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1、5.3 置信区间,一、置信区间的概念,二、寻求置信区间的方法,三、正态总体参数的置信区间,四、大样本情形的渐近置信区间,一、置信区间的概念,定义55(置信区间),一、置信区间的概念,定义55(置信区间),二、寻求置信区间的方法,例512 设总体XN(2)2已知 未知(X1 Xn)为来自X的样本 试求的1置信区间,二、寻求置信区间的方法,例512 设总体XN(2)2已知 未知(X1 Xn)为来自X的样本 试求的1置信区间,二、寻求置信区间的方法,例512 设总体XN(2)2已知 未知(X1 Xn)为来自X的样本 试求的1置信区间,二、寻求置信区间的方法,例512 设总体XN(2)2已知 未知(X
2、1 Xn)为来自X的样本 试求的1置信区间,求未知参数的置信区间的一般步骤,解,又由2分布的可加性得,解,经不等式变形得,解,三、正态总体参数的置信区间,1 均值的置信区间,(1)方差 2已知的情形,根据例512 在 2已知的条件下 的1置信区间为,由题意知n36 450 005,解,于是,查表得 u/2,196,从而的95%置信区间为,这里要注意(5293 5587)是一个普通区间“属于该区间”这件事情的可信程度为95%或该区间属于那些套住的区间的概率为95%,例515 设总体XN(2)其中未知 24 设(X1 Xn)为其一个样本(1)当n16时 试求置信水平分别为09及095的的置信区间的
3、长度(2)n多大方能使的90%置信区间的长度不超过1?(3)n多大方能使的95%置信区间的长度不超过1?,(1)记的置信区间长度为 则,解,例515 设总体XN(2)其中未知 24 设(X1 Xn)为其一个样本(1)当n16时 试求置信水平分别为09及095的的置信区间的长度(2)n多大方能使的90%置信区间的长度不超过1?(3)n多大方能使的95%置信区间的长度不超过1?,解,也就是说 样本容量n至少为44时 的90%置信区间的长度才不超过1,n(22165)2 即n44,(3)当195%时 类似可得n61,(1)当190%时 1.65 当195%时 1.96,(2)方差 2未知的情形,在
4、2未知的情况下 的1置信区间为,2 方差 2的置信区间,在未知时 2的1置信区间为,标准差的1置信区间为,在已知时 2的1置信区间为,2 方差 2的置信区间,在未知时 2的1置信区间为,例516 为考察某大学成年男性的胆固醇水平 现抽取了样本容量为25的一个样本 并测得样本均值为x186 样本标准差为s12 假定胆固醇水平XN(2)与 2均未知 分别求以及的90%置信区间,查表得t/2(251)t0.05(24),从而的90%置信区间为(1864106)即(18189 19011),解,1.7109,于是,例516 为考察某大学成年男性的胆固醇水平 现抽取了样本容量为25的一个样本 并测得样本
5、均值为x186 样本标准差为s12 假定胆固醇水平XN(2)与 2均未知 分别求以及的90%置信区间,解,查表得,从而的90%置信区间为(974 1580),四、大样本情形的渐近置信区间,如果枢轴量的分布不易确定 有时可用极限分布来构造近似的置信区间 当然此时要求样本容量足够大 近似置信区间的求法与精确的置信区间求法类似 不同的只是将枢轴量的精确分布改为极限分布,例517 设总体X服从参数为p的两点分布 p未知 0p1(X1 Xn)为其样本 试求p的置信区间,解,根据定理310知当n足够大时u近似服从N(0 1)分布,例517 设总体X服从参数为p的两点分布 p未知 0p1(X1 Xn)为其样
6、本 试求p的置信区间,解,对给定的置信水平1 由,经不等式变形得 Pap2bpc01,其中,又由a0知ap2bpc0等价于p1pp2 其中,总之 对给定的1 存在p1与p2使 P(p1pp2)1 于是(p1 p2)是p的一个置信水平近似为1的置信区间,说明 在实际问题中 两点分布的未知参数p的置信区间 往往采用下面简化的区间,例518 为了研究在一指定时间段内某地区的国际互联网用户所占的比例 随机地调查了该地区的400名居民 发现其中有108名居民为上网者 试求该地区居民的上网率p的95%置信区间,由题意知总体服从01分布 参数p即上网率 p的置信水平近似为1的置信区间是,解,置信区间为,即(
7、023 031),如果一个总体X 其均值与方差 2是两个独立的参数 或者我们根本就不知道X的分布类型 那么在大样本情形 对参数或 2的区间估计完全类似于正态总体情形 只不过那里枢轴量的精确分布在这里均变为渐近分布 相应的置信区间变为近似的置信区间,例如 2未知 求的区间估计,由定理44 当样本容量n充分大时 枢轴量,渐近服从N(0 1)于是的近似置信区间为,大样本情形下均值与方差的区间估计,例519 某类设备所需的关键部件的连续使用寿命X(单位 kh)所服从的分布类型尚不清楚 通过加速失效试验法 测试100个此类部件的连续使用寿命 测得样本平均值为x17.84 样本标准差为s125 试由试验结果求EX的置信水平为99%的近似置信区间,由题设x17.84 s125 n100,解,计算可得,查附表u/2,2.56,给定001,故的置信水平为99%的近似置信区间为(1752 1816),
