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1、第2章 逻辑函数及其化简,数字电子技术基础,主要介绍逻辑代数的基本运算、基本定律和基本运算规则，然后介绍逻辑函数的表示方法及逻辑函数的一般化简方法。逻辑代数称为布尔代数，开关代数。逻辑代数是用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。逻辑函数式中逻辑变量的取值和逻辑函数值只有“1”和“0”。这两个值表示客观事物的两种相反的状态。开关的闭合与断开、灯的亮与灭、电位的高与低、事件的真与假等。描述电路的工作状态，1表示高电平，0表示低电平。“1”和“0”的物理意义是随着所研究的对象的不同而变化的。,2.1 逻辑代数的运算,数字系统中的逻辑函数关系是指输入变量取任意一组确定的值，输出变量也有唯一确定
2、的值与其对应。设输入变量为x1，x2，x3，xn，输出变量为Y，则描述输出变量和输入变量的逻辑函数可表示为 逻辑函数表达式和逻辑变量之间的关系是由基本的逻辑运算决定的。,2.1.1 逻辑代数的基本运算,逻辑代数的基本运算有三种：与（AND）、或（OR）和非（NOT）运算1与逻辑一个事件受到若干条件影响，如果决定事件的所有条件具备，其事件才会发生，有一个条件不具备，事件也不会发生，这样的逻辑关系称为“与”逻辑，也叫逻辑乘。开关A、B闭合为1、断开为0、灯Y亮为1、灯灭为0。开关与灯之间的对应关系称为与逻辑。与逻辑的运算规律为00=0，01=0，10=0，11=1。与逻辑真值表,Y=AB,与逻辑的
3、表达式,2或逻辑一个事件受到若干条件影响，如果有一个条件或几个条件具备时，这一事件就会发生，只有所有条件都不具备时，事件才不会发生，这样的逻辑关系称为“或”逻辑，也叫逻辑加。开关A或开关B中有一个闭合，或者两个开关都闭合时，灯会亮。只有开关A、B都断开时，灯Y才熄灭。或逻辑的运算规律为0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1“+”号表示逻辑加，或运算。或逻辑的表达式或逻辑真值表,3非逻辑决定某一事件的唯一条件，这个条件具备时，这一事件不会发生，而当这个条件不具备时，这个事件反而能够发生，这样的因果关系称为“非”逻辑。开关A闭合时，灯灭；开关A断开时，灯亮。这种逻辑关系为“非”逻辑 非逻辑
4、的表达式 读做A非。A与Y互为反变量。在逻辑运算中，非运算优先级最高，其次是与运算、或运算。非逻辑的运算规律为非逻辑真值表,与、或、非逻辑门的两种通用逻辑符号国际通用的特异形符号国内通用的矩形符号。,非门是只有一个输入端的逻辑门，称为“反相器”。,（1）逻辑表达式与逻辑的表达式 Y=AB“”表示逻辑乘，“”可以省略，写为Y=AB 多变量的逻辑乘Y=ABC，或Y=ABC。（2）逻辑真值表真值表（truth table）是逻辑函数的一种完全描述方式。输入变量全部取值组合与对应的输出函数值排成表。n个变量的逻辑函数共有2n个不同的变量取值组合。表示逻辑函数与逻辑变量各种取值之间的一一对应关系。两个逻
5、辑函数的真值表相同，两个逻辑函数必然相等。（3）逻辑图逻辑图是用逻辑门的逻辑符号连接成的，用来表示相应逻辑电路的功能。（4）逻辑波形图逻辑波形图（waveform）是输入变量的取值与输出值对应的逻辑关系，按时间顺序一一对应排列的图形，也称为时序图。与逻辑的波形图,2.1.2 逻辑代数的复合运算,与、或、非是三种基本的逻辑运算。将与、或、非组合实现复合逻辑运算。（1）与非运算（NAND）与非的运算顺序为，先“与”后“非”。逻辑表达式为（2）或非运算（NOR）或非的运算顺序为，先“或”后“非”。逻辑表达式为 与非和或非逻辑都可以有多个输入变量的情况,（3）与或非运算（AND-NOR）与或非的运算顺
6、序为，先“与”后“或”再取“非”。逻辑表达式为,与或非真值表,（4）异或运算异或运算是二变量逻辑运算。逻辑表达式为,异或运算的逻辑关系为：当输入A、B相异时，输出Y为1，当输入A、B相同时，输出Y为0。异或逻辑真值表,同或逻辑真值表,（5）同或运算同或运算也是二变量逻辑运算。逻辑表达式为 Y=AB同或运算的逻辑关系为：当输入A、B相同时，输出Y为1，当输入A、B相异时，输出Y为0。同或逻辑为异或逻辑的非运算。AB=可以证明异或逻辑和同或逻辑的以下等式成立,（6）复合逻辑的图形符号,符号图中的小圈表示取非的含义。,2.2 逻辑代数的基本定律及规则2.2.1 逻辑代数运算的基本定律根据与、或、非三
7、种基本运算可以推导出逻辑代数的基本公式和定律表2.10 逻辑代数的基本定律和公式,0-1律给出变量和常量间的运算规则；重叠律给出同一变量的运算结果仍为该变量；互补律是一个变量和其反变量的运算规律；交换律和结合律表示逻辑运算的先后次序变化，对运算结果没有影响；,【例2.1】用真值表证明分配律 成立。解：将A、B、C的所有取值组合与等式两边的对应关系列出真值表。,对应ABC的各个不同组合，等式两边的真值表相同，分配律等式成立。,2.2.1 逻辑代数运算的基本定律表2.10 逻辑代数的基本定律和公式,还原律表明一个变量（逻辑函数）两次求反运算，仍还原为该变量。,【例2.2】证明公式解：根据分配律可以
8、证明结果表明，变量A项可以消去其他乘积项的 因子。,【例2.3】用真值表证明反演律反演律的真值表,【例2.4】证明公式,解：左边,由分别包含A和 两个乘积项中的其余因子构成的乘积项，是多余的乘积项，可以消去。,因为BC项是多余项，所以包含BC的乘积项都可以被吸收。,当两个包含互补因子的乘积项相加时，若它们的其他因子相同，则两项可以合并，消去互补因子。,解：,【例2.5】证明公式,推论：,【例2.6】证明等式 成立。解：右边 右边右边等于左边，证明等式成立。,2.2.2 逻辑代数运算的基本规则,1代入规则在任何一个逻辑等式中，若将等式两边所出现的同一变量以另一逻辑函数式代替，则等式仍然成立，这一
9、规则称为代入规则。逻辑函数和逻辑变量一样，只有0和1两种可能的取值，因而将等式中所有出现同一变量的地方均以同一函数代替，等式仍将成立。【例2.7】证明公式解：利用摩根定律 用函数式代替等式两边的变量X、Y得左边 右边 所以等式 成立,2反演规则对于任何一个逻辑函数式Y，如果将其中所有的“”换成“+”，“+”换成“”；“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量；则得到逻辑函数Y的反函数。这个规则称为反演规则。利用反演规则，可以求出一个函数的反函数。注意：（1）求反函数时要保持原函数中逻辑运算的优先顺序不变。与运算优先于或运算，“与”变为“或”时加括号。（2）可以将多个
10、与项和或项共有的非号保留不变，将非号下面的函数式按反演规则进行变换。【例2.8】求函数 的反函数解：【例2.9】求函数 的反函数解：利用反演规则可得反演律是反演规则的一个特例，应用反演律也可以求得反函数。,3对偶规则对于任何一个逻辑函数Y，若将式中的“”换成“+”，“+”换成“”；“0”换成“1”,“1”换成“0”；则得到逻辑函数Y的对偶函数。这一规则称为对偶规则。可以证明两个逻辑函数式如果相等，则其对偶式也相等。【例2.10】对A(B+C)=AB+AC等式两边求对偶，证明其对偶式也相等。解：对等式两边求对偶A+BC=(A+B)(A+C)得到分配律的公式【例2.11】求函数 的对偶式。解：对逻
11、辑函数Y两次求对偶，得到的是原函数Y。进行对偶式变换时要保持原式中运算的优先顺序。,2.3 逻辑函数的化简,常用逻辑函数的化简方法有公式化简法、卡诺图化简法和编写计算机辅助分析程序的Q-M法等。2.3.1 逻辑函数的表示方法1逻辑函数的标准形式逻辑函数的基本形式：与-或表达式（积之和表达式）或-与表达式（和之积表达式）。（1）最小项表达式标准与或表达式称为最小项表达式。在n变量的逻辑函数式中，每一个乘积项因子个数是n，乘积项中的每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，仅出现一次，该乘积项称为最小项。A、B、C三变量的最小项是3个变量可以构成23个不同的最小项；n个变量可以构成2n个不同的最小
12、项。用mi表示最小项。如果将乘积项中的原变量记为1，反变量记为0，代入乘积项可得一个二进制数。的取值为011。与二进制数相对应的十进制数就是该最小项的编号m3。例如=m2+m6+m7简写成最小项之和：每一个最小项只有一组变量取值使其为1，其余变量的取值组合都使其为0。使 为1的变量取值为010。,（2）最小项的性质最小项的性质：对于n个变量的任意一组取值组合，每个最小项都有一个取值组合使其值为1，其余取值组合均使该最小项为0。任意两个不同最小项的乘积为0。n个变量的所有最小项之和为1。相邻的两个最小项合并成一项，消去一对不同的因子。只有一个因子不同的最小项具有相邻性。任何一个逻辑函数Y都可以表
13、示为最小项之和的形式。,三变量最小项的编号表,【例2.12】将逻辑函数表达式转换成最小项表达式。解：可以利用公式 将与或表达式中的与项扩展成最小项。【例2.13】将逻辑函数表达式变换成最小项表达式。解：将逻辑表达式变换成与或表达式 采用配项法，将与或表达式中的与项扩展成最小项。,（3）最大项表达式标准或与表达式称为最大项表达式，在n变量的逻辑函数式中，每一个和项的因子个数是n，和项中的每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，仅出现一次。每个和项都是最大项。用Mj表示最大项。将和项的原变量记为0，反变量记为1，可以得到最大项的编号。A、B、C三变量的最大项（A+B+C），可见3个变量可以构成2
14、3个不同的最大项；n个变量可以构成2n个不同的最大项。,每一个最大项只有一组变量取值使其为0，其余变量的取值组合都使其为1。使 为0的变量取值为101。同一逻辑函数，最小项的编号和最大项的编号是互补的，同函数的最小项编号与最大项编号不相同。,三变量最大项的编号表,2逻辑函数形式的变换,逻辑函数描述方法有逻辑函数表达式、真值表、卡诺图、逻辑图和波形图等。不同表示形式之间可以互相转换。（1）由真值表写出与或表达式【例2.14】已知逻辑真值表，写出逻辑函数表达式。解：函数值为1的输入组合，写为乘积项，变量0写反变量，1写原变量。例如001写为。4个乘积项逻辑加，逻辑表达式,（2）由与或表达式写出真值
15、表【例2.15】写出逻辑函数式 的真值表。解：逻辑函数式有3个输入变量，列出3变量逻辑函数的真值表。将逻辑函数式Y包含的所有最小项，均填入函数值为1，其余最小项的函数值为0。,（3）逻辑函数形式的变换需要将逻辑表达式变换为适应硬件电路的形式。与非-与非形式将与或表达式两次求反函数。例 或非-或非形式写逻辑函数Y的最小项表达式，同一函数的最小项编号与最大项编号相反，直接写出Y的最大项表达式。例如，Y(A,B,C)=m(1,2,4,7)Y的最大项之积Y(A,B,C)=(0,3,5,6)两次求反得Y的或非-或非形式：与或非的形式将最小项表达式Y(A,B,C)=m(1,2,4,7)中不包含的最小项相加
16、将 的最小项表达式再求反函数，即得Y的与或非表达式,（4）由逻辑表达式画出逻辑图【例2.16】已知逻辑函数，画出对应的逻辑图。解：将逻辑函数式中的乘积项用与门符号代替，或项用或门代替，按运算顺序连接，得到函数Y的逻辑图。（5）由真值表画出波形图将逻辑函数的输入变量与输出值的逻辑关系，按时间顺序排列，得到逻辑函数的波形图，也称为时序图。,2.3.2 逻辑函数的公式化简法,最简的与-或逻辑表达式满足两个条件：逻辑表达式中的乘积项数量最少；每个乘积项的变量因子数目最少。乘积项数少，需要的元件数量少；每一项的变量因子数越少，元件结构就越简单。公式化简中的常用方法有如下几种。（1）并项法：利用、合并乘积
17、项，消去多余变量【例2.17】应用并项法化简逻辑函数解：,（2）吸收法：吸收律，消去包含A的乘积项。【例2.18】化简Y1=(A+AB+ABC)(A+B+C)。解：（3）消去法：公式、消去多余项。【例2.19】化简 解:先添加冗余项AD，再消去多余项：,（4）配项法：利用公式、A+A=A为逻辑函数配项消去更多的乘积项。【例2.20】化简，解：,对或与表达式进行化简，可以先求对偶，转换成与或表达式后再化简。化简后再求对偶，得到原函数的最简式。【例2.21】化简函数解：先求Y的对偶式化简后再求对偶，得到原函数。求原函数：在实际逻辑函数的化简中，很少单独使用一个公式和一种规则，往往需要综合利用上述几
18、种方法才能得到最简的逻辑表达式。,2.3.3 逻辑函数的卡诺图化简法,卡诺图是将真值表变换为方格图的形式,将最小项按照相邻原则排列的图形。卡诺图化简逻辑函数比公式法简单、直观，可以直接写出最简逻辑表达式。1卡诺图的构成（1）相邻项若两个最小项中只有一个变量为互反变量，其余变量均相同时，则这两个最小项为逻辑相邻，称为相邻项。例如，ABC和 两个最小项中只有变量B和 为互反，其余变量AC都相同，所以它们是相邻项。两个相邻最小项可以合并为一项，同时消去互反变量。（2）卡诺图的构成卡诺图是依据相邻原则，按照格雷码序列排列的矩形方格图，每个方格代表一个最小项。n变量逻辑函数的卡诺图中有2n个方格。卡诺图
19、相邻性的判别：在卡诺图的两个方格中，如果只有一个变量的取值不同，其余变量的取值都相同，则这两个方格对应的最小项是逻辑相邻的。,2变量卡诺图，输入变量 A、B有4种组合，即最小项为m0m3。图形两侧标注变量A、B的0、1状态，0和1组合的二进制数值所对应的十进制数，表示对应方格内最小项的编号。3变量卡诺图，输入变量A、B、C有8个最小项m0m7，卡诺图由8个方格组成，ABC按照格雷循环码的顺序排列。这种排列方式使得卡诺图不但几何位置相邻的最小项具有逻辑相邻性，而且以中线为轴的对称位置也相邻，即首尾相邻。,4变量卡诺图，由16个方格组成，AB和CD也按照循环码的顺序排列。几何位置相邻方格和中线对称
20、位置方格都是相邻最小项。5变量卡诺图，除几何位置相邻的方格具有逻辑相邻性外，以双竖线为轴对称位置的方格都是相邻最小项。,2用卡诺图表示逻辑函数n变量卡诺图可以表示任意一个n变量的逻辑函数。用卡诺图表示逻辑函数的方法是，在逻辑函数式最小项对应的方格内填1（称为1格），在其余方格内填0或不填。【例2.22】用卡诺图表示逻辑函数解：先将逻辑函数Y变换为最小项之和的形式：【例2.23】将逻辑函数 填入卡诺图。解：不必将每项都配成最小项，只需寻找卡诺图中含有某个乘积项的方格，将其均填入1。,一个乘积项如果缺少一个变量，对应卡诺图中两个方格；缺少两个变量，对应卡诺图中4个方格；缺少n个变量，对应卡诺图中2
21、n个方格。,3利用卡诺图化简逻辑函数如果两个乘积项只有一个变量不同，其余变量都相同，则这两个乘积项可以合并，消去一个变化的变量。卡诺图的两个相邻1格间仅有一个变量不同，所以可以合并成一项，并消去一个变量。卡诺图中4个1格相邻，合并成一项，可以消去2个变量；8个1格相邻，合并后消去3个变量；2n个1格合并，可以消去n个变量。,卡诺图化简最简与或式的一般步骤：画出n变量逻辑函数的卡诺图，在逻辑函数乘积项包含的方格中填入1；先找出孤立1格，写出乘积项；再合并只有一个合并方向的1格；合并其余最小项，每个合并圈内必须有一个1格未被圈过；写出最简与或表达式。卡诺图化简最简与或式的原则：每个1格至少被圈一次
22、。当某个1格被圈多于一次时，相当于对这个最小项使用同一律A+A=A，并不改变函数的值。合并圈的个数越少越好，圈数越少，得到的乘积项数量就越少。合并圈越大越好，圈越大消去的变量越多，乘积项包含的变量就越少。每个合并圈中包含的1格的个数必须是2的整数次方。,【例2.24】用卡诺图法化简逻辑函数为最简与或表达式，并转换为与非-与非的形式。Y1=m(0,2,5,6,7,9,10,14,15)解：（1）将逻辑函数Y1中最小项对应的方格填入1。先圈孤立1格，写出乘积项；圈一个合并方向的1格；将剩余1格合并，圈越大越好；将所得乘积项相加两次求反，得到Y1的与非-与非形式：,（2）Y2卡诺图有两种合并方法。得
23、到的逻辑函数都是最简式。一个逻辑函数可以有不同的最简逻辑表达式。,Y2=m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15),【例2.25】化简逻辑函数 写出最简或与式，并变换为或非-或非表达式和与或非表达式。解：（1）化简逻辑函数Y为最简或与式，合并0格写出和项，和项的“0”用原变量表示，“1”用反变量表示，写出和之积表达式：对Y的最简或与式两次求反函数，得到Y的或非-或非形式：（2）逻辑函数也可以写做，合并卡诺图0格的最小项，得到 的逻辑表达式：将 的最简与或式再次求反函数，得到Y的与或非表达式：,4具有无关项的逻辑函数及化简方法逻辑函数中某些输入变量的取值组合是不允许出现的，将
24、不允许出现的输入变量组合称为约束项；逻辑函数中对输入变量某些取值组合的函数值不加限定，为0或1都可以，则将这些输入变量组合称为任意项。约束项和任意项统称无关项，用d表示。对含有无关项的逻辑函数进行化简时，无关项对应的逻辑函数值可以当作0或1。合理利用无关项进行逻辑函数化简，可以得到最简单的逻辑函数式。【例2.26】将含有无关项的函数化简为最简与或式。解：将无关项用表示，用无关项得到更大的合并圈，合并圈内不可以没有1格，而全部为无关项。如果圈0格化简逻辑函数，可以将有用的无关项都视为0格加以利用。,第二章作 业,2（3）3（1）4（2）5（2）6（3、5、7、9）7（2、4、6、8）8（3、5）9，10（2）,第二章作 业答案,2.2 分别指出变量（A,B,C,D）为何种取值组合时，函数值Y为1。（3）2.6 用公式法将下面的函数化简为最简“与或”式。2.9 2.10 利用卡诺图之间的运算将下列逻辑函数化为最简与或式。,2.8 化简下列具有无关项的逻辑函数，并变换为“与非-与非”式、“与或非”式和“或非-或非”式。(3)（5）,
