【教学课件】第二章平面电磁波基础.ppt

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1、1,第二章 平面电磁波基础,2,2.1 波动方程,无源区域麦克斯韦方程为可以导出波动方程：,3,对于最简单的均匀平面波在横向平面内场量的大小和方向都是不变的。因此，对于沿z轴方向传播的均匀平面波，场矢量E和H都不是x、y的函数，则有,4,对于时谐电磁场，类似的可导出复波动方程同样可综合写为,5,2.2 无界空间的均匀平面波,主要内容如下所示：,理想介质中的均匀平面波,导体介质中的均匀平面波,沿Z轴传播,沿任意方向传播,6,2.2.1 理想介质中的均匀平面波 1、沿Z方向传播 对于正弦均匀平面波，假设其在自由空间沿Z轴方向传播，且 则复波动方程为：,7,研究其中的正向行波 将其代入麦克斯韦第二方

2、程，得式中称为媒质的本征阻抗。在自由空间中可见 和 构成一组沿+z方向传播的分量波。同样，和 构成另一组也沿+z方向传播的分量波，它们是彼此独立的。,8,电磁强度的的瞬时值表示式为：在固定点观察即确定Z值可定义时间周期T和频率f分别为 在确定的时刻t上观察电场随空间坐标的变化，可定义波长为 即 k 即为单位距离内的全波数，故称为波数。,9,为进一步理解波数k的含义。我们定义一个波数的基本单位，它表示每米空间距离上的变化周期数。同样对于t=0的时刻，当取 时，在1m的空间距离中有一个变化周期，如图所示：,10,当取 时，则在1m的空间距离中有二个变化周期，如下图所示：,11,当取 时，则在1m的

3、空间距离中有三个变化周期，如下图所示：,12,下图绘出三个不同时刻，Ex随kz变化的图形。,13,从图中看出，电场矢量 随着时间的增加是沿+z 轴方向传播的，此即正向行波。在理想介质种，均匀平面波的平均功率流密度为,14,在这里应用了矢量恒等式 且考虑到 以及。引入本征阻抗 相速度 故平均功率流密度可表示为在无界的理想介质中，式中的（或）表示理想介质中的总的平均能量密度。平均电能密度为，平均磁能密度为 二者各占一半。,15,2、沿任意方向传播 应该指出，并不是在任何情况下设定波的传播方向为直角坐标系的某个坐标轴方向都是方便的。譬如将要讨论的波对分界面斜入射问题，在设定分界面与某个坐标面平行后，

4、波的传播方向就只能是任意方向。,16,在右图中，波沿任意方向传播，设传播方向的单位矢量为，则波矢量为，它与x、y、z轴的夹角分别为、，则,图2.2.6 沿任意方向传播的平面波的等相位面,17,式中 由于故有波矢量与位置矢量的点乘之积若为常数则确定的平面为且垂直于波矢量K,18,因此沿任意方向传播的均匀平面波的电场强度和磁场强度可表示为这一结果表明，电场矢量E和磁场矢量H都位于与传播方向垂直平面内，且E和H相互垂直，E、H、k三者符合右手螺旋关系。相应的平均坡印廷矢量为易见电磁能量是沿 方向传播的,19,2.2.2 导电介质中的均匀平面波 导电介质特性是电导率不等于0，则 若令 这里的 是介电常

5、数，是损耗因子，与电导率和角频率有关。则得,20,引入等效介电常数后的波动方程为其中,21,导体介质中对应波动方程的解为故 称为衰减常数，称为相位常数定义穿透深度，表示传播距离 后，振幅衰减了 倍,22,与电场E相伴的磁场H可由方程求得式中称为导电介质的本征阻抗，是一个复数，与介质参数以及频率有关。,23,写出的瞬时值形式的电场强度和磁场强度可看出和存在一个相位差。下图绘出某时刻的图形，可以看出它们的振幅随传播距离z的增大而按指数规律衰减。,图2.2.7 导电介质中波的传播,24,导电介质中，波的相速度为可见相速度不仅与媒质参数有关，还与频率有关。导电介质是色散媒质。导电介质中的平均功率流密度

6、矢量为可见这是沿+z方向传播的衰减波，平均功率流密度的减小速率为2。,25,1 良导体则即有本征阻抗相速穿透深度穿透深度很小，说明良导体中的电磁场实际只能存在于表面薄层内。这种现象称为趋肤效应，穿透深度又称为趋肤深度。,26,2 低损耗介质即有则,27,例：海水的电参数为：电导率，相对介电常数，相对磁导率。设频率 的平面波在海水中传播，试计算：相位常数、衰减常数、相速、本征阻抗和趋肤深度。解：可见，在100KHz的频率上，海水为良导体。故相位常数,28,衰减常数相速本征阻抗趋肤深度,29,2.3 平面波的极化,2.3.1 平面波的极化概念讨论具有如下电场矢量表示的均匀平面波 这是包含Ex和Ey

7、两个分量、沿+z轴方向传播的均匀平面波。,30,2.3.2 平面波的极化形式 取z=0，此时的式子变为考虑以下几种情况1线极化波若，式中的n=0，1，2即Ex与Ey同相，例如取，则有矢量的端点在如图（a）所示的一条直线上运动，是线极化波。,31,若，式中的n=0，1，2即Ex与Ey反相，例如取，则有矢量的端点在如图（b）所示的一条直线上运动，也是线极化波。结论：若两个频率相同、传播方向也相同的电场分量同相或反相，则合成电场描述一个线极化波。,32,2圆极化波 若，且，即Ex分量的相位超前于Ey分量的相位，且振幅相等。例如取，则有 不难看出,Ey分量取最大值时，Ex分量为零。随着时间的增大，Ex

8、分量逐渐增大，Ey分量则逐渐减小。的端点将由 方向朝 的负方向旋转，如下图(a)所示。易见这是一个半径为的圆方程。且表示的是一个右旋圆极化波。,33,若，且，即Ex分量的相位落后于Ey分量的相位，且振幅相等。同上分析可知此时表示的是一个左旋圆极化波。结论：若两个频率相同，传播方向也相同的电场分量的振幅相等，相位差为，则合成电场描述一个圆极化波。,图2.3.2 圆极化波（在z0平面上）,34,3.椭圆极化波 若电场矢量的两个分量的振幅和相位是任意的，则描述的是一个椭圆极化波。为简化分析，但又不失一般性，我们取，则有 在上式中消去时间变量t，得 这是一个椭圆方程。当 时，表示一个右旋椭圆极化波，当

9、 时，表示一个左旋椭圆极化波,35,从上面的讨论可以看出，两个线极化波可以合成其它极化形式的波，譬如圆极化波、椭圆极化波或新的线极化波；任意一个椭圆极化波或圆极化波可以分解为两个线极化波。,图2.3.3 椭圆极化波,36,在一个固定时刻，譬如取t=0，得即：电场矢量的端点沿+z轴运动的轨迹是一个螺距为的右旋螺旋线。若是右旋圆极化波，电场矢量端点随z变化则与z轴成左旋关系。,图2.3.4 圆极化波在空间的分布,37,2.3.3 Poincare极化球和Stokes参数 对于严格的单色波，它是全极化的。斯托克斯（Stokes）提出的表征一个波的振幅和极化的四个参数是：称为Stokes参数。式中的、

10、和 分别是场分量的振幅及其相位差。,38,参数S0和S1直接给出振幅，和 可以由S0和S1求得，相位差可由S2或S3确定。另外，还可看出 若将 看作是半径为 的球上一点的三个直角坐标分量，和 分别是该点的俯仰角和方位角，则所有的极化状态都可用一种简单的几何关系表示出来。每种极化状态都对应着球上的一个点，反之球上每一个点也对应着一种极化状态。,39,1线极化设 都不为零，则此时 则可见，线极化波的所有点都在Poincare球的赤道上。2左旋圆极化此时，。则有：可见，表示左旋圆极化波的点在Poincare球的北极点3右旋圆极化同理可判断右旋圆极化波的点在Poincare球的南极点。,图2.3.6

11、Poincare球,40,4左旋椭圆极化 此时，据 知。可见，表示左旋椭圆极的点都在Poincare球的上半球面。5右旋椭圆极化 此时，故有。可见，表示右旋椭圆极的点都在Poincare球的下半球面。,41,2.4 平面波对不同媒质分界面的垂直入射,电磁波从一种媒质中传播到与另一种媒质的分界面时，由于分界面两侧媒质的本征阻抗不同，故要发生波的反射和透射现象。入射波的一部分在分界面处被反射，形成反射波；另一部分将透过分界面在另一种媒质中继续传播，形成透射波。本着从简单到复杂的认识规律，我们先讨论垂直入射，随后再讨论斜入射。,42,单一频率的均匀平面波从半无界的媒质1中垂直入射到与媒质2的分界面上

12、，设分界面为无限大平面z=0。媒质1（的区域）的电参数为，媒质2（的区域）的电参数为。为简化讨论，设入射波为x方向的线极化波。图2.4.1描绘出入射波、反射波和透射波的正方向，入射波和透射波沿+z方向传播，反射波沿-z方向传播。,2.4 平面波对不同媒质分界面的垂直入射,43,44,式中的 是媒质1中的相位常数，是媒质1的本征阻抗。媒质2是理想导体，其本征阻抗。当入射波达到其表面时将被全部反射，形成沿-z 方方向传播的反射波。其电场强度和磁场强度分别为（2.4.3）（2.4.4）,45,考虑功率密度有则有验证了电磁能量守恒定律,46,媒质1中同时存在入射波和反射波，二者叠加构成媒质1中的合成波

13、，其总电场为根据理想导体的边界条件，在z=0处应有 即（2.4.5）因此，媒质1中的总电场为,47,（2.4.6）媒质1中的总磁场为(2.4.7)由式（2.4.7）看出，在z=0处，媒质1中的合成磁场为，而媒质2中，即分界面上磁场强度的切向分量不连续，因此分界面上存在表面电流，有,48,（2.4.8）为便于讨论媒质1中合成波的时空特性，写出总电场和总磁场的瞬时值表示式,49,图2.4.2是根据式（2.4.9）和式（2.4.10）绘出的和的图形，从图形可看出此时已不存在波的移动，而只是在原处随时间的变化而上下,50,振动。从图中还看到驻波电场和驻波磁场的时间相位、空间相位都相差，即在时间上两者有

14、的相差，在空间位置上错开。,51,媒质1中的合成波的平均坡印廷矢量为 结果说明在驻波状态下没有电磁能量的流动。事实上，在 处，瞬时坡印廷矢量始终 为零，因此电磁能量仅在 范围内流动，在电场与磁场之间不断进行能量交换。例2.4.1 有一右旋圆极化波从空气中垂直,52,入射到位于z=0处的理想导体板上，已知电场强度的表示式为 式中的（1）判定反射波的极化形式；（2）求理想导体板上的面电流密度。解：（1）设反射波电场的表示式为,例2.4.1 有一右旋圆极化波从空气中垂直,53,利用理想导体表面切向电场为零的边界条件，得 和 故 反射波的电场则为 可见，反射波是沿-z轴方向传播的左旋圆极化波。这种入射

15、波经反射后由右旋变为,54,左旋的现象称为极化反转，有重要应用价值。（2）入射波的磁场为 反射波的磁场为,55,于是得空气中的合成波磁场 理想导体板上面电流密度为2.4.2 对理想介质的垂直入射 图2.4.1中的媒质1和媒质2都是理想介质，,56,它们的电参数分别为 和相位常数分别为 和 本征阻抗分别为 和 当入射波投射到分界面上时，由于阻抗不连续将发生反射和透射。用场量匹配法来求解这一类问题。设入射波的电场、磁场表示式分别为（2.4.12）（2.4.13）,57,反射波的电场、磁场表示式分别为（2.4.14）（2.4.15）而透射波的电场、磁场表示式分别为（2.4.16）（2.4.17）在媒

16、质1中，存在入射波和反射波，合成波的电场、磁场为（2.4.18）,58,在媒质2中，只有透射波，故（2.4.19）利用理想介质分界面上电场强度和磁场强度的切向分量连续的边界条件，由式（2.4.18）和（2.4.19）得（2.4.20）把入射波的电场振幅Eim 作为已知量，由,59,式（2.4.20）求得（2.4.21）（2.4.22）把反射波的电场振幅与入射波的电场振幅之比，定义为反射系数，表示为（2.4.23）把透射波的电场振幅与入射波的电场振幅之比，定义为透射系数，表示为（2.4.24）,60,这样，媒质1中的合成波电场强度可表示为而媒质2中的透射波电场强度表示为（2.4.26）式（2.4

17、.25）表明媒质1中的合成波电场包括两部分：含有因子 的项是行波分量，它是振幅为、沿+z轴方向传播的波；另一项是振幅为 的驻波分量。我们称这类波为行驻波（或混合波）。它的电场最大值,61,和最小值分布在空间的固定位置上，即也有固定的波腹点和波节点，因为还存在行波分量，故波节点场量不再为零。式（2.4.26）表面透射波是单向行波。在讨论行驻波时常引入驻波系数，其定义是（2.4.27）最后再看看发生反射和透射现象时的电磁功率关系。先写出入射波、反射波和透射波的平均功率流密度,62,于是这一结果表明，反射功率与透射功率之和，等于入射功率。这是电磁能量守恒定律的必然结果。,63,例2.4.2 已知媒质

18、1为空气，媒质2为非磁性理想介质；入射波从空气中垂直入射到非磁性理想介质表面。设入射波的频率为1GHz，入射波的电场振幅为10V/m。（1）计算反射系数和透射系数；（2）分别写出媒质1、2中的电场和磁场表示式；（3）求入射波、反射波和透射波的平均功率流密度。,64,解：（1）故反射系数为 透射系数为（2）设入射波沿+z方向传播，入射波的电场沿x轴取向，则入射波的电场和磁场,65,表示式分别为式中 反射波的电场和磁场表示式分别为,66,媒质1中合成波电场表示式为 磁场为 媒质2中只有透射波，故,67,式中（3）,68,2.4.3 对导电介质的垂直入射图2.4.1中的媒质1和媒质2都是导电介质，其

19、电参数分别为 和。引入复介电常数 故传播常数为,69,本征阻抗为 先写出入射波、反射波和透射波的场量表示式，再利用边界条件求出反射波、透射波与入射波的关系。按图2.4.1的设定方向，入射波场量表示式为,70,（2.4.28）反射波（2.4.29）透射波（2.4.30）媒质1中的合成波的电场、磁场则分别为（2.4.31）,71,利用分界面（z=0处）上电场、磁场的切向分量连续的边界条件，由式（2.4.30）和（2.4.31）得（2.4.32）由式（2.4.32）求得（2.4.33）（2.4.34）与式（2.4.23）、（2.4.24）比较，可见,72,形式完全相同，区别在于这里的本征阻抗是复数，

20、因而反射系数和透射系数也是复数。这说明入射波在分界面上产生反射和透射后，反射、透射波的大小和相位都要发生变化。,73,例2.4.3 入射波的电场强度表示为当其从空气中垂直入射到位于z=0处的导电介质（参数为）的表面时，（1）求反射系数，并写出反射波的电场、磁场表示式；（2）求透射系数，并写出透射波的电场、磁场表示式；（3）透射波传播多少距离就可认为已衰减完了？解：由题设条件计算出媒质的相关参数媒质1：空气,74,媒质2：导电介质 既 而,75,（1）反射系数 故反射波的电场为 或,76,反射波的磁场为 或（2）透射系数,77,此时，透射波的电场为或 透射波的磁场为,78,或（3）媒质2中，波的

21、穿透深度为通常，电磁波在导电介质中传播距离为5 时，就可认为是衰减完了，故此时 即此时的电场值已降至原值的倍，即衰减约为50dB。,79,2.5 均匀平面波对多层媒质分界面的垂直入射,当空间存在三种或三种以上不同媒质时，电磁波在每两种不同媒质的分界面上都将发生反射和透射现象，下面以三种媒质为例，讨论均匀平面波垂直入射时的反射和透射问题。设三种媒质具有平面分界面，分别置于z=0和z=d处。假设媒质I中的入射波沿+z方向传播，电场只有x分量，磁场只有y分量，如图2.5.1所示。,80,均匀平面波从媒质I垂直入射时，在分界面1上发生反射和透射。一部分被反射回媒质I。另一部分透过分界面1进入媒质II，

22、且在媒质II中继续沿+z方向传播。,81,在分界面2上该透射波又将发生反射和透射，一部分被反射回媒质II，而另一部分透过分界面2进入媒质III。因而在媒质I中有入射和反射波，在媒质II中也有入射波和反射波，在媒质III中只有透射波。在媒质I中：入射波 反射波,82,合成波:（2.5.1）类似的，在媒质II中的合成波：（2.5.2）类似的，在媒质III中的合成波：（2.5.3）,83,在式（2.5.1）(2.5.3)中，是媒质I中入射波的振幅，假设为已知量，、和 皆为待求量。可利用分界面1和分界面2上电场切向分量连续和磁场切向分量连续的边界条件求出。在z=0处（即分界面2处），由式（2.5.2）

23、、（2.5.3），得,84,联解上式得出分界面2处的反射系数为 和透射系数（2.5.6）（2.5.7）在z=-d（即处分界面1处），由式（2.5.1）、（2.5.2），得（2.5.8）,85,将与分界平面平行的任意平面上的总的电场与总的磁场的比值定义为等效波阻抗（也称总场波阻抗），表示为 则由（2.5.8）和(2.5.9)得到分界面1处（z=-d）的等效波阻抗为,86,又由 得到分界面1处的反射系数（2.5.11）此式的含义是媒质II和媒质III对分界平面1处的反射系数的贡献，可用一种等效媒质来代替，该效媒质的本征阻抗为，由式（2.5.10）确定。,87,再由，得分界面1处的透射系数（2.5.

24、12）这样，在假定已知的情况下，就可求得各层媒质中的入射波、反射波和透射波。,88,2.6 均匀平面波对分界面的斜入射,89,先定义一个入射面：由分界平面的法线n和入射波的波矢量构成的平面，称为入射平面，如图2.6.1中的xoz平面。n与之间的锐角称为入射角，而n与反射波的波矢量和透射波的波矢量之间的夹角、分别称为反射角和透射角。如图2.6.1所示。入射波的电场矢量 与波矢量 垂直，但与入射平面一般情况下成任意角度。我们可以将其分解为与入射平面垂直的分量和与入射平面平行的两个分量。把电场分量与入射平面垂直的平面波，称为垂直极化波；,90,2.6.1 垂直极化波对理想介质表面的斜入射 垂直极化波

25、以入射角斜入射到两种媒质的分界面上，如图2.6.2所示。这时,图2.6.2 垂直极化波对介质分界面的斜入射,91,入射波的电场矢量与入射面垂直，即沿y方向极化，可表示为（2.6.1）式中为入射波的波矢量（2.6.2）故入射波电场矢量可写为（2.6.3）入射波的磁场为,92,(2.6.4)反射波的电场为（2.6.5）式中 为垂直极化入射时的电场反射系数，为反射波的波矢量（2.6.6）,93,故反射波电场矢量可写为（2.6.7）反射波的磁场为(2.6.8)透射波的电场为（2.6.9）式中 为垂直极化入射时的电场透射系数，为透射波的波矢量,94,（2.6.10）故透射波电场矢量可写为（2.6.11）

26、透射波的磁场为(2.6.12)利用分界面上，电场切向分量连续的边界,95,条件，由入射波、反射波和透射波的电场表示式，即式（2.6.3）、式（2.6.7）和式（2.6.11），当z=0时，得（2.6.13）此式对分界面上任意的x值（包括x=0）都应满足。而对于x=0，上式变为（2.6.14）因此，要保证式（2.6.13）对分界面上任意的x值都满足，必须,96,（2.6.15）从式表明，在分界面上，入射波、反射波和透射波的波矢量的切向分量连续，通常称为相位匹配条件。由式（2.6.2）、式（2.6.6）和式（2.6.10）可得（2.6.16）于是由式（2.6.15）中的第一个等式，得,97,（2.

27、6.17）表明反射角等于入射角，与光学中的斯耐尔反射定律完全相同。由式（2.6.15）中的第二个等式，得（2.6.18）这是斯耐尔折射定律。,98,即（2.6.19）联立求解式（2.6.14）和式（2.6.19），得（2.6.20）1）以上两式称为垂直极化波的菲涅耳公式。根据这个公式，就可用入射场来表示反射场和透射场。,99,例2.6.1 在的半无限介质中，有一正弦均匀平面波斜入射到与空气相交的分界面上，如图2.6.3所示。已知入射波的电场为 由介质斜入射到空气。,100,（1）求入射波的波长、相速、频率和相伴的磁场；（2）求入射角、反射角和透射角；（3）求反射波的电场和磁场；（4）求透射波的

28、平均功率密度。,101,解：（1）由题给的电场表示式知入射波的波矢量则 则入射波的波长为相速为频率为,102,入射波的磁场为（2）由 得所以，入射角，反射角根据折射定律，得 故透射角,103,（3）据式（2.6.20）,得反射系数为由式（2.6.7）得反射波的电场为而由式（2.6.6）于是,104,由式（2.6.8）得反射波的磁场为（4）据式（2.6.21）得透射系数为据式（2.6.11）得透射波的电场为,105,而由式（2.6.10）于是 由式（2.6.12）得透射波的磁场为,106,故透射波的平均功率密度为此结果表明，在题给条件下的透射波功率是沿分界平面传播的。,107,2.6.2 平行极

29、化波对理想介质表面的斜入射,如图2.6.4所示，入射波的电场与入射面平行，入射波的磁场必然垂直与入射面。分析方法与垂直极化时完全类似，不同的是这里以入射波磁场为已知量。利用分界面上，磁场切向分量连续的边界条件，由入射波、反射波和透射波的磁场表示式，得（2.6.22）（2.6.23）,108,还可以得到与前面相同的相位匹配条件、斯耐尔反射定律和斯耐尔折射定律以及称为平行极化的菲涅耳公式（2.6.24）(2.6.25),109,2.6.3 全反射与临界角对于非铁磁性物质，此时的折射定律为 当，即平面波从稠密媒质1斜入射到稀疏媒质2时，随着入射角的增大，折射角也增大。当增大到某一角度 时，就出现。在

30、这一角度入射时，折射波将贴着分界面传播。此时的反射系数为,110,看见，且当 时，媒质1中的入射波将被分界面完全反射回到媒质1中，这种现象称为全反射。使折射角 的入射角，称为临界角，记为。由折射定律可求出临界角（2.6.26）显然，只有当 时，临界角 才有实数解，才可能产生全反射。同样可以证明，当 时，反射系数 均,111,为复数，且有 此时也会出现全反射现象。由此得出结论：当均匀平面波从稠密媒质1入射到稀疏媒质2，即 时，不管是垂直极化波还是平行极化波，只要，都会产生全反射。下面进一步讨论当 时透射波的情 况。由折射定律知道，当 时,112,故没有实数解。而这时，垂直极化波入射到分界平面时产

31、生的透射波电场为,113,2.6.4 全透射与布儒斯特角若平面波从媒质1入射到媒质2时，在媒质分界面上不产生反射，电磁波功率将全部透射到媒质2中，这种现象称为全透射。媒质1和媒质2均为非铁磁性媒质，则平行极化波对分界面斜入射时,欲使，必须（2.6.27）将折射定律和 代入上式，得,114,2.6.5 垂直极化波对理想导体表面的斜入射,如图2.6.5所示，媒质1是理想介质，其参数为；媒质2为理想导体，其参数为。垂直极化波从媒质1中以入射角斜入射到两种媒质的分界面上。,115,因为理想导体的电导率，故其本征阻抗。根据垂直极化波的菲涅耳公式，即式（2.6.20）和式（2.6.21），得垂直极化波对理

32、想导体表面斜入射时，。即产生全反射。故合成波的总电场和总磁场分别为(2.6.30),116,(2.6.31)(2.6.32),117,从式（2.6.30）和式（2.6.32）可以看出，垂直极化波斜入射到理想导体平面边界时，有如下特性：（1）在垂直于导体边界的方向上即z方向，合成波呈驻波分布，此方向上波传播的平均功率为零。（2）因子 表明合成波沿+x方向传播，此方向上的相位常数为，故相速度为在传播方向上没有电场分量，但存在磁场分量；称这种波为横电波（TE波）。,118,（3）波的等振幅面是z=常数的平面，等相位面是x=常数的平面，故合成波是非均匀平面波。（4）由总电场表示式（2.6.30）可以看

33、出，当 时，无论x为何值，总是为零。由，得故在 处装上一块与边界平行的导体板，原来的场分布并不会改变。,119,2.6.6 平行极化波对理想导体表面的斜入射,120,（2.6.33）（2.6.34）从式（2.6.33）和式（2.6.34）可以看出，平行极化波斜入射到理想导体平面边界时，有如下特性：（1）在垂直于导体边界的方向上即z方向，,121,合成波呈驻波分布，此方向上波传播的平均功率为零。（2）因子表明合成波沿+x方向传播，此方向上的相位常数为，故相速度为 在传播方向上没有磁场分量，但存在电场 分量；称这种波为横磁波（TM波）。,122,（3）波的等振幅面是z=常数的平面，等相位面是x=常

34、数的平面，故合成波是非均匀平面波。（4）若在 处装上一块与边界平行的导体板，原来的场分布并不会改变。这样，z=0和 平面之间构成了另一种平行板波导，此时传播的是TM波。,123,2.7 相速与群速,相速是指电磁波等相位面推进的速度。对于沿+z方向传播的电磁波，等相位面为z=常数的平面，其相速度（2.7.1）在无界无损耗媒质中，这时 与频率无关，因此可以认为无界无损耗媒质是非色散的。而在导电媒质中k是频率的非线性函数，这时 与频率有关，因此，导电媒质又称色散媒质。,124,对于沿任意方向 传播的电磁波，其中波矢量，等相位面为 常数的平面，其相速度（2.7.2）现在考虑波沿 方向上的相位变换情况。

35、因为垂直于x轴的平面不是等相位面。该平面上的相位分布为。而波沿该方向的相速则为,125,（2.7.3）该相速又称为x方向的视在相速，它可能大于光速。只表示波的等相位面沿x轴移动中的 能量是由A点以 传播来的，而不是由P点传来的。假设在色散媒质中同时存在两个传播方向相同、电场振幅相等、极化相同，但频率不同的正弦波，频率分别为,126,和式中的，相应的相位常数为 和电场表示为合成波电场为,127,这一表达式可以看成是角频率为、振幅按 随角频率缓慢变化、沿+z方向传播的波，称为调幅波，调制频率为。对于波的某恒定相位点，由 常数，得其相速度 根据振幅调制因子 可导出波的包络上某恒定相位点移动的速度，即

36、群速。由 常数，当 时，得群速,128,（2.7.4）它是调制波包络的相速。相当于窄带信号的传播速度，这是因为宽带频谱信号的包络形状在传播过程中要发生很大的畸变，此时群速失去意义。因此，相速是角频率为 的高频振荡波的恒定相位点移动的速度，而群速则是调制该高频波振幅的包络上恒定相位点移动的速度。由相速和群速的表示式，可导出它,129,们之间的关系故（2.7.5）从上式可看到存在以下三种可能情况：（1）时，即相速与频率无关。此时，群速等于相速，称为无色散情况。,130,（2）时，即相速随频率的增高而减小，此时，群速小于相速，称为正常色散。（3）时，即相速随频率的增高而增加，此时，群速大于相速，称为

37、反常色散。,131,2.8 无界均匀各向异性媒质中的平面波,分析各向异性均匀介质内的平面波，是所有涉及到该媒质的电磁问题的基础。一方面远离天线或散射体的波本身就能用平面波很好地表示。另一方面，利用傅立叶积分可以把复杂的波表示为平面波的迭加。因此，我们将寻求无界均匀各向异性媒质中平面波的解。首先，写出在各向异性介质中的时谐（设时谐因子为）麦克斯韦方程,132,（a）b）其中，、为介电常数和磁导率，且都为张量。我们进一步假设媒质是均匀的，即介质张量与空间坐标无关，这时寻求平面波解仍是可能的。a）两边乘上 再取旋度，并考虑b），得到（2.8.2）,133,为了求得式（）的平面波解，我们假设的形式为：

38、（）其中为平面波的矢量波数，为径向矢量，且,134,将式（）代入式（），对于平面波，利用，得（）其中 可以写为，其 中为一张量（）将的各直角坐标分量用方向余弦表示,135,（）其中 是 k的模。我们将方程（2.8.4）修改如下：（）,136,（）方程（）对应于一广义本征值问题，为本征矢量。由于 是一个 的矩阵，故上述方程会有三个本征值和本征矢量。但是受到条件 的约束，中只有两个分量是独立的，这意味着式（）中只有两个本征值和两个本征矢量。因此，式（）的通解为（）,137,其中其中，为方程（2.8.7）第i个本征值。,138,根据式（a），很容易导出磁场为（）波进入各向异性媒质后，立即分解为各向异性媒质内允许存在的两个特征波。这两个特征波的波数是波矢方向的函数。特征波的方向的变化规律也是波矢方向的函数一种媒质内传播着两个不同速度的特征波的现象，称为双折射现象。而通常各向同性媒质中波数在任何方向都一样，特征波的电磁场随波矢的变化规律也是不变的。,