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1、第三节 幂级数,一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛法三、幂级数的运算,一、函数项级数的概念,定义在区间I上的函数列,则由这函数列构成的表达式,称为定义在区间I上的(函数)无穷级数，简称(函数项)级数.,对于每一个确定的值，函数项级数(1)成为常数项级数,如果(2)式收敛，我们称点 是函数项级数(1)的收敛点；如果(2)发散，我们称点 是函数项级数(1)的发散点.函数项级数(1)的所有收敛点的全体称为它的收敛域，所有的发散点的全体称为它的发散域.,函数项级数的和是x的函数s(x)，通常称s(x)为函数项级数的和函数.,级数(1)的前n项的部分和记作,则在收敛域上有,我们把 叫做函数项级数的余
2、项(当然，只有x在收敛域上 才有意义)，于是有,定义 形如,的级数，称为(xx0)的幂级数，,均是常数，称为幂级数的系数.,二、幂级数及其敛散性,定理1(阿贝尔(Abel)定理)如果级数 当 时收敛，则适合不等式 的一切x使这幂级数绝对收敛.反之，如果级数 当 时发散，则适合不等式 的一切x使这幂级数发散.,证明：先设 是幂级数(3)的收敛点，即级数,收敛.概据级数收敛的必要条件，这时有,于是存在一个常数M,使得,这样级数(3)的一般项的绝对值,定理的第二部分可用反证法证明.倘若幂级数当 时发散而有一点 适合 使级数收敛.则根据本定理的第一部分，级数当 时应收敛,这与所设矛盾.定理得证.,推论
3、 如果幂级数 不是仅在x=0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得 当|x|R时，幂级数发散;当x=R与x=R时，幂级数可能收敛也可能发散.,正数R通常叫做幂级数(3)的收敛半径.开区间(R,R)叫做幂级数(3)的收敛区间.,定理2如果幂级数,的系数满足条件：,证明：考察幂级数(2)的各项取绝对值所成的级数,这级数相邻两项之比为:,(a)正数R称为幂级数(3)的收敛半径；,(c)如果R=0说明幂级数(3)只在x=0处收敛;,(d)如果 说明幂级数(3)在 处收敛.,例2 求幂级数,的收敛半径与收敛区间.,对于端点x=1，级数成为：,三、幂级数的运算,如果幂级数,的收敛半径分别为R10和R20，则,收敛半径R等于R1和R2中较小的一个.,性质1 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上连续.,性质3 幂级数 的和函数s(x)在其收敛区间(R,+R)内可导，且有逐项求导公式,即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.,
