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1、河南科技大学材料学院,第三章 金属塑性变形的力学基础 应变分析,位移：变形体内任一点变形前后的直线距离,位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的位移分量。用u，v，w或ui表示。,位移场：变形体内不同点的位移分量不同。根据连续性基本假设，位移分量应是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶偏导数。,或,位移及其分量,即,设 M(x,y,z),M1(x+u,y+v,z+w),位移分量：,M(x+dx,y+dy,z+dz),M1(x+dx+u+u,y+dy+v+v,z+dz+w+w),位移分量：,将ui按泰勒数展开,M 点相对于M点的位移增量,变形体内无限接近两点的位移分量
2、间的关系,若无限接近的两点的连线MM平行于某一坐标轴，例如MMx轴，则,若已知变形物体内一点M的位移分量，则与其无限邻近点M的位移分量可以用M点的位移分量及其增量来表示。,位移及其分量,名义应变及其分量,设单元体PABCP1A1B1C1,PA:rx r1=rx+r,线变形(r)：单元体棱边的伸长或缩短线应变（正应变）：单位长度上的线变形,棱边PA的线应变：,应变及其分量,单元体在xy面内发生变形，,相对切应变（工程切应变）：单位长度上偏移量或两棱边所夹直角的变化量。,同理有：yz,zx,显然：,应变及其分量,棱边PA在x方向的线应变：,同理：,应变及其分量,yx也可以看成PA、PC同时向内偏转
3、引起的。,切应变：,角标的意义：第一个角标表示线元（棱边）的方向，第二个角标表示线元的偏转方向。如xy表示x方向的线元向y方向偏转的角度。,变形单元体有三个线应变和三组切应变。,统称为应变分量。,应变及其分量,绕z轴的刚体转动角，研究应变时，应将刚体转动去掉。,过一点三个互相垂直方向上有9个应变分量,所以只有六个独立的应变分量,应变及其分量,因为,对数应变,相对线应变,变形体由l0ln可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。,应用微分的概念,自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也称真实应变。,定义：塑性变形过程中，在应变主轴方向保持不变的情况下应变增量的总和叫对数应变。,应变及其分量,
4、只能用于小变形分析，在大变形中不能反映实际情况。,1.表示变形的真实情况；,2.具有可加性：总应变为各阶段应变之和。,eg,显然,对数应变,3.具有可比性：拉伸后再压缩至原长，对数应变相等，仅差一符号。,eg.,对数应变的特点,任意方向上的应变,设任意点a(x,y,z)的应变分量：,设线元ab=r,r在三个坐标轴上的投影：dx,dy,dz,方向余弦：,长度：,a)线应变,点的应变状态与应变张量,变形后,r1在三个轴上的投影：,dx+u,dy+v,dz+w,略去r,u,v,w的平方项,两边同除以r2,点的应变状态与应变张量,(3-43)式,比较：,点的应变状态与应变张量,b)切应变(线元变形后的
5、偏转角）,设r=1,引NMa1b1,在NMb1中，有,由于,故,于是：,点的应变状态与应变张量,如果有刚体转动，,纯剪切变形引起的位移增量,刚性转动引起的位移增量,去除刚性转动,所以,比较,结论：若一点互相垂直的三个方向上的应变分量已知，则该点任意方向应变可求。,点的应变状态与应变张量,一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分量来表示。与应力状态相似，当坐标轴旋转后在新的坐标系中的九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上张量之定义，即,ij为二阶对称张量。,点的应变状态与应变张量,应变张量,设单元体初始边长为dx,dy,dz,变形前的体积,变形后边长,变形后
6、的体积,展开，略去高阶微量,体积变化率,在弹性变形中，可正可负，在塑性变形中，认为体积不变为零。,体积不变条件为,对数应变表示的体积不变条件,塑性变形时，三个线应变分量不可能全部同号，绝对值最大的应变分量永远和另外两个应变分量的符号相反。,塑性变形时的体积不变条件,点的应变张量与应力张量不仅在形式上相似，而且其性质和特性也相似。因此，在研究应变状态理论时，一些公式不需再推导，直接由与应力张量相似性得到，只要将应变张量中的线应变分量和切应变分量分别与应力张量中的正应力分量和切应力分量相对应即可。,主应变：过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向(也称应变主轴)，该方向上线元没有切应变，只有线
7、应变，称为主应变。用1,2,3表示,在主轴坐标系统中，应变张量为,点的应变状态与应力状态比较,应变状态特征方程,主切应变和最大切应变,若123,则,点的应变状态与应力状态比较,应变张量不变量,主应变简图 用主应变的个数和符号来表示应变状态的简图称主应变状态图，简称为主应变简图或主应变图。,a)压缩类变形,b)剪切类变形(平面变形),c)伸长类变形,特征应变为负应变，另外两个应变为正应变。,一个应变为零，其他两个应变大小相等，方向相反。,特征应变为正应变，另外两个应变为负正应变。,点的应变状态与应力状态比较,八面体应变,八面体线应变,应变张量的分解,点的应变状态与应力状态比较,八面体切应变,点的
8、应变状态与应力状态比较,应变球张量（平均应变 m）,体积不可压缩时，平均应变 m=0,应变偏张量,应变偏张量描述单元体形状变化，当体积不可压缩时平均应变 m=0，则,等效应变：取八面体切应变绝对值的 倍所得之参量称为等效应变，也称广义应变或应变强度。,比较,等效应变的特点,1)是一个不变量；2)在塑性变形时，其数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变。,点的应变状态与应力状态比较,研究位移场和应变场之间的关系。,单元体在xoy坐标平面上的投影：,变形前：abcd,位移及变形后：a1b1c1d1,设ac=dx,acox轴 ab=dy,aboy轴,a 点位移分量为u,v,则,小应变几何方程,
9、由几何关系：棱边ac在x方向的线应变：,棱边ab在y方向的线应变：,由几何关系：,因为：,同理：,小应变几何方程,工程切应变：,切应变：,综合：,或,小应变几何方程,变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出现裂纹或发生重叠现象；为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协调方程。,应变连续方程,x 对y求两次偏导数，可得,y 对x求两次偏导数，可得,上面两项相加可得,应变连续方程,同一平面内,应变连续方程,应变连续方程,在每个坐标平面内，两个线应变分量一经确定，则切应变分量随之被确定。,三维坐标系内,切应变 xy、yz、zx分别对z、x、y 求偏
10、导数,应变连续方程,应变连续方程,应变连续方程,在三维空间内三个切应变分量一经确定，则线应变分量随之被确定,应变连续方程共有6个方程,应变连续方程,速度分量：质点在单位时间内的位移称位移速度，位移速度在三个坐标轴上的投影称位移速度分量，简称速度分量。,位移速度：质点在单位时间内的位移。它既是坐标的连续函数，又是时间的函数，,或,应变增量和应变速率张量,位移增量:物体在变形过程中，在一个极短的时间dt内，其质点产生极小的位移变化量称为位移增量,记为dui,全量应变:在变形的某过程或过程的某阶段终了时的应变,应变增量：变形过程中某极短阶段的无限小应变,速度分量：,或,位移增量分量：,应变增量和应变
11、速率张量,将位移增量,代入几何方程,即,一点的应变增量也是二阶对称张量，称应变增量张量,注意：dij中的d不是微分符号，dij不表示ij的微分。,应变增量和应变速率张量,应变速率：单位时间内的应变称为应变速率。,将,代入,两边同除以时间dt,或,注意：是应变增量dij对时间dt的微商，不是ij对时间的导数。,应变速率表示变形程度的变化快慢，它不但取决于成形工具的运动速度，而且与变形体的形状尺寸及边界条件有关，所以不能仅仅用工具或质点的运动速度来衡量物体内质点的变形速度。,应变增量和应变速率张量,塑性加工中变形量计算方法,绝对变形量：变形前后某主轴为向上尺寸改变的总量。,绝对变形量只能描述某一变
12、形工序物体在某一方向的变化情况，不能反映变形的剧烈程度。,塑性加工中变形量计算方法,相对变形量：某方向尺寸的绝对变形量与该方向原始尺寸的比值。,相对压缩率：相对伸长率：相对宽展率：,相对变形量用名义应变表示，在大变形程度时误差较大。,用面积比或线尺寸表示变形量,自由锻时锻造比：，分别为变形前后的横截面积轧制时延伸系数：入口断面，出口断面，挤压时挤压比：（延伸系数）毛胚断面缩减率：,平面应力状态：若变形体内与某方向轴垂直的平面上无应力存在，并所有应力分量与该方向轴无关，则这种应力状态即为平面应力状态。,1）某向（例如z轴）垂直的平面上无应力，该方向为主方向,平面问题和轴对称应力状态,2），沿Z轴
13、均匀分布，各应力分量与z轴无关，应力分量对z的偏导数为零.,平面应力状态的特点,若已知平面应力状态的三个应力分量，如何求任意斜微分面AC上的正应力和切应力？,AC面的方向余弦,对于AC面,平面问题和轴对称应力状态,平面问题和轴对称应力状态,应力张量不变量,应力状态特征方程,应力平衡微分方程,平面问题和轴对称应力状态,平面应变状态：如果物体内所有质点都只在同一个坐标平面内发生变形，而在该平面的法线方向没有变形，这种变形称为平面变形或平面应变。发生变形的平面称塑性流平面。,平面应变状态的特点,1)由于平面变形时，物体内与z轴垂直的平面始终不会倾斜扭曲，所以 z平面上没有切应力分量。,为主应力，z向
14、为主方向，,2)在z向有阻止变形的正应力，弹性：，塑性：,3）所有应力分量沿z轴均匀分布，即与z轴无关，对z轴偏导为0。,平面问题和轴对称应力状态,平面应变的应力状态为,在主轴坐标系下,主切应力与最大切应力,塑性成形中，经常遇到旋转体，用圆柱坐标更为方便。,任意点坐标：,应力张量：,在圆柱坐标系中平衡微分方程的一般形式为,平面问题和轴对称应力状态,轴对称状态：当旋转体承受的外力对称于旋转轴分布时，则旋转体内质点所处的应力状态称为轴对称应力状态。处于轴对称应力状态时，旋转体的每个子午面(通过旋转体轴线的平面，即面)都始终保持平面，而且子午面之间夹角保持不变。,特点：,1)过轴线子午面（面）不扭曲（保持平面），=z=0,为主应力，只有四个独立应力分量；,2)各应力分量与坐标无关，对的偏导数为零。,平面问题和轴对称应力状态,根据轴对称应力状态特点，得出其应力平衡微分方程式,平面问题和轴对称应力状态,
