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1、第2章 逻辑代数基础,数字电子技术 Digital Electronics Technology,海南大学数字电子技术课程组教学网址：http:/讨论空间：E-mail:,1.逻辑与逻辑运算逻辑：事物间的因果关系。逻辑运算：逻辑状态按照指定的某种因果关系进行推理的过程。,2.逻辑代数与逻辑变量逻辑代数：是描述客观事物逻辑关系的数学方法，是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数学家乔治布尔(George Boole)于1847年提出的，所以又称为布尔代数。逻辑变量：逻辑代数中的变量。逻辑变量的取值范围仅为“0”和“1”，且无大小、正负之分。,2.1 概述,2.2 三种基本的逻辑运算,1.与
2、逻辑（AND）,当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑。,设定逻辑变量并状态赋值：逻辑变量：A和B，对应两个开关的状态。1闭合，0断开；逻辑函数：Y，对应灯的状态，1灯亮，0灯灭。,描述逻辑关系的图表称为真值表,2.2 三种基本的逻辑运算,2.或逻辑（OR）,当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，该事件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑。,或逻辑符号,A,B,Y,2.2 三种基本的逻辑运算,3.非逻辑（NOT）,当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑或逻辑非。,非逻辑符号,A,Y,2.2 三种基本的逻辑运
3、算,4.复合逻辑,与非,真值表,或非,真值表,2.2 三种基本的逻辑运算,异或,真值表,同或,真值表,F=XY=XY+XY,与或非,2.3 逻辑代数基本与常用公式,1.基本公式（P24）,德摩根（De.Morgan）定理,2.常用公式（P25）,2.3 逻辑代数基本与常用公式,1.代入定理,在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若以一函数式取代该等式中所有A的位置，该等式仍然成立。,2.反演定理,在一个逻辑式Y中,若将其中所有的“+”变成“”，“”变成“+”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反逻辑式，记作：Y。,例：已知 Y=AB+(
4、C+D)E，求Y。,解：Y=(AB+(C+D)E)=(A+B)(CD+E),2.4 逻辑代数的基本定理,3.对偶定理,对偶式：在一个逻辑式Y中,若将其中所有的“+”变成“”，“”变成“+”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，所得函数式即为原函数式的对偶式，记作：YD。,若两个函数式相等，那么它们的对偶式也相等。,2.4 逻辑代数的基本定理,x+xy=x,x(x+y)=x,xy+xz+yz=xy+x z,(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y)(x+z),例：,1.逻辑函数,输出和输入（逻辑）变量之间的函数关系。,2.5 逻辑函数及其表示方法,Y=F（A，B，C，）,2.逻辑函数的表示方法,
5、逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图和卡诺图。,（1）逻辑真值表：是由输出变量取值与对应的输入变量取值所构成的表格。列写方法是：a)找出输入、输出变量，并用相应的字母表示；b)列出所有输入变量可能的取值，计算对应的输出值，并以表格形式列写出来。,2.5 逻辑函数及其表示方法,例：三人表决电路，当输入变量A、B、C中有两个或两个以上取值为1时，输出为1；否则，输出为0。,三人表决电路的真值表,2.5 逻辑函数及其表示方法,（2）逻辑函数式 是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关系用与、或、非等逻辑运算符号连接起来的式子，又称函数式或逻辑式。,例：三人表决电路：,（3）逻辑图 是将逻辑函数
6、中输出变量与输入变量之间的逻辑关系用与、或、非等逻辑符号表示出来的图形。,例：三人表决电路逻辑图,2.5 逻辑函数及其表示方法,（4）波形图（P31）,（5）各种表示方法之间的转换,由真值表求逻辑表达式 1）把真值表中逻辑函数值为1的变量组合挑出来；2）若输入变量为1，则写成原变量，若输入变量为0，则写成反变量；3）把每个组合中各个变量相乘，得到一个乘积项；4）将各乘积项相加，就得到相应的逻辑表达式。,2.5 逻辑函数及其表示方法,由逻辑表达式列出真值表 按照逻辑表达式，对逻辑变量的各种取值进行计算，求出相应的函数值，再把变量取值和函数值一一对应列成表格。,2.5 逻辑函数及其表示方法,由逻辑
7、函数式求逻辑电路 1）画出所有的逻辑变量；2）用“非门”对变量中有“非”的变量取“非”；3）用“与门”对有关变量的乘积项，实现逻辑乘；4）用“或门”对有关的乘积项，实现逻辑加；,2.5 逻辑函数及其表示方法,由逻辑图求逻辑表达式 由输入到输出逐级推导，按照每个门的符号写出每个门的逻辑函数，直到最后得到整个逻辑电路的表达式。,AB,2.5 逻辑函数及其表示方法,3.逻辑函数的两种标准形式,（1）最小项和的形式积之和（“与或”表达式）最小项：设 m 为包含 n 个因子的乘积项，且这 n 个因子以原变量形式或者反变量形式在m中出现且只出现一次，称 m 为 n 变量的一个最小项。n变量共有2n个最小项
8、。,最小项的编号规则：把最小项 m 值为1 的输入变量取值看作二进制数，其对应的十进制数即为该最小项的编号，记作mi。,2.5 逻辑函数及其表示方法,三变量的最小项编号表,2.5 逻辑函数及其表示方法,最小项的性质：a)对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最小项值为1；b)任意两个最小项之积为0；c)全体最小项之和为1；d)具有逻辑相邻性的两个最小项相加，可合并为一项，并消去一个不同因子。,将函数式化成最小项和的形式的方法为：该函数式中的每个乘积项缺哪个因子，就乘以该因子加上其反变量，展开即可。,2.5 逻辑函数及其表示方法,例：将函数式化成最小项和的形式。解：,2.5 逻辑函数及其表示方法
9、,（2）最大项积的形式和之积（“或与”表达式）最大项：设M为包含n个因子的和，且这n个因子以原变量形式或者反变量形式在M中出现且只出现一次，称M为n变量的一个最大项。n变量共有2n个最大项。,最大项的编号规则：把最大项 M 值为0 的输入变量取值看作二进制数，其对应的十进制数即为该最大项的编号，记作Mi。,2.5 逻辑函数及其表示方法,三变量的最大项编号表,2.5 逻辑函数及其表示方法,最大项的性质：a)对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最大项值为0；b)任意两个最大项之和为1；c)全体最大项之积为0；d)具有逻辑相邻性的两个最大项相乘，可合并为一项，并消去一个不同因子。,将函数式化成最大
10、项积的形式的方法为：首先化成最小项和的形式，然后直接写成除了这些最小项编号以外的最大项积的形式。,2.5 逻辑函数及其表示方法,例：将函数式化成最大项积的形式。解：,2.5 逻辑函数及其表示方法,4.逻辑函数形式的变换,其他表达式,与非-与非式：,或-与非式：,或非-或式：,或非-或非式：,与或非式：,与非-与式：,例：（P38-39）,2.6 逻辑函数的化简方法,2.公式化简法,1.最简与或表达式,表达式中的乘积项最少；乘积项中含的变量少。,并项：利用AB+AB=A将两项并为一项，且消去一个变量B。,吸收：利用A+AB=A消去多余的项AB。,消项：利用AB+AC+BC=AB+AC、AB+AC
11、+BCD=AB+AC消去多余项BC或BCD。,消元：利用A+AB=A+B消去多余变量A。,配项：利用A+A=A或A+A=1进行配项。,2.6 逻辑函数的化简方法,并项：利用AB+AB=A将两项并为一项，消去变量B。,吸收：利用A+AB=A消去多余的项AB。,2.6 逻辑函数的化简方法,消项：利用AB+AC+BC=AB+AC、AB+AC+BCD=AB+AC消去多余项BC或BCD。,消元：利用A+AB=A+B消去多余变量A。,2.6 逻辑函数的化简方法,配项：利用A+A=A或A+A=1进行配项。,2.6 逻辑函数的化简方法,逻辑函数的卡诺图化表示法,3.卡诺图化简法,用各小方块表示n变量的全部最小
12、项，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得图形称为n变量最小项的卡诺图。,二变量卡诺图,三变量卡诺图,2.6 逻辑函数的化简方法,五变量卡诺图,四变量卡诺图,函数式转换成卡诺图：首先将该函数式化成最小项和的形式；然后将该函数式中包含的最小项在卡诺图相应位置处填1，其余位置处填0。,逻辑函数式和卡诺图之间的相互转换,2.6 逻辑函数的化简方法,2.6 逻辑函数的化简方法,卡诺图化简圈“1”的原则：,每次所圈最小项（卡诺图中的1）个数尽量多，但所圈1的的个数应为 2i 个；,2.6 逻辑函数的化简方法,每个圈至少包括一个没有被圈过的1；,所有1至少被圈过一次。,2.6 逻辑函
13、数的化简方法,合并最小项规则：,在所圈的最小项中，变量取值全是0的，在表达式中以反变量的形式出现；变量取值全是1的，在表达式中以原变量的形式出现；变量取值既有0也有1的，在表达式中不出现。,所圈的2i个相邻的最小项，可以消去i个变量取值既有0也有1的变量。,例：化简下列逻辑函数。,(1)F=x,y,z(1,2,5,7),2.6 逻辑函数的化简方法,2.6 逻辑函数的化简方法,无关项：约束项和任意项统称为无关项。约束：指具体的逻辑问题对输入变量取值所加的限制。约束项：不允许出现的输入变量取值所对应的最小项。约束条件：可以用全部约束项之和等于0表示。任意项：是指在某些输入变量取值下，函数值是0还是1都不影响电路的逻辑功能，这些输入变量取值所对应的最小项称为任意项。,具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简,2.6 逻辑函数的化简方法,例：试用卡诺图法化简具有无关项的逻辑函数：,2.6 逻辑函数的化简方法,例：试用卡诺图法化简具有无关项的逻辑函数：,作业,P58-65 2.1（1）、（3）、（5）；2.2（1）、（3）；2.3-2.7的（1）；2.8;的（1）、（3）；的（1）、（3）；,
