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1、第十二单元坐标系与方程,知识体系,1.坐标系.(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化.,(4)能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当的坐标系的意义.(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.,2.参数方程.(1)了解参数方程，了解参数
2、的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.(4)了解其他摆线生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.极坐标系及简单的极坐标方程,第80讲,极坐标系及简单的极坐标方程,能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化，掌握直线与圆的极坐标方程.,1.已知点M(,)，则M点关于极点对称的点N的极坐标是(),A,A.(,+)B.(,-)C.(,-)D.(,2-),2.已知点M的直角坐标为(2,-2)，则其极坐标是(),B,A.(2,)B.(2,-)C.(2,)D.(2,)
3、,3.在极坐标系中，过点M(2,)，且平行于极轴的直线的极坐标方程是.,sin=2,如图,设P(,)为直线上任意一点，在RtOMP中，cos(-)=2,即sin=2.,4.极坐标方程为=2cos的圆的半径是.,1,5.极坐标方程分别是=cos和=sin的两个圆的圆心距是.,=cos是圆心为(,0)，半径为 的圆;=sin是圆心为（,）,半径为 的圆，故两圆的圆心距为.,1.坐标系的类型(1)直线上的点的坐标;(2)平面直角坐标系;(3)系;(4)柱坐标系;(5)球坐标系.2.坐标之间互化(1)极坐标M(,)化为平面直角坐标M(x,y):.,极坐标,x=cos,y=sin,(2)空间点P的直角坐
4、标（x,y,z）与柱坐标(,z)之间的变换公式为：x=cosy=sinz=z.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系的一部分建立起来的.,(3)空间点P的直角坐标（x,y,z）与球坐标（r,）之间的变换关系为x=rsincosy=rsinsinz=rcos.,3.直线与圆的极坐标方程,y=xtan,sin(-,)=p,sin=b,x=a,=r,x22rx+y2=0,=2,rsin,题型一 点的极坐标表示,例1,点P（-,）与曲线C:=sin 的关系是.,因为点P(-,)与点P(,)是同一点,且sin=sin=,所以点P在曲线C:=sin 上，故点P(,)在曲线C:=sin
5、上.,点A(，)（0），则点A的极坐标的一般形式为A(,+2k)或(-，+(2k+1)(kZ).,点A（5，）在条件：(1)0,(-2,0)下的极坐标是;(2)0,(2,4)下的极坐标是.,(1)当0时，点A（5，)的极坐标的一般形式为(5,+2k)(kZ).由-20,得-2+2k0(kZ),解得k=-1,所以=-2=-,所以满足条件的点A的极坐标为(5,-).,(5,-),(5,-),（2）当0时，点A（5，)的极坐标的一般形式是(-5，+(2k+1)(kZ).由24,得2+(2k+1)4,解得k=1,所以=+3=,故满足条件的点A的极坐标为(-5,).,题型二 直角坐标方程与极坐标方程的互
6、化,例2,化下列直角坐标方程为极坐标方程：(1)x2+y2-2ax=0;(2)x+y=0;(3)x2-y2=2x.,(1)将2=x2+y2,x=cos代入，得2-2acos=0,即=2acos或=0.而=0恒表示极点，曲线=2acos过极点,故所求极坐标方程为=2acos.(2)将x=cos,y=sin代入,得cos+sin=0,即=0或tan=-1.由tan=-1,得.而0表示极点,直线=(R)过极点,故所求极坐标方程为=(R).,(3)将x=cos,y=sin代入，得2cos2-2sin2=2cos,即=0或=.而=0表示极点,=过极点，故所求极坐标方程为=.,（1）注意极坐标与直角坐标的
7、互化需满足三个条件：原点与极点重合；x轴正半轴与极轴重合；长度单位相同.(2)注意极坐标与直角坐标互化中的等价性，特别是两边同乘以时，要注意=0是否是方程的解，若不是，要去掉该解.,(1)曲线的极坐标方程为=cos-sin,则其直角坐标方程为.轨迹为;(2)已知直线的极坐标方程为sin(+)=,则极点到该直线的距离是.,(1)由=cos-sin，两边同乘以，得2=cos-sin，将2=x2+y2，cos=x，sin=y，代入得x2+y2-x+y=0.又极点在曲线=cos-sin上，故所求为x2+y2-x+y=0，其轨迹为以(，-)为圆心,为半径的圆.,(2)(方法一)由sin(+)=，得sin
8、+cos=1，将cos=x，sin=y，代入得x+y-1=0.由点到直线的距离公式得=.（方法二）将方程化为=.由于|sin(+|1，所以min=，即极点到直线的距离为.,题型三 求极坐标方程,例3,过极点O的直线和直线cos=4交于点M，在OM上取一点P，使OMOP=12,求点P的轨迹的方程，并说明轨迹是什么曲线.,设点M的极坐标为(1,1),点P的坐标为(,),1=12=1.又因为1cos1=4,则 cos=4,即=3cos.故轨迹是以(1.5,0)为圆心，1.5为半径的圆.,则,求动点的极坐标轨迹方程的步骤与在直角坐标系中求轨迹方程类似，且关键是从几何的角度获得动点P(,)的关系式.,已
9、知在ABC中，AB=6，AC=4，当A变化时，求A的平分线与BC的中垂线的交点P的轨迹.,取A为极点，AB所在射线为极轴，建立极坐标系.因为AP平分BAC，MP为BC的中垂线，所以PB=PC,设P(,)(0，-且0)，,则PC2=AP2+AC2-2APACcos=2+16-8cos,PB2=AP2+AB2-2APABcos=2+36-12cos,所以2+16-8cos=2+36-12cos，即cos=5(0，-且0).所以点P的轨迹是与AB垂直且与A的距离为5的一条直线（除去垂足）.,题型四 极坐标及极坐标方程的应用,例4,已知A、B两点的极坐标分别为(-3,)、(5,-),求|AB|和AOB
10、的面积（其中点O为极点）.,在AOB中，因为A、B两点的坐标分别为(-3，)、(5,-),则A、B两点的坐标可化为(3,)、(5,),因而OA、OB两边长分别为3、5，夹角AOB=-=,所以|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|OB|cosAOB=34+15,所以|AB|=,SAOB=ABsinAOB=35sin=.,有关在极坐标系中求线段的长或平面图形面积等问题的求解，关键是应用点的极坐标的几何意义，同时应注意：若0，且点M(,)与P(,)关于极点对称.,已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为cos=3，=4cos(0,0)，则曲丝C1与C2的交点的极坐标为.,cos=3=4cos=2
11、=,联立方程组,(0,0),解得,即两曲线的交点为(2，).,(2，),已知圆的极坐标方程为2+2(cos+sin)-5=0,求直线=截圆所得弦AB的长度.,(方法一)圆的直角坐标为(x+1)2+(y+3)2=9,直线的直角坐标方程为y=-x,即 x+y=0.,又圆心(-1,-)到直线 x+y=0的距离为d=，则弦长为2=2.=2+2(cos+sin)-5=0,解得2-2-5=0，解得1=1+,2=1-,从而弦长为|1-2|2.,(方法二)由,1.极坐标系和极坐标的理解.极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：平面直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的；而极坐标系中，对于给定
12、的有序数对(,),可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标，却不是惟一的.一般的，若(,)是点M的极坐标，则(,+2k)(kZ),(-,+2k)(kZ)也都是点M的极坐标.总之，点M(,)的极坐标可以是(,+2k)(kZ).,当规定0,02以后，平面内的点（除极点外）与有序数对就可以一一对应了.2.极坐标与直角坐标的互化注意事项.(1)极坐标和直角坐标的互化公式是 x=cos 2=x2+y2y=sin tan=(x0).这两组公式必须满足下面的“三个条件”才能使用：()原点与极点重合；()x轴正半轴与极轴重合；,或,()长度单位相同.极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性，特别是两边同乘
13、以n时，方程增了一个n重解=0,要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解.(2)由极坐标方程给出的问题，若不好处理，就直角坐标化；由直角坐标方程给出的问题，若用极坐标方法处理较为简便，就极坐标化.,(3)慎用tan=，如点M的直角坐标为(-1,1),化为极坐标时，由tan=-1不能确定的取值，必须结合（-1,1)所表示的点所在象限的情况确定其极坐标为(2,).3.极坐标方程的应用及求法.(1)合理建立极坐标系，使所求曲线方程简单.(2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉的知识解决问题.,(3)利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出两极坐标、是求极坐标系曲线方程
14、的法宝.4.常用结论.极坐标系内点的对称关系：(1)点P（,)关于极点的对称点为P(,);(2)点P(,)关于极轴所在直线的对称点为P(,-);,(3)点P(,)关于直线=的对称点为P(,-);(4)点P（,)关于直线=的对称点为P(,-);(5)在极坐标下，A(1,1)，B(2,2)间的距离|AB|=.,(2009辽宁卷)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos(-)=1,M、N分别为C与x轴、y轴的交点.(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.,(1)由cos(-)=1得(cos+si
15、n)=1.从而C的直角坐标方程为 x+y=1，即x+y=2.=0时，=2，所以M(2,0).=时，=，所以N(,).,(2)M点的直角坐标为（2，0），N点的直角坐标为(0,)，所以P点的直角坐标为(1,),则P点的极坐标为(,),所以直线OP的极坐标方程为=,(-,+).,(2007海南/宁夏卷)O1和O2的极坐标方程分别为=4cos,=-4sin.(1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过O1和O2交点的直线的直角坐标方程.,(1)以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标轴取相同单位长.因为x=cos,y=sin,由=4cos，得2=4cos，所以x2+y2=4x,即x2+y2-4x=0为O的直角坐标方程.同理x2+y2+4y=0为O2的直角坐标方程.,x2+y2-4x=0 x2+y2+4y=0 x1=0 x2=2 y1=0,y2=-2.即O1,O2的交点为(0,0)和(2,-2)点，故过交点的直线的直角坐标方程为x+y=0.,(2)由,解得,本节完，谢谢聆听,立足教育，开创未来,
