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1、第三章 现代谱估计,清华大学自动化系 张贤达电话：62794875,经典谱估计,样本直接法间接法,假设已零均值化，,周期函数,要提高分辨率，使用参数化的谱估计！经典谱估计：使用FFT的谱估计现代谱估计：参数化谱估计,3.1 ARMA谱估计与系统辨识,平稳ARMA过程 离散随机过程 服从线性差分方程：为离散白噪声，则称 为ARMA过程。自回归(autoregressive)滑动平均(moving average)过程,AR阶数,AR参数,MA阶数,MA参数,ARMA模型描述的线性时不变（LTI）系统传递函数：,满足ARMA模型的条件：(1)冲激响应系数必须绝对可求和：(系统稳定)(2)A(z)和
2、B(z)无公共因子(p,q唯一)(3)系统是物理可实现的(因果系统)极点的作用：决定系统的稳定性和因果性 即极点不在单位圆上因果性：称x(n)是e(n)的因果函数，若 即因果系统要求极点在单位圆以内，A(z)的根|z|1,零点部分,极点部分,零点的作用：决定系统的可逆性，即 是否存在。可逆性：称e(n)是x(n)的可逆函数，若(1)存在序列，并满足 可逆系统的稳定性(2)可逆性条件,ARMA过程的功率谱密度 则功率谱 其中,ARMA功率谱估计的两种线性方法Cadzow谱估计子 又 其中,则 两边同乘，比较系数得 所以，Cadzow谱估计子的关键：估计AR阶数p和AR参数,Kaveh谱估计子,非
3、线性方程，MA参数辨识（NewtonRaphson迭代）,协方差函数的Fourier变换,Kaveh谱估计子：,ARMA功率谱密度的特例,特例一：MA过程,有限冲激响应(FIR)系统,特例二：AR过程,中含有 的无数多项,无限冲激响应(IIR)系统,白噪声中的AR过程：,ARMA(p,p)过程,特例三：完全可预测过程,加性白噪声中的可预测过程：,线 谱,特殊的ARMA,所以：白噪声中的AR过程=ARMA过程白噪声中的可预测过程=特殊的ARMA过程,等价,高斯白噪,修正Yule-Walker方程,BBR公式：,修正Yule-Walker方程(MYW方程),定理(AR参数的可辨识性)：,若A(z)
4、和B(z)无可对消公共因子，且，则AR参数 可由p个修正Yule-Walker方程唯一确定或辨识。,若构造：,使得，则,AR阶数确定的奇异值分解方法,奇异值分解(SVD)：,酉矩阵：,主奇异值：p个大的奇异值（p个信号分量的能量）,次奇异值：其它小奇异值（扰动或误差的能量）,准则一：归一化比值,信号与噪声的分离：,若阈值=0.995，v(k)阈值的最小整数k定为矩阵A的“有效秩”。,准则二：使用归一化奇异值,某个很小的阈值(0.05)的最小整数k定为有效秩。,最终预报误差方法(FPE,Finite Prediction Error)：,FPE准则选择使FPE(p,q)最小，作为AR模型的阶数。,AIC(Akaikes Information Criterion),“信息量准则”遵循“吝啬原则”,AR阶数确定的信息量准则法,若，则,扩展阶MYW方程,选,AR参数估计的总体最小二乘法,总体最小二乘TLS:Total Least Squares,扰动矩阵,思想：寻求一个解z，使得,定义代价函数,方法2：只包含p个参数（主要因素）,：用秩为p的矩阵对B的最佳逼近,令，则,构造代价函数,由于存在误差,AR定阶与AR参数估计的SVD-TLS算法：,步骤1：构造扩展阶相关函数，求SVD，存储 和,步骤2：确定 的有效秩p，给出AR阶数估计值,步骤3：计算,步骤4：计算,
