类的某一成员是恒正的分布

9、，则 应是某一函数的模糊函数。,实值性，即，：证明：由（）式，令，则上式变为显然，如要求，必有,时移：若，则：不决定于 证明：因为 处于 域，和t无关，所以它不影响分布的时移性质；频移：若，则：与无关性质 与 称为Cohen类时频分布的“移不变”性质，它包含了时移和频移。,时间边缘条件，即：频率边缘条件，即：,瞬时频率与 的关系，即：及 群延迟与 的关系，即：及,时域支撑范围，即：若 时，希望，对：频域支撑范围，即：若 时，希望：减少交叉项干扰：是 平面上的2D低通函数。,给定一个信号，记其时频分布为。假定 在 和 的范围内为零，若 在 和 的范围内也为零，则 称具有弱有限时间支撑性质。同理，

10、假定 在 之外为零，若 在 也为零，则称 具有弱有限频率支撑性质。和 指的是弱有限支撑。若信号 分段为零，在 为零的区间内也为零，则 称具有强有限时间支撑性质。强有限支撑的含义是：只要 为零，在所对应的时间段内 恒为零。同理可定义强有限频率支撑。,4.5核函数对时频分布中交叉项的抑制,单分量信号和多分量信号的区别是在任意固定的时刻，该信号的瞬时频率 是单值的还是多值的。一个多分量信号又可表为单分量的和，即：(4.5.1)式中 都是单分量信号，因此（4.5.2),相应的时频分布（）也由自项和互项所组成。互项即是交叉项，它是对真正时频分布的干扰，应设法将其去除或尽量减轻。减轻 中交叉项的一个有效途

11、径是通过的模糊函数来实现。的广义模糊函数：（）核函数 取平面 上的2-D低通函数。可去除或抑制时频分布中的交叉项。,举例说明核函数 对交叉项的效果 例 指数核（4.5.7)其相应的TF分布称为指数分布（ED），属于Cohen类。显然，且当 和 同时不为零时。为常数。越大，自项的分辨率越高，越小，对交叉项的抑制越大。因此，的取值应在自项分辨率和交叉项的抑制之间取折中，并视信号的特点而定。若信号的幅度和频率变化得快，应取较大的，反之取较小。的取值推荐在0.110之间。当 时，ED变成WVD，可以有效地抑制交叉项，但不能保证性质 和。,ED对应的时域的核为（）相应的时频分布是（）,例令 由三个时频“

12、原子”组成，和 具有相同的归一化频率（0.4），但具有不同的时间位置（分别是32和96）。令 和 具有相同的时间位置，但归一化频率为0.1。的时域波形如图所示，其理想的时频分布如图所示。其WVD如图所示。图c中存在着由这三个“原子”两两产生的共三个交叉项。图是 的模糊函数。图是指数核 的等高线图，,图（a）的时域波形 图（b）理想时频分布,图4.5.1(c)的WVD,可以看到，图中存在着由这三个“原子”两两产生的共三个交叉项,AF的自项位于中心，在 轴和 轴上各有两个互项，在第二和第四象限也各有一个互项，因此，该信号的AF共有6个互项。,图4.5.1（d）的模糊函数,图4.5.1(e)指数核

13、的等高线图,它在原点最大，在 轴和 轴上恒为1。改变，可调节坐标轴两边两个等高线的距离。越大，距离越大，反之距离越小。,在第二和第四两个象限的互项已被去除，在 轴和 轴上的四个互项在图中体现出来，但实际上也被抑制。,图4.5.1(f),图4.5.1g 是用ED求出的 的时频分布,交叉项较之图的WVD，已大大减轻,4.6减少交叉项干扰的核的设计,如果 可以写成变量，的积的函数，即那么该核函数称为“积核”，在表中，sinc 及ED核都是积核。如果 可以写成 各自函数的积，即那么 称为可分离的核。,定义,可分离核的计步骤：步骤1 设计一个基本函数，使满足下述条件：（a）有单位面积，即；（b）为偶对称

14、，即；（c）是时限的，即当 时。（d）以t=0为中心向边际平滑减少，以保证含有较少的高频分量。步骤2 取 的傅立叶变换，即步骤3 用 代替 中的，得到积核函数（）,按以上原则设计出的核，所对应的分布称为减少干扰分布，即RID。RID主要强调如何抑制交叉项干扰，但同时也兼顾时频分布的其它性质。式（）的核函数，条件（a）对应 和，条件（b）保证了，和。现在考察条件（c）。现将（）两边相对作傅立叶变换，即（）按傅立叶变换的变量加权性质，有（）,因此条件（c）意味着满足 和。条件（d）的目的是用以减少交叉项干扰，即令 是 平面的2D低通函数，因此条件（d）满足。不同 所对应的TF分布形式 若，那么，对

15、应的分布是WVD。满足条件（a）、（b）和（c），但不满足（d），因此WVD不具备性质 及相应的制约。若，则，此为复数核形式的Rihaczek分布，满足条件（a）和（c），不满足条件（b）和（d）。,若，则，对应ReRihaczek分布，也只满足条件（a）（c），不满足（d），所以该分布也和WVD一样，满足，不满足 及相应的制约若对，则，对应BornJordn分布，满足条件（a）（d），所以该分布满足性质。若，此 对应ChoiWillams分布，满足条件（a），（b）和（d），所以相应的TF分布有性质 和,设计思路及所得核在四个域内的形状BornJodan（BJ）分布对应的，对该 满足上述（a）（d）的四个条件。由 对应 域用 代替，得BJ分布的核，即（）这是模糊域 的核函数。形状如图（a）所示。,图4.6.1(a)BJ分布核函数在 域内的形状,对应 域令，则，利用傅立叶变换的定标性质，有（）的形状如图4.6.1(c)所示。,图4.6.1(c)的形状,在 域的表示形式（）的形状如图（d)所示。,图（d）的形状,在 域的表示形式（）其形状如图（b）所示。,图4.6.7 的形状,