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1、第3章 动态电路的基本分析,教学提示：本章主要介绍动态电路的基本分析方法。在大多数实用电路中，电阻元件、电感元件和电容元件都是构成电路模型的基本元件，后两者是动态元件，它们是分析各种动态电路的基础。一阶动态电路就是只含有一个元件的电路。将响应的初始值、稳态值、时间常数称作一阶动态电路的三要素。一阶动态电路的三要素分析法就是对三要素求解的方法。,教学要求：掌握动态元件的特性；理解电路的动态过程及换路定律；初步掌握一阶动态电路的零输入响应、零状态响应、全响应和三要素分析法。,3.1 电感元件、电容元件与换路定律,电阻、电感和电容都是构成电路模型的基本元件；电阻元件是耗能元件，电感元件和电容元件属于
2、储能元件，后两者的电压和电流关系是对时间t的微积分关系，所以称为动态元件。含有动态元件的电路就称为动态电路。因此，搞清楚动态元件的特性，是分析各种动态电路的基础。,在分析动态元件前，先观察一个含R、L、C元件的实验电路如图3.1所示。,图3.1 R、L、C实验电路,电路分别由一个电压源US，一个开关S三个规格一样的灯泡串上各自对应的元件R、L和C所构成。当开关S闭合后，可以观察到三个灯泡发生了不同的现象。与R串联的灯泡立即发亮，而后亮度不变；与L串联的灯泡开始不亮，而后逐渐由暗变亮，直至亮度稳定不变；与C串联灯泡仅是瞬间发亮，而后亮度逐渐变暗，直至熄灭。,所观察到的三种不同现象，其原因是灯泡串
3、接了三种不同的元件R、L、C，各种元件的特性不同，才会产生上述的三种不同现象。只有把电感、电容的遵循规律搞清楚，才能为分析各种动态电路打下一个良好基础。,3.1.1 电感元件与电感的换路定律,1.电感元件,将一漆包铜线(俗称漆包线)绕在骨架上(可以是磁芯或铁芯)或绕成螺旋状的线圈，就构成了一个实际的电感器。图3.2(a)所示为一N匝线圈构成的电感器，图3.2(b)所示为电感器的模型或符号。,图3.2 电感元件,当电流i流过电感线圈时，线圈周围就会产生磁场，因此也就存储了磁能，就会有磁通 穿过这个线圈。如果电流i发生变化时，也随之发生变化，且 的变化与电流i的变化是正比关系。如果用磁链表示磁性的
4、强弱，N为线圈的匝数，则,因为这个磁通量线圈中自身电流产生的，可称为自感磁通或自感磁通链，若用线圈的自感L表示，则,式中，L就是电感，所用单位是亨利，简称亨(H)，常用的单位还有毫亨(mH)，微亨(H)等，它们之间的换算关系为,1mH=10-3 H1H=10-6 H,(3.1),(3.2),由式(3.2)可知，当电流i变动时，磁通链随之变动，则在线圈两端将感应出电压u，若电压u和电流i的参考方向一致，则,将式(3.2)代入上式，就得到电感两端的电压u与流过电感的电流i之间的关系为,电感元件中的电压、电流关系还可以用积分关系表示为,(3.3),(3.4),由式（3.3）可知，任何时刻线性电感元件
5、上的电压与该时刻电流的变化率成正比。当电流不随时间变化时，则感应电压为零，这时电感元件相当于短路。在直流稳定电路中，由于电感中电流是稳定不变的，感应电压u=0，电感相当于短路。,2.电感的换路定律,从式(3.4)可看出，电流i是电压u随时间t积分的值，如果时间变化趋于零，i的变化也会趋于零，则有电感的换路定律为,(3.5),式(3.5)表述为：当电路中开关合上后的瞬间，电感上的电流，等于开关合上前的瞬间电感上的电流值。电感的换路定律是：在电路发生换路后的一瞬间，电感元件上通过的电流iL应保持换路前一瞬间的原有值不变化。由此得出一个重要结论：电感内的电流不会发生突变。,3.电感元件的感抗,电感元
6、件在电路中起到过直(流)阻交(流)作用。反映电感对交流阻碍作用程度用感抗XL表示，在只含有电感元件的交流电路中，感抗为,感抗XL的单位为。显然感抗与f和L两个量成正比关系。电感元件具有“通直流”、“隔交流”的作用。,(3.6),【例3.1】在一个音频电路中，有一只电感为2mH，试计算频率在2000Hz及2000kHz时各自的电感值，并述说这只电感在电路中所起的作用。,解：频率在2000Hz(音频范围)时,频率在2000kHz(高频范围)时,当频率在2000kHz时的感抗是频率在2000Hz时的感抗的1000倍。可见，电感起到过音频阻高频的作用，使得该音频电路不受高频干扰。,=25.12,=25
7、120,3.1.2 电容元件与电容的换路定律,1.电容元件,将两块金属极板中具有一定间隔，且中间加上绝缘介质(如空气云母、电解质等)就构成了一个实际的电容器。电容器种类繁多，常见的有瓷介电容、电解电容等。电容元件可以储存电荷和电场能量。如图3.3(a)所示，是一个电容元件的符号，在电容元件两端加上电源后，两块极板上将聚集等量的正负电荷，如图3.3(b)所示，在介质中建立了电场，储存了电场能量。如果将电源撤走后，电荷仍会继续聚集在两块板上一段时间，电场仍保留一段时间，所以说电容器是一种储能元件。,图3.3 电容元件,若用C表示电容器的电容量，q表示电容器所带的电荷量，u表示电容器两端的电压，其关
8、系为,式(3.7)中，q的单位为库仑(C)，简称库，u的单位为伏(V)，C的单位为法拉，简称法(F)，实际中的电容器常用单位为微法(F)或皮法(pF)，它们之间的换算关系为,(3.7),当电容上的电压u变化时，q也随之变化，其电流i就是q的变化率。如果选择u和i的参考方向一致，如图3.3(c)所示，则该电流为,(3.8),这就是电容上流过的电流与其电容两边电压的关系，即电容上的电流与电压的变化率成正比。电容器具有充放电的功能；当加到电容器上的电压与电流参考方向一致，而且是从零逐步上升时，电容器上电量也随之增多，这就是对电容器充电；当加到电容器上的电压与电流参考方向不一致，而且是电压逐步下降时，
9、电容器上电量也随之减少，这就是电容在放电。如果，也就是电压不随时间变化时，电容器相当于开路。,由式(3.8)可知，电容元件中的电压、电流关系还可以用积分关系表示为,(3.9),2.电容的换路定律,从式(3.9)可看出，电压u是电流i随时间t积分而来的值，如果时间变化趋于零，u的变化也会趋于零，则有电容的换路定律为,(3.10),式(3.10)表述为：当电路中开关合上后的瞬间，电容上的电压 等于开关合上前的瞬间，电容上的电压值。电容的换路定律是：在电路发生换路后的一瞬间，电容元件上的极间电压UC，应保持换路前一瞬间的原有值不变化。由此得出一个重要结论：电容端电压不会发生突变。,3.电容元件的容抗
10、,电容元件在电路中起到过交(流)隔直(流)作用。反映电容对交流阻碍作用程度用容抗XC表示，在只含有电容元件的交流电路中，容抗为,显然容抗与和C两个量成反比关系；在直流稳定电路中，由于频率f为零，则容抗为无穷大，换言之，对直流电路中电容相当于开路。,【例3.2】在一个220V，50Hz的交流电路中，有一只电容为20F，试计算电容的容抗；当频率50Hz升到500Hz时，电容的容抗又是多少？,(3.11),解：频率在50Hz时,频率在1000Hz时,由例3.2可知，同一电容对不同频率具有不同的容抗，频率越高，容抗就越小。,3.2 电容、电感的串并联,由电容的串并联及电感的串并联可以构成各种串并联电路
11、，与电阻的串并联公式类似，下面将给出电容、电感的串并联公式。,3.2.1 电容的串并联,在实际电路应用中，经常会遇到手头上的电容器的电容量或耐压值达不到所需要求时，可以采取将一些电容器串、并联连接起来的方法来满足需求。,1.电容的并联,图3.4(a)为电容C1与C2相并联的电路，图3.4(b)为其等效电路图。并联电容的等效电容等于各个电容之和，所以并联电容可以提高电容量，其并联电容公式为,图3.4 电容的并联,(3.12),式(3.12)电容并联公式类似电阻串联公式，其电容并联分流关系与电阻串联时的分压关系类似，电容分流(交流电流)公式为,2.电容的串联,图3.5(a)为电容C1与C2相串联的
12、电路，图3.5(b)为其等效电路图。串联电容的等效电容的倒数，等于各个串联电容的倒数之和，所以串联电容的等效电容量变小，且小于每个电容，但等效电容的耐压值加大。要特别注意电容小的分得的电压大，其串联电容公式为,(3.13),式(3.14)电容串联公式类似电阻并联公式，其电容串联时的分压关系与电阻并联时的分流关系类似，电容分压(交流电流)公式为,(3.14),图3.5 电容的串联,(3.15),解：当C2与C3并联时的等效电容为,当C1与C23串联时等效电容为,由已知条件可知C1小于C23，则U1是大于U23的，且U1不能超过标称值250V。当U1=250V时，可得,则,所以求得端口最大电压值不
13、允许超过375V。,=,3.2.2 电感的串并联,1.电感的串联,图3.7(a)为电感L1与L2相串联的电路，图3.7(b)为其等效电路图。串联电感的等效电感等于各个电感之和，所以串联电感可以提高电感量，其串联电感公式为,图3.7 电感的串联,(3.16),式(3.16)电感串联公式类似电阻串联公式，其电感串联的分压关系与电阻并联时的分流关系类似，电感分压(交流电压)公式为,2.电感的并联,图3.8(a)为电感L1与L2相并联的电路，图3.8(b)为其等效电路图。并联电感的等效电感的倒数，等于各个并联电感的倒数之和，所以并联使电感的等效电感量变小，其并联电感公式为,(3.17),(3.18),
14、图3.8 电感的并联,式(3.18)电感并联公式类似电阻并联公式，其电感并联的分流关系与电阻并联的分流关系类似，电感分流(交流电流)公式为,(3.19),如同电阻的串、并联公式一样，利用电容、电感的串并联公式，可以将电路中的多个电感、电容进行合并化简后，更容易计算出它们的未知电流和电压。,解：电路总电感为,电路总电容为,【例3.4】如图3.9(a)电路所示，当t0时，开关处在1的位置上，电路处在一个稳定状态，当t=0时，开关S从1打到2上，求初始值、。,得到等效电路图如图3.9(b)所示。,(b)图3.9 例题3.4电路图,当t0时，电路处在一个稳定状态，电容C上充满电且很稳定，无电流流过，可
15、视电容开路；通过电感的电流也很稳定，可视电感为导线，相当于短路，由此得,根据换路定律，当开关S打到2上时，即t=的瞬间，,电流 为,电流 为,3.3 一阶电路的暂态分析,当某些事物处于一种稳定状态，当条件发生变化后，经过一定的时间又会过渡到另一种新的稳定状态，而由一种稳态到另一种稳态并不会发生突变，需要经历一个过渡过程，这个过渡过程又称为暂态过程。下面对含有动态元件的电路的暂态过程进行分析。,3.3.1 基本术语,1.换路,前面介绍了动态元件电感和电容的换路定律，这里概括就是在含有动态元件的电路中，如果发生电路的接通、断开或电源突然变化等情况，称为“换路”。,2.稳态,动态电路的稳定状态，称为
16、稳态。,3.暂态,动态元件的能量一般只能连续变化，且不能发生跃变，然而，当电路发生换路时，会引起动态元件上响应变化。由此，引起变化时间很短暂，称为“暂态”。,4.零输入响应,在电路发生换路前，动态元件上已储存有原始能量。换路时，当外加激励(电压源，电流源)为零。此时的动态元件上原始能量引起电路中的电压、电流发生变化，称为“零输入响应”。,5.零状态响应,在电路发生换路前，动态元件中原始能量为零。换路时，仅由外加激励引起电路中的电压、电流发生变化，称为“零状态响应”。,6.全响应,在电路发生换路前，动态元件上已储存有原始能量。换路时，且又有外加激励作用，这种情况所引起电路中的电压、电流发生变化，
17、称作“全响应”。在线性电路中，全响应可以看成零输入响应和零状态响应两部分之和。,3.3.2 一阶动态电路的零输入响应,1.RC放电电路的零输入响应,只含有一个动态元件的电路称为一阶电路。一阶电路在实际的电路中用得很多，一般分为RC一阶电路和RL一阶电路。,RC放电电路如图3.10所示，RC零输入响应电路，实质上就是一个RC放电电路。当开关S处在1端的位置时，电压源US对电容C充电，当充电一段时间后，C上已被充满电荷，RC电路处于稳态。此时流过C的电流为零。当t=0时，开始换路，将开关S从1端合到2端，电压源被断开(外加激励为零)，由电容C与R构成放电回路，储存在电容C中的电荷要通过电阻R释放，
18、于是放电过程开始。,放电刚开始的瞬间，由电容换路定律知,根据KVL定律，RC放电回路的电压方程式为,图3.10 RC零输入响应电路,上式是一个一阶常系数线性齐次微分方程，对该式求解可得,RC回路的零输入响应为,因为，所以有,(3.20),(3.21),上式的=RC称为动态电路的时间常数。的单位秒(s)。电容中流过的电流为,(3.22),由式(3.20)、式(3.22)可见，电压uC和电流iC都是随时间按指数规律不断衰减的曲线，如图3.11(a)、(b)所示。其过渡过程从理论上看，按指数规律，要经过无限长时间，过渡过程才结束，但实际上一般经过35的时间后，剩下的电容电压值极小，可以认为电路已经进
19、入稳态。,图3.11 uC和iC响应曲线,时间常数=RC的值越大，放电时间越长，如C越大，电容器原先储存的电量就多，因此放电时间就会长一些，所以在实际生活和工作中，刚关断电源的电路，如果有的大电容存储了很高电压，一时来不及放电，这时是不能用手随意触摸电容的电极，否则有被触电的危险。,解：(1)根据图3.10电路所示，由电容换路定律得,由式(3.20)得,【例3.5】如图3.10电路所示，已知图中的R=10k，US=12V，C=10F，当开关从1端合到2端时，求：(1)电路的零输入响应 和；(2)当电容器上电压放电后，衰减到6V时所需要的时间是多少？,时间常数,由式(3.22)得,(2)时得,2
20、.RL电路的零输入响应,RL电路如图3.12所示，开关S原先是断开的，电路处在稳态，此时电感相当于短路，L中已经储能；当t=0时，开关S合上，L上原有的能量要通过电阻R释放，电感中仍有初始电流iL并在RL回路中逐渐衰减，直至为零。在这个过程中，L中原来的储能逐渐被电阻R消耗，转为热能。,图3.12 RL零输入响应电路,根据KVL定律，RL放电回路的电压方程式为,以电流iL作为待求响应，对上式求解可得,因为，所以有,(3.23),RL回路的零输入响应为。,式(3.23)中的 称为动态电路的时间常数。其单位为秒(s)。可见，RL回路中，R值越大，L值越小，响应速度就越快，反之就慢。,电感两端的电压
21、为,由式(3.23)、式(3.24)，可以得到如图3.13所示的RL电路的零输入响应曲线。,图3.13 RL零输入响应曲线,(3.24),由图3.13可知，电路的时间常数决定了暂态过程的时间快、慢，改变电路中的L和R可以改变RL电路的暂态过程。,解：(1)当S断开前：,(2)当t=0时，S断开，由式(3.23)得,【例3.6】如图3.14所示的电路中，开关S断开前电路处于稳态。已知US=120V，R1=10，R2=30，L=0.4H，当开关断开后，求电路的零输入响应 和。,图3.14 例3.6图,由式(3.24)得,时间常数，所以有,3.3.3 一阶动态电路的零状态响应,1.RC充电电路的零状
22、态响应,RC充电电路如图3.15所示，RC零状态响应电路，实质上就是一个RC充电电路。开关S闭合前电容上的原始能量为零，电路处在零状态。当开关S闭合时，电源通过电阻对电容器C进行充电，这使得电容电压逐步升高，而充电电流逐渐减小，直到UC等于US，iC也减小为零，充电过程结束。让我们分析下面的充电过程。,图3.15 RC零状态响应电路,充电刚开始瞬间，由电容换路定律得知,根据KVL定律，RC充电回路的电压方程为,对上式求解可得,因为，所以有,(3.25),电路的电流响应为,图3.16 RC零状态响应曲线,(3.26),根据式(3.25)和式(3.26)画出 和 波形图如图3.16(a)、(b)所
23、示。,【例3.7】图3.15电路中，已知。开关S合上前，电容C上储能为零，电路处在零状态；当开关S合上且t=0时，求电路的零状态响应和各是多少？,解：由电容换路定律得,时间常数,由于,所以,电路的电流 响应为,2.RL电路的零状态响应,RL零状态响应电路如图3.17所示，开关S原先是断开的，电感中的电流为零，电路处在零状态，当开关S闭合后，电感L中的电流从零逐步增加达到稳态，对直流而言，此时的电感L相当于短路。,图3.17 RL零状态响应电路与曲线,当图3.17所示的RL电路处在零状态响应t=(0+)时，电流为零，因而电阻R上的电压，那么电感L的电压。,当电路进入稳态后，在过渡过程中，是按指数
24、规律衰减，而电路中电流 从零逐步增加到后达到稳值。是按指数规律上升，而电阻两端电压 是从零逐步增加到，其变化的快慢由电路的时间常数来决定。RL电路的零状态响应的变化规律用下式表达为,(3.27),(3.28),(3.29),其中时间常数=L/R。iL，uL，uR随时间变化规律的曲线如图3.17(b)所示。,解：(1)电路达到稳态时，电流也达到稳定值，则,【例3.8】如图3.17电路中，已知 当开关S闭合后，试求电路达到稳态时的电流和t为零秒时电感上的电压。,(2)t=0(s)时，,3.3.4 一阶动态电路的全响应,当电路中动态元件在换路前就已具有初始能量，换路后又有外加激励电源的作用，在它们的
25、共同作用下所产生的电路响应，称为全响应。用下式表达为,全响应=零输入响应+零状态响应,1.RC一阶电路完全响应,当RC电路中电容在换路前已储能，换路后又外加激励，两者共同作用产生的响应，称为RC一阶电路的全响应。如图3.18所示的电路，换路前开关S处在1端的位置，电路处于稳态。换路瞬间。,图3.18 RC全响应电路,当开关S由1端打到2端位置时，电容除原有的能量外，还受 的作用，因此电容电压全响应可看作零输入响应和零状态响应叠加而成，其电容全响应表达式为,(3.30),【例3.9】如图3.18所示的电路，试求开关S从1端打到2端后的。已知。,解：(1)求零输入响应,(2)求零状态响应,由式(3
26、.30)得出全响应为,其中时间常数,其中第一项中，6为电路达到稳态时的电容电压值，可以用 来表示，称为稳态分量；第二项 为按指数规律衰减的函数，只存在于暂态过程，最终要衷减到零，所以又称为暂态分量。由此，全响应就可以表示为全响应=稳态分量+暂态分量,2.RL一阶电路完全响应,当RL电路中电感在换路前已储能，换路后又外加激励，两者共同作用产生的响应称为RL一阶电路的全响应。如图3.19所示的电路，换路前开关S未闭合，电路已处于稳态。,电感元件L相当于短路。开关S闭合时，由换路定律可得,图3.19 RL全响应电路,由KVL定律得,取iL和uL为关联方向时可为,换路后电路时间常数，电感电流全响应可看
27、作零输入响应和零状态响应的叠加，其电感全响应表达式为,(3.31),3.3.5 一阶动态电路的三要素分析法,由上述讨论可知，一阶动态响应等于电路的暂态响应和稳态响应之和。其过程为：电路响应由初始值向新的稳态值过渡，并按一定规律逐渐过渡到新的稳态值，过渡过程快慢由时间常数来决定，由此，将响应的初始值、稳态值，时间常数称作一阶动态电路的三要素。一阶动态电路的三要素分析法就是对三要素求解的方法。,一阶动态电路的初始值和，是在换路前的电路中去求解，然后由换路定律写出。一阶动态电路的稳态值则由换路后过渡到新的稳态时的电路求解。,由三要素求解法的任意一阶动态电路的解为,一阶动态电路的时间常数则由换路后的电
28、路中求解。若用f(0+)表示所求响应的初始值；为所求响应新的稳态值；为电路的时间常数(RC电路中为，RL电路中为为换路后的等效电阻)；f(t)为电路中待求的响应(电压和电流)。,(3.32),3.4 本 章 小 结,1.在大多数实用电路中，电阻元件、电感元件和电容元件都是构成电路模型的基本元件，后两者是动态元件，它们是各种动态电路的基础。,2.电感器是储能元件，具有“阻交过直”的作用；电容器也是储能元件，具有“隔直过交”的作用。,3.在实际电路应用中，经常将一些电容器、电感器进行串、并联连起来以达到电路需求，并联电容的等效电容等于各个电容之和，其公式为，串联公式为；串联电感的等效电感等于各个电
29、感之和，其公式为，并联公式为。,4.只含有一个动态元件的电路称一阶动态电路。动态电路的稳定状态称为稳态。,5.含有动态元件的电路中，电路的接通、断开或电源突然变化等情况，称作“换路”；当电路发生换路时，会引起动态元件上响应变化。由此引起变化时间很短暂，故称“暂态”。,6.零输入响应是指，在电路发生换路前，动态元件上已储有能量，换路时，当外加激励为零，此时的动态元件上原始能量引起的响应。,7.零状态响应是指，换路前动态元件上储能为零。换路后仅外加激励引起电路的响应。,8.一阶动态电路全响应可看成是零输入响应和零状态响应两部分之和，也可表示为：全响应=暂态分量+稳态分量。,9.暂态向稳态过渡的过程为：电路响应由初始值向新的稳态值过渡，过渡过程的快慢由时间常数决定，由此，将响应的初始值、稳态值、时间常数称作一阶动态电路的三要素。三要素分析法就是对三要素求解的方法。,
