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1、数字电子技术(基础）（或数字电路）,目前，数字电路的应用以及为广泛，主要体现以下几个方面：在数字通信系统中，可以用若干个0和1编制成各种代码，分别代表不同的含义，用以实现信息的传输。利用数字电路的逻辑功能，可以设计出各式各样的数字控制装置，用来实现对生产过程的自动控制。测量仪器中，利用数字电路对测量结果进行分析处理，把分析结果及时用十进制数码显示出来。计算机是数字电子技术的产物，可以说没有数字电子技术就没有计算机，,数字电路的应用,数字电路（又称数字电子技术基础）的任务：研究对数字信号进行存储和运算（包括算术运算和逻辑运算）的电路的工作原理和应用。换句话，就是基本数字电路 的分析和设计。,本课
2、程任务,什么是数字信号哪些是常用的逻辑运算和算术运算，及实现这些运算的电路用什么数学工具来对待逻辑问题如何分析一个电路的功能如何根据要求来设计一个电路,本课程内容安排,如何分析一个电路的功能,设计一个彩灯流水的招牌设计一部手机,如何根据要求来设计一个电路,多看、多练（做习题和实验）。逻辑代数是分析电路和设计电路的工具。各种逻辑部件的逻辑功能、工作原理、外部特性及其应用作为我们关注点。逻辑问题的各种描述方式贯穿本课程。本课程最终目标-学习分析电路和设计电路的方法。,学习方法,数字电子技术基础简明教程 清华大学电子学教研室 编 高等教育出版社数字电子技术基础 第四版 清华大学电子学教研组编 阎石主
3、编 高等教育出版社脉冲与数字电路 第二版 王毓银编高等教育出版社,参考书,1.1 概述,1.2 数制与编码,1.3 逻辑代数基础,1.4 逻辑函数的化简,1.5逻辑函数的表示方法及其相互转换,1.6 门电路,退出,第1章 逻辑代数基础,第一章 逻辑代数基础,第1章学习要点：,二进制、二进制与十进制的相互转换 逻辑代数的公式与定理、逻辑函数化简 逻辑函数常用的描述方法及互换 基本逻辑门电路的逻辑功能,1.1 数字电路概述,一、数字信号与数字电路,二、数字电路的特点与分类,退出,1.1 数字电路概述,一、数字信号与数字电路,模拟信号：在时间上和数值上连续的信号。,数字信号：在时间上和数值上不连续的
4、（即离散的）信号。,u,u,模拟信号波形,数字信号波形,t,t,对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。,对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。,二、数字电路的的特点与分类,（1）工作信号是二进制的数字信号，在时间上和数值上是离散的（不连续），反映在电路上就是低电平和高电平两种状态（即0和1两个逻辑值）。（2）在数字电路中，研究的主要问题是电路的逻辑功能，即输入信号的状态和输出信号的状态之间的关系。（3）对组成数字电路的元器件的精度要求不高，只要在工作时能够可靠地区分0和1两种状态即可。,1、数字电路的特点,2、数字电路的分类,（2）按所用器件制作工艺的不同：数字电路可分为双
5、极型（TTL型）和单极型（MOS型）两类。,（3）按照电路的结构和工作原理的不同：数字电路可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两类。组合逻辑电路没有记忆功能，其输出信号只与当时的输入信号有关，而与电路以前的状态无关。时序逻辑电路具有记忆功能，其输出信号不仅和当时的输入信号有关，而且与电路以前的状态有关。,（1）按集成度分类：数字电路可分为小规模（SSI，每片数十器件）、中规模（MSI，每片数百器件）、大规模（LSI，每片数千器件）和超大规模（VLSI，每片器件数目大于1万）数字集成电路。集成电路从应用的角度又可分为通用型和专用型两大类型。,本节小结,数字信号的数值相对于时间的变化过程是跳变的、间断
6、性的。对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。模拟信号通过模数转换后变成数字信号，即可用数字电路进行传输、处理。,1.2 数制与代码,一、数制,二、数制转换,三、代码,退出,1.1 数字电路概述,1.2 数制与码制,本节要点：介绍数和信号在数字电路中的表示。,分三个点介绍：（1）介绍表示数的各种数制，如二进制、八进制、十进制和十六进制。（2）介绍各数制之间的转换。（3）介绍表示信号的各种代码，如BCD码、格雷码、ASCLL码、ISO码等。,（1）数制：多位数码每一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为数制。（2）进位计数制：进位计数制也叫位置进位计数制，其计数方法是把数划分为不同的数位
7、，当某一数位累计到一定数量之后，该位又从零开始，同时向高位进位。,一、数制,（3）基 数：进位制的基数，就是在该进位制中可能用到的数码个数。用字母R表示。,（4）位 权（位的权数）：某个数位上数码为1时所表征的数值，称为该数位的权值，简称“权”。权是基数的幂。即Ri,特点：（1）每个数位规定使用的数码符号为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10个。如：8769，1209等。基 数为10。（2）从低位到高位执行逢十进一，借一当十的进/借位原则。即：9110。（3）同一个数码在不同的数位上所标示的数值,1、十进制,十进制数的权展开式：,103、102、101、100称为十进制的权。各数位的
8、权是10的幂。,同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。,任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式。,即：(5555)105103 510251015100,又如：(209.04)10 2102 0101910001014 102,位 权（位的权数）：某个数位上数码为1时所表征的数值，称为该数位的权值，简称“权”。权是基数的幂。即Ri,十进制数权展开式：,=,数位的权值和进位基数的关系,各个数位的权值=Ri.整数部分权用R的正指数幂表示，小数部分权用R的负指数幂表示。其中：R是进位基数，i是各数位的序号。各数位的序号按如下规定取值：。i n-1 2 1 0
9、-1-2-m,进位计数制规律,数学领域中的研究表明，进位计数制有如下相同的规律：（1）进位基数是固定的，并且必须是大于1的正整数。每一数位规定可使用的数码个数R就为进位基数。（2）R进制中的每一数位规定可使用的数码个数为R个，其中最小的数码为0，最大的数码为（R-1），各位数码ai可取R个数码中的任何一个。,R进制的任何数N的权展开多项式：（N）R=其中：R是进位基数，i是各数位的序号。各数位的序号按如下规定取值：.i n-1 2 1 0-1-2-m,使用数码为：0、1；基数是2。运算规律：逢二进一，即：1110。二进制数的权展开式：,2、二进制,如：(101.01)2 122 0211200
10、211 22,加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10乘法规则：0X0=0，0X1=0，1X0=0，1X1=1,运算规则,各数位的权是的幂,二进制数只有0和1两个数码，它的每一位都可以用电子元件来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现。,数码为：07；基数是8。运算规律：逢八进一，即：7110。八进制数的权展开式：=如：(207.04)8 282 0817800814 82,3、八进制,各数位的权是8的幂,数码为：09、AF；基数是16。运算规律：逢十六进一，即：F110。十六进制数的权展开式：=如：(D8.A)16 D161 8160A161 13161 81601
11、0161,各数位的权是16的幂,4、十六进制,一般地，R进制需要用到R个数码，基数是R；运算规律为逢R进一。如果一个R进制数N包含位整数和位小数，即(an-1 an-2 a1 a0 a-1 a-2 a-m)R则该数的权展开式为：(N)R an-1Rn-1 an-2 Rn-2 a1R1 a0 R0a-1 R-1a-2 R-2 a-m R-m 由权展开式很容易将一个R进制数转换为十进制数。,结论,把非十进制数转换成十进制数常采用按权展开多项式求和法。步骤：首先把非十进制数写成按权展开的多项式，然后按十进制数的计数规则求其和。举例,1、非十进制数转换成十进制数,二、数制之间的转换,(101.01)2
12、 122 0211200211 22(5.25)10(207.04)10 282 0817800814 82(135.0625)10(D8.A)16 13161 816010 161(216.625)10,（1）二进制数转换为八进制数：将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补零，则每组二进制数便是一位八进制数。,2、二进制数与八进制数的相互转换,1 1 0 1 0 1 0.0 1,0 0,0,(152.2)8,（2）八进制数转换为二进制数：将每位八进制数用3位二进制数表示。,=011 111 100.010 110,(374.26)8,3、二进制数与十六进
13、制数的相互转换,1 1 1 0 1 0 1 0 0.0 1 1,0 0 0,0,(1E8.6)16,=1010 1111 0100.0111 0110,(AF4.76)16,二进制数与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。,4、十进制数转换为二进制数,采用的方法 基数连除、连乘法原理：将整数部分和小数部分分别进行转换。整数部分采用基数连除法，小数部分 采用基数连乘法。转换后再合并。,整数部分采用基数连除法，先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。,小数部分采用基数连乘法，先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。,所以：(44.375)10(101100.011)
14、2,采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的N进制数。,采用的方法 将整数部分和小数部分分别进行转换。转换后再合并。整数部分采用基数连除，取余逆写的方法。小数部分 采用基数连乘，取整顺写的方法。,5、十进制数转换为非十进制数,整数部分的转换,把十进制数整数部分N转换成R进制数，采用基数连除，取余逆写的方法。其具体步如下：将N除以R，记下所得的商和余数。一般用短除法书写。将上一步所得的商再除以R，记下所得的商和余数。重复做第（2）步，直到商为0。将各次所得的余数转换成R进制数码，并按照和运算过程相反的顺序把各次所得的余数排列起来，即得所转换的R进制数。,小数部分的转换,把十进制数小数部分N
15、转换成R进制数，采用基数连乘，取整顺写的方法。其具体步朱如下：将N乘以R，记下所得积的整数部分。将上一步所得积中的小数部分再乘以R，记下所得积的整数部分。重复做第（2）步，直到商为0或者满足精度要求为止。将记下的各次整数转换成R进制数码，并按照和运算过程相同的顺序把各次所得的整数排列起来，即得所转换的R进制数。,6、十进制数转换为八进制数,7、十进制数转换为十六进制数,一般地说，用文字、符号或者数字按一定的规律表示特定对象的过程都可以叫编码。在编码时，这些代表特定数据和信息的符号（包括文字、符号或者数字）叫代码，简称码。这些符号已失去了他们原本的含义，只是表示不同事物的代号而已。,三、代码,用
16、一定位数的二进制数按一定规律来表示十进制数码、字母、符号等信息称为二进制编码。,用以表示十进制数码、字母、符号等信息的一定位数的二进制数称为二进制代码。这些二进制代码在形式上看起来和二进制数没有区别，也是一串01，但这一串01并代表数值上的大小，只是一串代码而已，就像街道名“中山路”中的中山不再是“孙中山”中的那个中山的含义，只是区分不同街道罢了。怎样才能表示更多的数码、符号、字母呢？用编码可以解决此问题。对N个进行编码时，可用公式N2n来确定需要使用的二进制代码的位数n。由此可见，如果要求表示的对象多，可以用增加二进制代码的位数来解决。,数字系统只能识别0和1，而一位二进制数正好也两个状态，
17、故数字系统容易识别二进制数。N位二进制数就有2n个状态，就可表示代表2n个信号。,本书介绍常见的代码有二十进制码（Binary Coded Decimal，简称BCD码）、字符代码和可靠性代码。,二-十进制代码：用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进制数中的 0 9 十个数码。简称BCD码。,用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码，因各位的权值依次为8、4、2、1，故称8421 BCD码。2421码的权值依次为2、4、2、1；余3码由8421码加0011得到；格雷码是一种循环码，其特点是任何相邻的两个码字，仅有一位代码不同，其它位相同。可靠性代码：为了减少错误的发生，或者在发生错误
18、时能迅速地发现或纠正，编制出来的代码叫可靠性代码，最常见的可靠性代码由格雷码和奇偶校验码。,字符代码：用二进制代码表示字符和符号。目前在计算机和数字通信系统中被广泛采用的是ASCII码（American Standard Code for Information Interchange，美国信息交换标准代码）和ISO码(International Standardization Organization,国际标准化组织编码)，,本节小结,日常生活中使用十进制，但在计算机中基本上使用二进制，有时也使用八进制或十六进制。利用权展开式可将任意进制数转换为十进制数。将十进制数转换为其它进制数时，整数部
19、分采用基数除法，小数部分采用基数乘法。利用1位八进制数由3位二进制数构成，1位十六进制数由4位二进制数构成，可以实现二进制数与八进制数以及二进制数与十六进制数之间的相互转换。二进制代码不仅可以表示数值，而且可以表示符号及文字，使信息交换灵活方便。BCD码是用4位二进制代码代表1位十进制数的编码，有多种BCD码形式，最常用的是8421 BCD码。ASCLL码和ISO码是用二进制代码表示字符和符号的编码,1.3 逻辑代数基础,1.3.1 逻辑代数的基本概念,1.3.2 逻辑代数的公式、定理和规则,1.3.3 逻辑函数的表达式,退出,1.3 逻辑代数基础,。,二值逻辑：研究只存在两种对立的状态的事物
20、的逻辑。,逻辑代数是用数学语言来描述逻辑思维的一门学科,即用数学运算来表示逻辑因果关系。,这两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1，称为逻辑0状态和逻辑1状态因此二值逻辑代数，只有和两种逻辑值。而数字电路中的三极管也只有两种工作状态（开和关），故二值逻辑代数是分析和设计数字电路的数学工具。,逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系,在逻辑数学中书写形式和普通中的基本一致，但其“量”和“值”均无大小的含义。为了和普通数学运算加以区分，我们把这些逻辑思维和逻辑推理的数学描述称为逻辑运算。,逻辑运算是逻辑思维和逻辑推理的数学描述。逻辑变量：具有“真”“假”两种可能，且可以判定
21、其“真”“假”的陈述语句叫逻辑变量。用大写字母A，B，C，等表示。逻辑值：把“真”“假”称为逻辑变量的取值简称逻辑值。正逻辑中用“1”“0”表示“真”“假”，负逻辑中用“0”“1”表示“真”“假”。逻辑0和逻辑1，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。0 和 1 称为逻辑常量逻辑函数：结论与前提条件之间的因果关系。在逻辑代数中，由逻辑变量和逻辑运算符号组成，用于表示变量之间因果关系的式子，称为逻辑表达式。,基本逻辑运算有与、或、非三种，导出的逻辑运算有与或、与非、与或非、异或同或等。,1.3.1 基本逻辑运算,1、与逻辑（与运算）,与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，
22、B，C，）均满足时，事件（Y）才能发生。逻辑表达式为：,举例：开关A，B串联控制灯泡Y,由逻辑变量和逻辑运算符号组成，用于表示变量之间因果关系的式子，称为逻辑表达式，简称表达式。,两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：,A、B都断开，灯不亮。,A断开、B接通，灯不亮。,A接通、B断开，灯不亮。,A、B都接通，灯亮。,这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。,将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：,功能表,实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号：,真值表,逻辑符号,真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个
23、变量共有2n 种不同的取值，将这2n种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。,逻辑与的基本运算规律,0*0=0*1=1*0=1*1=0*A=1*A=A*A=,1、文字描述2、逻辑函数表达式3、功能表4、真值表5、逻辑符号,逻辑问题的描述方式,2、或逻辑（或运算）,或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：,开关A，B并联控制灯泡Y,两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：,+,A、B都断开，灯不亮。,A断开、B接通，灯亮。,A接通、B断开，灯亮
24、。,A、B都接通，灯亮。,实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：,Y=A+B,真值表,功能表,逻辑符号,逻辑或的基本运算规律,0+0=0+1=1+0=1+1=0+A=1+A=A+A=,3、非逻辑（非运算）,非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：,开关A控制灯泡Y,实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：,A断开，灯亮。,A接通，灯灭。,真值表,功能表,逻辑符号,逻辑非的基本运算规律,4、常用的逻辑运算,（1）与非运算：逻辑表达式为：,（2）或非运算：逻辑表达式为：,（3）异或运算：逻辑表达式为：,（4）与或非运算：
25、逻辑表达式为：,（5）同或运算：逻辑表达式为：,典型TTL与非门,在学习数字逻辑部件时,我们不关心其内部电路,只关注其输入输出之的关系,真值表,逻辑符号,5、逻辑函数及其相等概念,（1）逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母A、B、C、D等称为输入逻辑变量，等式左边的字母Y称为输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非运算符的叫做反变量。,（2）逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称Y是A、B、C、的逻辑函数。记为,注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是
26、函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两种不同的状态，没有数量的含义。,（3）逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数,它们的变量都是A、B、C、，如果对应于变量A、B、C、的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2是相等的，记为Y1=Y2。,若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之，若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，看看它们的真值表是否相同即可。,证明等式：,1.3.2 逻辑代数的公式、定理和规则,1、逻辑代数的公式和定理,（1）常量之间的关系,（2）基本公式,分别令A=0及A=1代入这
27、些公式，即可证明它们的正确性。,（3）基本定理,利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明AB=BA：,(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC,分配率A(B+C)=AB+AC,=A+AB+AC+BC,等幂率AA=A,=A(1+B+C)+BC,分配率A(B+C)=AB+AC,=A+BC,0-1率A+1=1,证明分配率：A+BC=(A+B)(A+C),证明：,（4）常用公式,分配率A+BC=(A+B)(A+C),0-1率A1=1,分配率A(B+C)=AB+AC,0-1率A+1=1,例如，已知等式，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：,2、逻辑代数运算的基本规则,
28、（1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。,（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，长非号（即两个或两个以上变量的非号）不变，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如：,（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，长非号（即两个或两个以上变量的非号）不变，
29、则可得到的一个新的函数表达式Y，Y称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：,对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：,注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，否则容易出错。注意非号。,逻辑函数的表达式：有一般式和标准式之分。本书中一般式有5种，标准式有2种。任何逻辑函数的标准式具有唯一性，它和逻辑函数的真值表有着严格的对应关系，而一般式具有多样性。,1.3.3 逻辑函数的表达式,1、逻辑函数的一般表达式,一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与
30、表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。,一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。,2、逻辑函数的最小项及其性质,（1）最小项：在n变量逻辑函数中，包含n个因子的乘积项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该组变量的最小项。对于n个变量则有2n个最小项。,3个变量A、B、C可组成8个最小项：,（2）最小项的表示方法：为了方便记忆，通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个
31、二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。,3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：,（3）最小项的性质：,任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。,全部最小项相或，必为1。,任意两个不同的最小项相与，必为0。,任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的标准与或式，这种标准形式在逻辑函数的化简以及计算机辅助分析和设计中得到广泛的应用。,3、逻辑函数的标准与或表达式,每一个乘积项都是最小项的“与或”式，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。,如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。,将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小
32、项表达式。,（1）最大项：在n变量逻辑函数中，包含n个变量的或项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个或项称为该组变量的最大项。对于n个变量则有2n个最大项。（2）最大项的表示方法：为了方便记忆，通常用符号Mi来表示最大项。下标i的确定：把最大项中的原变量记为0，反变量记为1，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最大项的下标i。,4、逻辑函数的最大项及其性质,3个变量A、B、C可组成8个最小项：,3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：,（3）最大项的性质：,任意一个最大项，只有一组变量取值使其值为0,任意两个不同的最大项相或，必为1。,全部最大项相与，
33、必为0。,最大项之积的表达式称为标准或与式。如对于不是标准最大项或与式的函数利用公式 配上缺少的变量，再利用公式展开成标准最大项或与式。,5、逻辑函数的标准或与表达式,例,标准与或式和标准或与式之间的关系,可以证明任何一个逻辑函数皆可化为最大项之积的标准形式，也可以化为最小项之和的标准形式。若 则,从最小项的性质可知全部最小项之和为1。于是对于给定逻辑函数为，则 以外的那些最小项之和必为，即 则利用摩根定理可将上式变换为最大项乘积的形式。=这就是说，如果已知逻辑函数为时，定能将Y化成编号为i以外的那些最大项的乘积。,任何逻辑函数的标准式具有唯一性，它和逻辑函数的真值表有着严格的对应关系，而每一
34、种一般式具有多样性。如：,本节小结,逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题。与、或、非是3种基本逻辑关系，也是3种基本逻辑运算。与非、或非、与或非、异或则是由与、或、非3种基本逻辑运算复合而成的5种常用逻辑运算。逻辑代数的公式和定理是推演、变换及化简逻辑函数的依据。,1.4 逻辑函数的化简,1.4.1 逻辑函数的最简表达式,1.4.2 逻辑函数的公式化简法,1.4.3 逻辑函数的图形化简法,1.4.4 含随意项的逻辑函数的化简,退出,1.4 逻辑函数的化简,逻辑函数化简的意义：逻辑表达
35、式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。,1.4.1 逻辑函数的最简表达式,1、最简与或表达式,乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或表达式。,最简与或表达式,2、最简与非-与非表达式,非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非-与非表达式。,在最简与或表达式的基础上两次取反,用摩根定律去掉下面的非号,3、最简或与表达式,括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。,求出反函数的最简与或表达式,利用反演规则写出函数的最简或与表达式,4、最简或非-或非表达式,非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。,求最简或与表达式,两次取反,、最简与
36、或非表达式,非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。,求最简或非-或非表达式,用摩根定律去掉下面的一个长非号,用摩根定律去掉大非号下面的非号,在与或逻辑函数式中，若其中包含的乘积项最少，而且每个乘积项里的因子也不能再减少时，则称此逻辑函数式为最简形式。化简逻辑函数的目就是消除多余的乘积项和每个乘积项中的多余的因子，以得到逻辑函数式的最简形式。逻辑函数化简的原则：对任何一个电子系统，成本低，可靠性高、速度快作为评价指标。于是逻辑函数化简，通常遵循的原则是：逻辑电路所用的门数量最少，所用门的种类最少；各个门的输入端要少；逻辑电路所用的级数要少；逻辑电路所用的连线要
37、少；,1.4 逻辑函数的化简,逻辑函数化简方法：公式法和图形法,1.4.2 逻辑函数的公式化简法,1、并项法,逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。,若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。,运用摩根定律,运用分配律,运用分配律,2、吸收法,如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。,运用摩根定律,（）利用公式，消去多余的项。,如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。,、配项法,（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。,、消去冗余项法,例：化
38、简函数,解：先求出Y的对偶函数Y，并对其进行化简。,求Y的对偶函数，便得的最简或与表达式。,1.4.3 逻辑函数的图形化简法,1、卡诺图的构成,逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。,卡诺图定义：将n变量的全部最小项各用一个小方格表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻排列起来，所得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。,相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项。卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。,每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻,每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻,每个4变量的最小项有4
39、个最小项与它相邻,最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的,最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的,逻辑相邻项若干情况（见p23图1-13）,每一方格和上下左右四边紧靠它的方格相邻；最上一行和最下一行对应的方格相邻；最左一列和最右一列对应的方格相邻；对折相重的方格相邻。,逻辑相邻项特点：两个相邻最小项可以合并消去一个变量,逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并,卡诺图的构成理论根据,凡两逻辑相邻项可合并成一项，其合并结果保留相同变量，消去不同的变量。由于卡诺图把逻辑相邻项在几何位置也相邻，因此在卡偌图上能直接找出那些具有逻辑相邻性的最小项并方便将其合并化简。,3、逻辑函数在卡
40、诺图中的表示,（1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。,m1,m3,m4,m6,m7,m11,m14,m15,（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。,变换为与或表达式,2、卡诺图中相邻最小项项合并规律,（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。,（2）任何4个（22个
41、）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。,（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。,B,小结：相邻最小项的数目必须为2n个才能合并为一项，并消去n个变量。包含的最小项数目越多，即由这些最小项所形成的圈越大，消去的变量也就越多，从而所得到的逻辑表达式就越简单。这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理。,用卡诺图化简法求函数最简与或表达式的一般步骤如下:,(1)将逻辑函数式用卡偌图表示；(2)根据最小项合并规律画卡偌圈，圈住全部“1”方格；(3)根据最小项合并规律对每个卡偌圈进行合并。一个卡偌圈对应一个乘积项；(4)将上述全部卡偌圈的结果，“或”起来即得
42、化简后的新函数。,4、图形法化简的基本步骤,逻辑表达式或真值表,卡诺图,1,1,合并最小项,圈越大越好，但每个圈中标的方格数目必须为个。同一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则它就是多余的。不能漏掉任何一个标的方格。,最简与或表达式,冗余项,2,2,3,3,将代表每个圈的乘积项相加,选择卡诺圈的注意事项：,每个圈包含2N个逻辑相邻的最小项。圈完全部的1。圈越大越好。圈越少越好。每个圈至少有一个未圈过的1。卡诺图上下、左右相邻性。,两点说明：,在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。,不是最简,最简,
43、在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。,一般步骤见P27（1）画出函数的卡若图（2）圈0，化简，求出反函数的最简与或式（3）对（2）中所得反函数的最简与或式取反，即可得函数的最简或与表达式。,用卡诺图化简法求函数最简或与表达式,约束项和随意项统称无关项。,1.4.4 含无关项的逻辑函数的化简,1、逻辑函数中的无关项,随意项：在实际中，存在着这样情况，即输入变量的某些取值下函数值是1还是0都行，并不影响电路的功能。我们把函数值是1还是0允许的变量组合对应的最小项称为随意项约束项：在实际中，还存在着另外一种情况，即输入变量的某些取值组合不会发生，
44、我们把这些不会发生的变量取值组合对应的最小项称为约束项。,含任意项逻辑问题举例：俩个两位二进制数A=a2a1,B=b2b1比较大小当A大于B时，有输出。,含约束项的逻辑问题举例：三八妇女节，某单位包了一场电影，票只发给本单位的女同志，以示庆贺。试分析该逻辑问题。,功能表,分析：若用A、B、C分别表示单位、性别、电影票，且为0表示非本单位、男同志、无票，为1时表示本单位、女同志、有票，用Z表示能否进场，且为0表示不能进场，1表示能进场,真值表,不会出现的情况用X表示,从表中可以看出001、011、101不会出现，因为电影票只发给在本单位工作的女同志，这说明A、B、C三个变量之间有着一定的制约关系
45、，因此我们称这三个变量是一组有约束的变量。由有约束的变量所决定的逻辑函数，叫做有约束的逻辑函数。约束项：不会出现的变量取值组合所对应的最小项叫做约束项，有时又称为禁止项、无关项、任意项。在上例中的约束项就是,约束条件：由约束项加起来所构成的逻辑表达式，叫做约束条件。因为约束项的值恒为0，而无论多少个0加起来仍然还是0，所以约束条件是一个值恒为0的条件等式。上例的约束条件可表示为：或,含有无关项的逻辑函数可表示为：或,化简后：,一般说来，凡是利用约束条件求出的简化表达式，必须遵守约束条件，否则就可能出现错误。,含有无关项的逻辑函数的卡偌图除了表示逻辑函数外，还要表示无关项。用X表示无关项，在化简
46、时，无关项可视为0，也可视为1。对化简有利的无关项视为1，圈进卡偌圈；对化简不利的无关项视为0，不要圈进卡偌圈。,2、含无关项的逻辑函数的化简,例如：判断一位十进制数是否为偶数。,输入变量A，B，C，D取值为00001001时，逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。,A，B，C，D取值为1010 1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于随意项。用符号“”、“”或“d”表示。,随意项之和构成的逻辑表达式叫做 随意条件或约束条件，用一个值恒为 0 的条件等式表示。,含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式：,2、含随意项的逻辑函数的化简,在逻辑函数的化简中，充分利用随
47、意项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，随意项的取值可视具体情况取0或取1。具体地讲，如果随意项对化简有利，则取1；如果随意项对化简不利，则取0。,不利用随意项的化简结果为：,利用随意项的化简结果为：,3、变量互相排斥的逻辑函数的化简,在一组变量中，如果只要有一个变量取值为1，则其它变量的值就一定为0，具有这种制约关系的变量叫做互相排斥的变量。变量互相排斥的逻辑函数也是一种含有随意项的逻辑函数。,简化真值表,本节小结,逻辑函数的化简有公式法和图形法等。公式法是利用逻辑代数的公式、定理和规则来对逻辑函数化简，这种方法适用于各种复杂的逻辑函数，但需要熟练地运用
48、公式和定理，且具有一定的运算技巧。图形法就是利用函数的卡诺图来对逻辑函数化简，这种方法简单直观，容易掌握，但变量太多时卡诺图太复杂，图形法已不适用。在对逻辑函数化简时，充分利用随意项可以得到十分简单的结果。,1.5 逻辑函数的表示方法及其相互转换,1.5.1 逻辑函数的表示方法,1.5.2 逻辑函数表示方法之间的转换,退出,1.5 逻辑函数的表示方法,逻辑问题在数字电路中的5种表示方法,逻辑函数表达式真值表逻辑符号电路图卡诺图波形图,1.5.1 逻辑函数的表示方法,1、真值表,真值表：是由变量的所有可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格。,真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变
49、量共有2n 种不同的取值，将这2n种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。,例如：当A=B=1、或则B=C=1时，函数Y=1；否则Y=0。,2、逻辑表达式,逻辑表达式：是由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。有5种一般形式和2种标准形式。,函数的标准与或表达式的列写方法：将函数的真值表中那些使函数值为1的最小项相加，便得到函数的标准与或表达式。,3、卡诺图,卡诺图：将n变量的全部最小项各用一个小方格表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻排列起来，所得到的图形。,逻辑函数卡诺图的填写方法：在那些使函数
50、值为1的变量取值组合所对应的小方格内填入1，其余的方格内填入0，便得到该函数的卡诺图。,4、逻辑图,逻辑图：是按表达式中确定的逻辑运算顺序，由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。,、波形图,波形图：是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。,1.5.2 逻辑函数表示方法之间的转换,1、表达式真值表的转换,逻辑函数表达式,函数的真值表,一般首先按自然二进制码的顺序列出函数所含逻辑变量的所有不同取值组合（2n个），将每个取值组合代入表达式，求出相应的函数值即可。,在真值表中找到函数值为1的对应组合，将这些组合对应的最小项相或即可得函数的标准与或表达式。
