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1、对偶定理提供了一种证明两个逻辑式相等的方法：通过证明它们的对偶式相等来完成。例如：证明 A+BC=(A+B)(A+C)解：写出等式两边对应的对偶式，得到：A(B+C)与 AB+AC 根据乘法分配律，两对等式相等；由对偶定理知所证等式成立。,一般地说，若某一电路的输入逻辑变量A、B、C的取值确定以后，输出逻辑变量Y的值也唯一地确定了，就称Y是A、B、C的逻辑函数，写作：Y=f（A，B，C）,2.5 逻辑函数及其表示方法,逻辑函数,逻辑电路功能可由相应的逻辑函数完全描述。逻辑函数与代数中的函数相比较，有两个突出的特点：（1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。（2）函数和变量之间的关系是由与、或
2、、非三种基本运算决定的。,分析:第一步：设置自变量和因变量。第二步：状态赋值。对于自变量A、B、C,设：同意为逻辑“1”，不同意为逻辑“0”。对于因变量Y 设：事情通过为逻辑“1”,没通过为逻辑“0”。第三步：根据题义及上述规定,Y是自变量A、B、C的二值逻辑函数：Y=f（A，B，C）,例:三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试建立该逻辑函数。,逻辑真值表逻辑函数式逻辑电路图波形图卡诺图硬件描述语言,逻辑函数的表示方法,逻辑真值表：将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。逻辑函数式：由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种逻辑运算符所构成的表达式。逻辑
3、图：由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形,逻辑函数的表示方法,波形图：将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值按照时间顺序排列起来。,逻辑函数的表示方法,逻辑函数的表示方法之间的相互转换,逻辑函数的不同描述方法各有其特点和应用场合，经常需要将某一种表示方法给定的逻辑函数改用另外的表示方法描述。,逻辑函数的表示方法之间的相互转换,逻辑表达式-真值表：解题方法和步骤：将所有输入变量取值组合逐一带入逻辑式，算出输出的函数值，然后将输入和输出的取值对应列成表格，得到真值表。,(2)逻辑表达式-逻辑电路图解题方法：若没附加要求，只要用逻辑图形符号代替逻辑函数中的代数运算符号，将这些图形符号按照顺序连
4、起来。若要求用限定的图形符号，则需要将逻辑函数转化为限定的图形符号，再用图形符号代替代数运算符号。,逻辑函数的表示方法之间的相互转换,例：已知“同或”逻辑函数L=AB+AB，求对应的真值表，并画出对应的逻辑图。解：该函数有两个变量，有4种取值的可能组合，将他们按顺序排列起来即得真值表。,逻辑函数的表示方法之间的相互转换,(3)真值表-逻辑函数式解题方法与步骤：找出真值表中使逻辑函数Y=1的输入变量取值组合。每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值 为1的写入原变量，取值为0的写入反变量。将这些乘积项相加，得到Y的逻辑函数式。,逻辑函数的表示方法之间的相互转换,例：已知真值表如图，求逻辑函
5、数式及逻辑图。,解：由真值表可知，输入变量取011，101，110，111之中的任何一种时，输出Y=1.每一种组合对应一个乘积项，将这些乘积项相加，得到Y的逻辑函数式。,逻辑函数的表示方法之间的相互转换,由函数式画逻辑电路图，先化简，后画图：,例：有一水塔，用一大一小的两台电动机MS、ML驱动水泵向水塔注水，当水塔的水位降低到C点时，由小电机MS单独驱动水泵；降低到B点时由大电机ML单独驱动；降低到A点时由两台电机同时驱动，要求设计一个控制电机工作的逻辑电路。,解：设水位C、B、A为逻辑变量，当水位降到C、B、A某点时，用1表示，否则用0表示；电机MS,ML为逻辑变量，当工作时用1表示，不工作
6、时用0表示。分析逻辑函数与逻辑变量之间的因果关系，得到真值表。,根据真值表写出逻辑表达式。根据逻辑函数表达式画出逻辑电路图,逻辑函数的表示方法之间的相互转换,(4)逻辑图-逻辑函数式解题方法与步骤：从电路的输入端到输出端逐级写出逻辑图形符号所表示的逻辑运算式，从而得到所求的逻辑式。,例：写出下图电路输出F的逻辑函数式,P1=(ABC),P2=AP1,P3=BP1,P4=CP1,=(P2+P3+P4),解：从输入端开始，逐级写出图形符号代表的运算式,逻辑函数的表示方法之间的相互转换,(5)波形图-真值表解题方法与步骤：在周期性重复的波形图中，将每一个时间段内输入变量和输出的取值对应列表，即可得到
7、函数的真值表。若波形图中有些变量状态组合始终未出现，则将该组合视为函数的约束项。,设有两个逻辑函数：,F1=f1(A1,A2,An)F2=f2(A1,A2,An),若对应于A1,A2,An的任何一组取值,F1 和F2的值都相同,则称函数F1和函数F2相等,记作F1=F2。,逻辑函数的相等,一、“与或”表达式,由若干“与”项进行“或”运算构成的表达式，“与项”也称为“积项”，“与-或”表达式也成为“积之和”。如：F=AB+AC+D,逻辑函数的两种基本形式,由若干“或”项进行“与”运算构成的表达式，“或项”也称为“和项”，“或-与”表达式也成为“和之积”。如：F=(A+B)(A+C+D),二、“或
8、与”表达式,一、最小项之和,最小项：在n个变量的逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，且这n个变量均以原变量或反变量形式在m中出现一次，则“积”项m被称为该组变量的最小项。例如：二变量的最小项有4个：AB、AB、AB、AB；n变量的最小项有2n个.,逻辑函数的两种标准形式,最小项的表示：通常用mi 表示最小项，下标i 的取值规则：按照变量顺序，将最小项中原变量用1表示，反变量用0表示，得到的二进制数对应的十进制即为下标的值。换句话说：按照变量顺序，最小项取1时，对应的十进制数值。如，ABC，取值为1时，对应十进制数值为101，则i=5，ABC用m5表示。,最小项的重要性质：在输入变量的任何组
9、合的取值下必有一个最小项，并且仅有一个最小项的值为1.如：三变量A=1、B=0、C=1时，ABC=1。全体最小项之和为1，即 任意两个最小项乘积为0。若两个最小项只有一个因子不同，称他们具有相邻性。具有相邻性的最小项之和可以合并成一项，并消去一对因子。,最小项之和：假如一个函数完全由最小项所组成,那么该函数表达式称为标准“积之和”表达式,即“最小项之和”.如：F=ABC+ABC=m3+m6=m(3,6),问：任意给定逻辑函数，如：F=AB+BC，如何化为“最小项之和”？,方法1：代数转换法将逻辑函数转化为（与或）“积之和”形式（具体方法见逻辑函数形式的转换一节）；利用基本公式A+A=1，将每个
10、乘积项中缺少的因子补全;,解：F=AB+BC=AB(C+C)+(A+A)BC=ABC+ABC+ABC+ABC=m2+m3+m5+m1=m(1,2,3,5),问：任意给定逻辑函数，如：F=AB+BC，如何化为“最小项之和”？,方法2：真值表转换法真值表中，有k组变量取值使得F=1,函数的最小项表达式由这k组变量取值对应的k最小项组成;,解：求出真值表 F=m(1,2,3,5),最大项：在n个变量的逻辑函数中，若M为包含n个变量之和，而且这n个变量均以原变量或反变量形式在M中出现一次，则“和”项M被称为该组变量的最大项。例如：二变量的最大项有4个：A+B、A+B、A+B、A+B；n变量的最大项有2
11、n个.,二、最大项之积,最大项的表示：通常用Mi 表示最小项，下标i 的取值规则：按照变量顺序，将最大项中原变量用0表示，反变量用1表示，得到的二进制数对应的十进制即为下标的值。换句话说：按照变量顺序，最大项取0时，对应的十进制数值。如，A+B+C，取值为0时，对应的十进制数值为010，则i=2,A+B+C用M2表示。,最大项的重要性质：在输入变量的任何组合的取值下必有一个最大项，并且仅有一个最大项的值为0.如：三变量A=1、B=0、C=1时，A+B+C=0。全体最大项之积为0，即：任意两个最大项之和为1。只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于个相同变量之和。根据摩根定律，下标相同的最小项与最
12、大项为互补关系：Mi=mi,最大项与最小项之间的关系：根据摩根定律，下标相同的最小项与最大项为互补关系：Mi=mi最小项和最大项之间存在对偶关系，最小项是与逻辑，最大项是或逻辑；最小项的下标对应的二进制码，进行0、1互换就可以确定最大项的下标。,A+B 对偶变换为AB,最大项下标0对应的二进制码00，对偶变换为11，即为3,变量的各组取值,A B C,000001010011100101110111,对应最小项及其编号,对应最大项及其编号,最小项,编 号,最大项,编 号,最大项之积：假如一个函数完全由最大项所组成,那么该函数表达式称为标准“和之积”表达式,即“最大项之和”.如：F=(A+B+C
13、)(A+B+C)=M4+M1=M(1,4),问：任意给定逻辑函数，如：F=AB+BC，如何化为“最大项之积”？,方法1：代数转换法 利用公式：A+BC=(A+B)(A+C)将逻辑函数转化为“和之积”形式（或与）；利用基本公式AA=0，将每个“和项”中缺少变量补全,解：F=AB+BC=(AB+B)(AB+C)=(B+A)(B+B)(C+A)(C+B)=(B+A)(C+A)(C+B)=(A+B+CC)(A+BB+C)(AA+B+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=M4 M7 M6 M0=M(0,4,6,7),注意：变量顺序.,问：任意给定逻辑函数，如：F=AB+BC，如
14、何化为“最大项之积”？,方法2：真值表转换法真值表中，有k组变量取值使得F=0,函数的最大项表达式由这k组变量取值对应的k最大项乘积组成;,解：F=M(0,4,6,7),注意：变量顺序.,注意：任何一个逻辑函数的两种标准形式唯一.,问：任意给定逻辑函数，如：F=AB+BC，如何化为“最大项之积”？,方法3：将函数表示为最小项之和，则利用最小项与最大项的关系Mi=mi。,解：F=m(1,2,3,5)=M(0,4,6,7),逻辑设计中，逻辑函数最终都要用逻辑电路来实现，因此，化简和变换逻辑函数可以简化电路、节省器材、降低成本、提高系统的可靠性。,逻辑函数形式的变换,逻辑函数有五种基本表达式：“与或
15、”式:F=AB+BC“或与”式:F=(A+B)(B+C)“或非-或非”式:F=(A+B)+(B+C)“与或非”式:F=(AB+BC)“与非-与非”式:F=(AB)(BC),(1)用代数法把一个”与或”表达式函数转换为“与非与非的形式，一般分为两步：,第一步：用反演律写出:F(F),第二步：对F应用反演规则即可,例：=ABC+AB=(BC+AB)=(BC)(AB),(2)用代数法把一个”与或”表达式函数转换为“与或非的形式，一般分为两步：,第一步：将 F展开为最小项之和形式；,第二步:(因为所有最小项之和为1)不包含在F中的那些最小项之和为F,将这些最小项之和再求反，得到F.,例：F=ABC+A
16、B=ABC+ABC+ABC=m(2,6,7)F=m(0,1,3,4,5)=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC F=(ABC+ABC+ABC+ABC+ABC),说明：可以采用在卡诺图中，先合并0，再求反方法。,(3)用代数法将”与或”表达式函数转换为“或与”的形式：两种方法：利用公式和代入定理：A+BC=(A+B)(A+C)。先转化为“与或非”，利用摩根定理将“与或非”转化为“或与”形式。,例：将=BC+AB 转换为“或与”形式,采用方法：F=(A C+B)=(A+C)B=(A+C)B采用方法:F=BC+AB=(AB+B)(AB+C)=B(A+C)(C+B)=(A+C)B,例：将=AC+AB
17、+AC转换为“或与”形式,解：方法：Y=AC+AB+AC=(A+AB+AC)(C+AB+AC)=(A+B+C)(C+AB+A)=(A+B+C)(C+A),方法：Y=AC+AB+AC=(ABC+AC)=(A+B+C)(C+A),(4)用代数法把一个”与或”表达式函数转换为“或非的形式，一般分为两步：,第一步：将 F化为与或非形式；,第二步：利用摩根定理将每个乘积项化为或非形式。,例3：=ABC+AB=(AB+A C+B)=(A+B)+(A+C)+B),注意：这里的摩根定理和“将与或转化为或与的方法”中的摩根定理的使用方法有区别。,问1：为什么要化简逻辑函数？利用最简逻辑表达式，可以简化电路、节省
18、器材、降低成本、提高系统的可靠性。,2.6 逻辑函数的化简方法,问2：为什么要采用“与或”表达式：逻辑问题中，与或形式比较常见；与或表达式容易和其他形式的表达式互相转换；目前采用的可编程逻辑器件中，多采用与或阵列。,问3：什么是最简的“与或”表达式？要求乘积项的数目最少；满足乘积项数目最少的前提下，每个乘积项中的变量个数也最少；,常见的逻辑函数化简方法有三种：公式化简法；卡诺图化简法；列表化简法,该方法反复运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化简。,公式化简法,主要针对“与或”表达式进行化简。,“与或”式的化简：,（1）并项法：利用AB+AB=A可以将两项合并为一项，消
19、去一个变量。,例如：Y=AB+ACD+AB+ACD=A(B+CD)+A(B+CD)=B+CD,“与或”式的化简：,（2）吸收法：利用A+AB=A，消去多余的项。根据代入定理，A和B也可以是任何复杂的逻辑式。,“与或”式的化简：,（3）消项法：利用AB+AC+BC=AB+AC、AB+AC+BCD=AB+AC、A+AB=A+B，消去多余的变量(项)。,例如：Y=ABC+AC+BC=(AB+A+B)C=(A+B+B)C=C,“与或”式的化简：,（4）配项法：利用A+A=A、A+A=1最配项使用，有时能获得更加简单的化简结果。,例如：Y=AB+AB+BC+BC=AB+AB(C+C)+BC+(A+A)B
20、C=AB+ABC+ABC+BC+ABC+ABC=(AB+ABC)+(ABC+BC)+(ABC+ABC)=AB+BC+AC,“或与”式的化简：,先化简为“与或”表达式，再化简：,总结：该方法反复运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化简。但没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。有时很难判定结果是否为最简。,(1)卡诺图的构成方法：n个变量的卡诺图是一种由2n个方格构成的图形,每一个方格表示逻辑函数的一个最小项,所有的最小项巧妙地排列成一种能清楚地反映它们相邻关系的方格阵列。而且任意两相邻的小方格所代表的最小项在逻辑上具有相邻性(只有
21、一个变量之差，其余相同)。,卡诺图化简法,二变量卡诺图,两变量卡诺图由4个最小项组成，每个最小项占一个方格。原变量与反变量各占2个排列方案是否唯一？,不唯一!,三变量卡诺图,四变量卡诺图,沿底线或右边线对折，确保了几何位置相邻的最小项在逻辑上具有相邻性。,卡诺图的特点：在几何相邻（相接）、或与轴线对称的小方格（相对）是逻辑相邻的。卡诺图为上下左右闭合的图形。一个最小项必有n个相邻最小项。卡诺图中最小项的排列方案并不唯一，但任何方案都应保证清晰反映最小项的相邻关系。,(2)卡诺图表示逻辑函数,因为任意一个逻辑函数都可表示成“最小项之和”的形式,所以一个函数可用图形中若干小方格(最小项)构成，即用
22、卡诺图表示逻辑函数。换句话说：任何一个逻辑函数Y都等于他的卡诺图中填入1的那些最小项之和。,推论：Y等于卡诺图中填入0的那些最小项之和。,例：三变量函数 F=m(0,1,4,7),若逻辑函数为标准的“最小项之和”的形式，只需在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添1（其他位置添0，或不添）。,对于一般的“与或”逻辑函数，两种方法：化为标准的“最小项之和”的形式，再填充。根据几何含义直接填充（推荐）：,几何意义：与运算F=AB:A与B的公共区域。或运算F=A+B:A区域+B区域非运算:F=A;异或F=AB+AB:不同的对角同或F=AB+AB:相同的对角,根据几何含义直接填充：Step1:找到每个“与
23、项”区域；Step2:将找到的区域相加。,训练：AB区域?ABD区域?A+C区域？,例：用卡诺图表示函数 F=AB+BC=m(3,6,7),AB,例：用卡诺图表示函数 F=AB+ACD+AD+BCD,基本原理：根据AB+AB=A,它表明两个相邻“与项”或“最小项”可以合并为一项，这一项由两个“与项”中相同的变量组成，可以消去两个“与项”中不同的变量。由于卡诺图上几何相邻和逻辑相邻性的一致性，因而在卡诺图中能直观找出具有相邻性的最小项，并将其合并。在卡诺图上把相邻的若干最小项所对应的小方格圈在一起可进行合并，以达到用一个简单与项代替若干最小项的目的。这样的圈称为卡诺圈。,(3)卡诺图化简逻辑函数
24、,利用卡诺圈合并最小项的原则（画圈的原则）：（1）若2n(n=1,2,)个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项，并消去n对因子。合并后的结果中只包含这些最小项的公共因子。（2）尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。（3）圈的个数尽量少。（4）卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。（5）在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。,二变量卡诺图的典型合并情况,三变量卡诺图的典型合并情况,四变量卡诺图的典型合并情况,例：用卡诺图合并三变量函数F=m(1,2,3,7),不能合并,
25、用卡诺图合并逻辑函数结果不唯一,卡诺图化简逻辑函数步骤：画出表示逻辑函数的卡诺图并合并最小项，即根据前述合并方法画圈。写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与或表达式。,例：用卡诺图化简逻辑涵数 F(A,B,C,D)=m(0,3,5,6,7,10,11,13,15),解：,使每个组合包含尽可能多的方格,是否是最简合并?,例：用卡诺图化简逻辑函数 F(A,B,C,D)=m(2,3,6,7,8,10,12),解：,所画的圈内必须包含一个新的最小项，否则所得到的乘积项为冗余项。,例
26、：用卡诺图化简逻辑函数 F(A,B,C,D)=m(3,4,5,7,9,13,14,15),解：,左图中最大的圈内没有包含新的最小项，为冗余项。右图是正确的。F=ACD+ABC+ACD+ABC,谁是谁非?,例：用卡诺图把逻辑函数 F(A,B,C,D)=M(3,4,6,7,11,12,13,14,15)化简成最简或与表达式。,解：利用反演公式将“最大项之积”表达式转变为“最小项之和”表达式：,思路1：,问题：如何将“与或”转化为“或与”？,思路2：由推论：Y等于卡诺图中填入0的那些最小项之和。可以通过先合并卡诺图中的0先求出F,再求F.,什么情况下采用“合并0”的思路？要求反函数的化简结果时；要求
27、将函数化简为最简的“与或非”时；要求将函数化简为最简的“或与”时；当卡诺图中，0的数目远小于1的数目时；,卡诺图化简法总结：优点：直观、简单、容易掌握；缺点：当输入变量大于5时，失去了直观的优点，逻辑相邻更复杂。化简过程中，带有一定的主观性，不便于借助计算机完成化简工作。,逻辑函数化简中两个实际问题的考虑,包含无关最小项的逻辑函数的化简多输出逻辑函数的化简,（4）包含无关最小项的逻辑函数的化简,无关最小项：一个逻辑函数,如果它的某些输入取值组合因受特殊原因制约而不会再现,或者虽然每种输入取值组合都可能出现,但此时函数取值为1还是为0无关紧要,那么这些输入取值组合所对应的最小项称为无关最小项。,
28、约束项,任意项,例如：A点水位低于B点和C点水位，B点水位低于C点水位。水位降到A点不可能还没有降到B点和C点。表中010、100、101、110四种取值实际上是不可能出现的，对Ms及ML没有任何影响。无关最小项用或表示无关最小项可以随意加到函数表达式中，或不加到函数表达式中，并不影响函数的实际逻辑功能。,例：给定某电路的逻辑函数,求F的最简“与或”式。F=m(3,4,5,10,11,12)+d(0,1,2,13,14,15),F=ABC+BCD+BCD+ABC,解：,F=BC+BC,例：当8421BCD码所代表的十进制数5时，输出Y=1,求Y的最简表达式。,解：先列真值表，再画卡诺图；,F=
29、A+BD+BC,例：在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停，绿灯亮行，黄灯亮等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。,解：设红、绿、黄灯分别用A、B、C表示，且灯亮为1，灯灭为0。车用L表示，车行L=1，车停L=0。列出该函数的真值表。,显而易见，在这个函数中，有5个最小项为无关项。带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为：L=m(2)+d(0,3,5,6,7）,考虑无关项时，表达式为:,不考虑无关项时，表达式为：,化简具有无关项的逻辑函数时，要充分利用无关项可以当0也可以当1的特点，尽量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。在考虑无关项时，哪些无关项当作1，哪些当作0，要以尽量扩大卡诺圈、减少圈的个数，使逻辑函数更简为原则。,（5）*多输出逻辑函数的化简（不做要求）,对于多输出逻辑函数，如果孤立地将单个输出一一化简，然后直接拼在一起，通常并不能保证整个电路最简，因为各个输出函数之间往往存在可供共享的部分。,多输出逻辑函数化简的标准：,所有逻辑表达式包含的不同“与项”总数最小；在满足上述条件的前提下，各不同与项中所含的变量总数最少。,例：多输出函数,对应的卡诺图为：,从多输出函数化简的观点来看，它们不是最佳的，应该是：,对应的卡诺图为：,其中ABC为F1，F2共享部分。,
