《群表示理论》PPT课件.ppt

《《群表示理论》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《群表示理论》PPT课件.ppt（29页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、2.1 群的矩阵表示2.2 舒尔引理2.3 表示矩阵元的正交性定理2.4 表示的构造2.5 基函数的性质2.6 表示的特征标2.7 群元空间2.8 正规表示2.9 完全性关系2.10 表示的直积2.11 直积群的表示,第二章 群表示理论,定义：群 G 的矩阵表示，就是一个与群 G 同态的方知阵群也就是说，对于群 G 的每一个元 A，对应着方矩阵群的一个方矩阵 D(A)，并且 D(A)D(B)=D(AB)(2.1-l)对于群 G 中的每一个 A 及 B 都成立 若知阵群与群 G 是同构关系，那么这个表示就称作确实表示；若二者是同态关系，群 G 的元多于矩阵群的元，那么，群 G 的几个元就对应于一

2、个相同的矩阵，这种表示就称作不确实表示后面还会看到矩阵群大于群 G 的同态关系群 G 的表示记作 DG；,矩阵的行（或列）数l称作表示的维数由定义可知：(l)D(E)=I0,I0是 ll 的单位矩阵；(2.1-2)(2)D(A-1)D(A)-1.(2.1-3)一个群的矩阵表示必然自动地就是其子群的一个矩阵表示，简称为“表示”.,2.1 群的矩阵表示,例 在第一章中 33 的矩阵群d3群与正三角形的对称群D3群同构，因此，d3 群的各元就是D3 群的一个三维的确实表示即,第一章还给出了六个22矩阵组成的群.该群与d3群同构，因而也与D3群同构，所以是D3群的一个二维表示.,由于D3群与C3V群同

3、构，而当用坐标变换来表示C3V群的操作时，就得到了D3群的一个三维表示，即：,D3 群的一个一维表示是要提出的，那就是由仅有一个元的矩阵形成的表示，即 D(E)=D(A)=D(B)=(1)这个表示称作恒等表示（平庸、单位、显然表示）任何一个群都有这么一个恒等表示 可见，任意一个群，都有无限多个表示，这些表示都可由若干个基本的表示形成，而每一个群的基本表示的个数却往往是有限的,等价表示与幺正表示（1）等价表示相似变换 有一个l维的方矩阵 M，若用一个非奇异的 ll 矩阵 S 进行变换 M=S-1MS(2.1-4)那么 M就称作 M 的相似变换.等价表示 两个以相似变换联系起来的表示称为等价表示记

4、作 DG DG由于矩阵之间的关系不受相似变换的影响，所以把一切等价的表示都认为是相同的表示 要证明对于群G的一个表示DG进行相似变换后得到的DG仍为群 G 的一个表示即证明，当 D(A)D(B)=D(C)时，D(A)D(B)=D(C)亦成立其中 A，B是群 G 中的任意元，C=AB.,证明：根据定义 D(A)D(B)=(S-1D(A)S)(S-1D(B)S)=S-1D(A)D(B)S=S-1D(C)S=D(C)例：将 d3 群的各元（D3群的表示），用幺正矩阵作相似变换，得到新的表示为,d3 群：,(2)幺正表示 幺正矩阵 如果一个矩阵U的逆U-1等于矩阵 U 的复共轭转置矩阵*,U就称作幺正

5、矩阵由于*=U+,，所以当U-1=U+时，U就是幺正矩阵.任何一个实正交矩阵R是幺正的因为 R 是正交的，所以，由于R是实的，所以(2.1-5)幺正表示 若群G 的一个矩阵表示中，所有的矩阵都是幺正的，那么这个表示就称为群 G 的一个幺正表示对于幺正表示，D(A-1)=D(A)+成立因为对于幺正表示，D(A)D(A)+=I0 对任意G中的A成立，而已知 D(A)D(A-1)=I0，于是，D(A-1)=D(A)+(2.1-6),定理一 有限群的任何非奇异的矩阵表示，都可以通过相似变换变成幺正的矩阵表示证明：只需指出对群 G 的任何非奇异的矩阵表示，总存在相似变换矩阵 S 使之成为幺正表示即可.证

6、明分三步进行 令 g 阶群的表示D(Al),D(A2)，D(A)，D(Ag)记作 Al,A2，A，Ag.第一步：作一个矩阵 H(2.1-7)因为(2.1-8)所以，H 是厄米矩阵由于任何厄米矩阵都可以通过一个幺正的相似变换变为对角矩阵，因此，存在一个幺正矩阵 U，使 为对角矩阵而(2.1-9),第二步：的所有对角元都是实数而且是正的因为(2.1-10)只有当 对一切全部为零时，才能为零如果这样，对于一切，表示矩阵A都将有一 整行（第k行）为零，这与非奇异表示的前提不合，所以 的任一对角元都不可能为零，是实数且是正的 于是，可以定义两个实的对角矩阵 D1和D2:(2.1-11)它们满足(2.l-

7、12)其中I0为单位矩阵,第三步：证明 UD1 就是使表示矩阵 A变成幺正表示 的变换矩阵,现在证明,这就证明了新的表示矩阵确是幺正矩阵，定理得证.证明过程中用到了重排列定理.以后讨论群的表示时，只讨论幺正表示.定理二 若群G的两个幺正表示DG和DG是等价的，那么，必然存在一个幺正矩阵U，使 D(R)=U-1D(R)U 证明：已知DG和DG等价，必存在一个非奇异的矩阵S，使 D(R)=S-1D(R)S，显然 D(R-1)=S-1D(R-1)S，上式两边取厄米共轭后，得 D(R-1)+=S+D(R-1)+(S-1)+(2.1-14)因为：D(R-1)+=D(R-1)-1=D(R)D(R-1)+=

8、D(R),(S-1)+=(S+)-1所以，式(2.1-14)变为 D(R)=S+D(R)(S+)-1(2.1-15),由D(R)=S-1D(R)S，得 S-1D(R)S=S+D(R)(S+)-l(2.1-16)上式左乘 S，右乘S+后，得 D(R)SS+=SS+D(R)(2.1-17)矩阵SS+可以与D(R)对易，这表明以SS+作D(R)的相似变换，使D(R)不变且(SS+)+=SS+(2.1-18)故SS+是厄米矩阵，所以，必存在一个幺正矩阵V使之对角化，即 V-1SS+V=SS S(2.1-19)S是对角矩阵，且是厄米矩阵，因为 S+=(V-1SS+V)+=V+SS+(V-1)+=V-1S

9、S+V=S(2.1-20)上式利用了V的幺正性，即V+=V-1,(V-1)+=V S=,由式（2.1-19）得SS+=SSVSV-1，将此式代入式（2.1-17),得 VSV-1D(R)=SSD(R)VSV-1(2.1-21)以V-1左乘上式，再右乘以V，得 SV-1D(R)V=V-1D(R)VS(2.1-22)上式表明S与V-1D(R)V对易 定义一个矩阵S1/2，其对角元为(S1/2)ii=(Sii)1/2，这样 S1/2 S1/2=S(2.1-23)且 S1/2V-1D(R)V=V-1D(R)VS1/2(2.1-24)以S-1/2左乘及右乘上式，得 V-1D(R)VS-1/2=S-1/2

10、V-1D(R)V(2.1-25)以V左乘，V-1右乘上式,得 D(R)VS-1/2V-1=VS-1/2V-1D(R)(2.1-26),即VS-1/2V-1与D(R)对易.令 M=VS-1/2V-1(2.1-27)于是 D(R)M=MD(R)(2.1-28)令U=MS，下面将证明，U是幺正矩阵.UU+=MS(MS)+=MSS+M+=VS-1/2V-1SS+VS-1/2V-1(2.1-29)再利用式(2.1-19)，上式就变成 UU+=VS-1/2SS-1/2V-1=VV-1=I0所以，U是幺正矩阵由式D(R)=S-1D(R)S及式（2.l-28）得 D(R)=S-1M-1D(R)MS=(MS)-

11、1D(R)(MS)=U-1D(R)U定理得证.,可约表示与不可约表示 取群G 的两个表示矩阵 D1(A)及D2(A)来构造一个新的矩阵 D(A)(2.l-29)其中D1(A)是 l1维的，D2(A)是l2维的，D(A)是(l1+l2）维的，而 D(A)的上半部右边 l1 l2 的块及底部左边l2l1的块中的所有元都是零这种形式的矩阵，称为块状对角矩阵 D(A)也是群G 的一个表示，因为,式(2.l-29)为可约表示.定义：可约表示：若群 G 的表示 DG，可以用同一个相似变换将所有群元的表示矩阵D(A)、D(B)、同时变成具有相同块结构的块状对角矩阵，那么这个表示就称为可约表示不可约表示：如果

12、一个表示不能做到上述这一点，那么这个表示就称为不可约表示就是说这种表示不能用更低维数的表示来表述,(2.l-30),若 DG1及DG2是不可约表示，则可约表示 DG可表为 DG=DG1 DG2(2.1-31)其中符号表示直和可见，不可约表示是“基本的”表示，在实际应用中，群 G 的不可约表示是至关重要的,舒尔引理：若有一非零矩阵 A 同一个群的某一表示中的所有矩阵对易，若此表示是不可约表示，则 A 必为单位矩阵的常数倍；若 A 不是单位矩阵的常数倍，则表示必为可约的当 A 是厄米矩阵时，约化矩阵就是使 A 对角化的矩阵证明：设群的表示是DG，且是幺正的.已知 D(R)A=AD(R)(2.2-l

13、)第一步：定理的证明只需对 A 为厄米矩阵的情况成立即可取上式的厄米共轭 A+D(R)+=D(R)+A+(2.2-2)因已知D(R)是幺正的，即D(R)+=D(R)-1于是式(2.2-2)变成 A+D(R)-1=D(R)-1A+(2.2-3)以D(R)左乘及右乘上式，得,2.2 舒尔引理,D(R)A+=A+D(R)(2.2-4)用A和A+造两个厄米矩阵：H=A+A+,J=i(A-A+)(2.2-5)于是式（2.2-1）就等价于 D(R)H=HD(R)(2.2-6)D(R)J=JD(R)(2.2-7)只要舒尔引理对厄米矩阵H、J 证明成立，则对非厄米矩阵A 也必然成立因为，若H、J是单位矩阵的常

14、数倍，A 也必然是这样；另一方面，若A不是单位矩阵的常数倍，则H、J中至少有一个不是单位矩阵的常数倍因此，舒尔引理若对厄米矩阵成立，对非厄米矩阵 A 也必然成立.,第二步：取A为厄米矩阵，且满足式(2.2-1)由于厄米矩阵可以对角化，因此，必有一幺正矩阵S存在，满足 S-1ASA(2.2-8)其中A为一对角矩阵现在我们用这个矩阵 S 对式(2.2-l)作相似变换.S-1D(R)AS=S-1D(R)SS-1AS=S-1ASS-1AD(R)S 得 S-1D(R)SA=AS-1D(R)S(2.2-9)取上式的ij分量即 S-1D(R)Sij(Ai-Aj)=0(2.2-10)这时可以有两种情况：(a)

15、A的对角元Ai,Aj对一切 i,j全部相同；(b)Ai,Aj有不相同的.,第三步：先讨论情况(b)，即A的对角元有不相同的，因此A（因而 A）不是单位矩阵的常数倍.可把A的全部对角元分成两组，令对角元 Aj A的分在第一组，其余Aj A的分在另一组，记作 A 于是式(2.2-10)就变成 S-1D(R)S(A-A)=0由上式知，当 时，有 S-1D(R)S=0(2.2-11)这时，进行一个相似变换，改变行和列的编号，把第一组的对角元调在前面，第二组的在后面，这时，所有的矩阵S-1D(R)S就同时成为分块对角形式，即为,由此得出两点结论：全部表示矩阵D(R)都可以通过一个幺正变换（变换 S 加一

16、个重新编号的变换）同时成为有相同结构的分块对角矩阵，即D(R)是可约的 约化矩阵就是使 A 对角化的矩阵这就证明了引理的第二部分第四步：讨论（l）的情况，若已知表示为不可约表示，则 A 有两种可能：A 是单位矩阵的常数倍；A不是单位矩阵的常数倍情况 导致表示是可约的结论，与前提矛盾，因而是不可能的，所以只可能是情况，即A只能是单位矩阵的常数倍这就证明了引理的第一部分.至此，引理全部证完,舒尔引理的逆定理（1）若除单位矩阵的常数倍外，没有任何非零矩阵能与群 G 的某一表示的所有矩阵对易，则这个表示是不可约的；（2）若群 G 的表示是可约的，那么，必存在至少一个非零的、不是单位矩阵的常数倍的矩阵与

17、所有表示矩阵对易证明：先证（2）若DG是群 G 的可约表示，则一定存在一个幺正矩阵S，使D(R)全部变成为有相同块结构的分块对角矩阵 D(R).D(R)=S-1D(R)S(2.2-12)D(R)是分块对角矩阵，例如,取一矩阵A，令其中ab,I0为单位矩阵 A对角块的结构与 D(R)的相同这样，A与全部的D(R)对易，即 AD(R)=D(R)A(2.2-13)将式(2.2-12)代入上式，得 AS-1D(R)S=S-1D(R)SA(2.2-14)将上式两边左乘 S，右乘S-1得 SAS-1D(R)=D(R)SAS-1(2.2-15)取A=SAS-1，即有 AD(R)=D(R)A(2.2-16)其中 A 不可能是单位矩阵的常数倍 这就证明了对群 G 的可约表示DG，总能找到一个非单位矩阵的常数倍的矩阵与其所有表示矩阵对易 若除单位矩阵的常数倍外，再也找不到其他矩阵与之对易的表示，就必然是不可约表示,利用舒尔引理判断群 G 的表示是否可约时，往往利用群中属于同一类的各元的表示矩阵之和，必然与群中一切元的表示矩阵对易的性质，得出几个与表示的一切矩阵对易的矩阵 A 若它们不是零矩阵或单位矩阵的常数倍，就足以判断这个表示是可约表示；若它们是单位矩阵的常数倍或者是零矩阵，就不能用此法判断了 舒尔引理不仅提供了一个判断表示的可约性以及约化一个表示的原则方法，而且是几个重要定理的基础,