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1、第二章 逻辑代数和函数化简,2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算,0、1,两种对立状态,三种基本的逻辑运算：,与逻辑运算,或逻辑运算,非逻辑运算,一、“与”逻辑,决定事件成立的所有条件都具备时，事件成立。,2.1.1 逻辑代数的三种基本运算,与逻辑状态表,与逻辑真值表,断开 断开,断开 接通,接通 断开,接通 接通,灯灭,灯灭,灯灭,灯亮,0 0,0 1,1 0,1 1,0,0,0,1,与逻辑真值表,F=AB,逻辑乘(与),1,0,0,A,与门功能概括：全1出1，有0出0,0,0,1,0,A,A,A,与逻辑符号:,可编程逻辑器件与门逻辑符号:,国内常用符号,欧美流行符号,A,B,F,0 1 0
2、1 0,&,AB,F,波形图,0,0,0,0,0,0,0,1,二、“或”逻辑,在决定事物结果的诸条件中，只要有任何一个满足，事件就会发生。,灯灭灯亮灯亮灯亮,断开 断开 断开 接通 接通 断开 接通 接通,F=A+B,或门功能概括：全0出0，有1出1,0,1,1,A,1,A,A,B,F,0 1 0 1 0,1,AB,F,波形图,0,1,1,1,1,1,1,1,三、“非”逻辑,只要某一条件A具备时，事件F不发生；A不具备时，事件F发生。,灯亮灯灭,断开接通,10,01,逻辑非的运算规则为,由此可推出,1,0,A,1,0,非门逻辑符号：,A,F,0 1 0 1 0,1,A,F,波形图,复合逻辑运算
3、,“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示。,最常见的复合逻辑运算有：,与非运算、,或非运算、,与或非运算、,异或运算、,同或运算等,(1)与非运算,表达式为,与非逻辑符号,与非逻辑真值表,“全1出0，有0出1”,1,1,1,0,(2)或非运算,表达式为,或非逻辑真值表,或非逻辑符号,“全低出高，有高出低”,1,0,0,0,(3)与或非运算,表达式为,与或非逻辑符号,练习：写出其真值表,与或非逻辑真值表,(4)异或运算,表达式为,异或逻辑符号,异或逻辑真值表,异或逻辑的运算规则为,0110,0,1,1,0,A,1,0,两变量异或功能概括为：“输入两变
4、量相异时输出为1”,偶数个1“相异或”，结果为？奇数个1“相异或”，结果为？,思考：,(5)同或运算,逻辑表达式为,F=AB,同或逻辑符号,同或逻辑真值表,同或逻辑的运算规则为,00=01=10=11=,A,0,1,两变量同或功能概括为：“输入两变量相同时输出为1”,1,0,0,1,对于两个变量来说，异或和同或,因此,互为反函数,AB C,=,与运算、或运算和非运算,加油站油罐液位控制系统,有两台一大一小电动机ML和MS驱动油泵向油罐注油。当油罐的液位低于A点高于B点时由小电动机MS单独驱动；当液位在B点与C点之间时，由大电动机ML单独驱动；当液位在C点以下时，由两台电动机同时驱动。试设计控制
5、该电动机工作的逻辑电路。,加油站油罐液位控制系统,液位A、B、C为输入逻辑变量,电动机MS和ML为输出逻辑变量,液位低于A、B、C某点时，用1表示，否则用0表示,Ms和 ML工作时用1表示，0表示不工作,0 0 0,1 0 0,1 1 0,1 1 1,0 0,1 0,0 1,1 1,液位控制真值表,+A.B.C,+A.B.C,液位控制逻辑电路,例：设计一个三人表决电路，若有两个以上的人同意则决议通过。用A、B、C来表示三人的态度，“1”表示同意；“0”表示“否决”；用F来表示结果:“1”表示决议通过；“0”表示决议不通过,0,0,0,1,0,1,1,1,逻辑表达式：,由以上分析可见，表示逻辑关
6、系的函数称为逻辑函数。逻辑函数一般表示为：F=f(A,B,C.),根据逻辑函数表达式画出逻辑电路图：,F,B,C,A,C,A,B,A,B,C,ABC,逻辑函数的描述方法,1.逻辑真值表,逻辑函数描述的方法有哪些：,文字描述,真值表,逻辑函数表达式,逻辑电路图,卡诺图,一变量真值表,0,1,0 0,0 1,1 0,1 1,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,2.逻辑函数式,是把输出与输入之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合式，即逻辑代数式。例如:,3.逻辑图,逻辑图就是用逻辑符号表示逻辑函数中各变量之间的与、或、非运算的逻辑电路图。
7、,0,1,1,0,2.2.3 逻辑函数各种表示方法间的相互转换,首先将n个变量的2n种0、1状态组合按二进制数填写到真值表的左边一栏（按顺序写）,然后将每一行的变量值代入逻辑表达式，算出输出逻辑值，记入右边一栏中,由真值表写出逻辑表达式,第一步 在真值表上找出输出为1的行；,第三步 将所有乘积项逻辑加，便得到逻辑函数表达式。,ABC,F,+,+,+,=,F=?,A,B,=,+,总结步骤：逐级写出逻辑函数表达式最后写出输出端的逻辑函数表达式,BC,2.3 逻辑代数的运算法则,一、如何判断逻辑函数的相等,利用真值表,二、逻辑代数的公理,0,1,1,1,1,0,0,0,0,1,三逻辑代数的基本定律,
8、B.A,B+A,(A.B).C,(A+B)+C,A.B+A.C,(A+B)(A+C),A,A,0,1,0,1,A,A,A,A,A,A+B,AB,A,A,10、冗余定理：,与或式最简的标准:(两个最少原则)与项个数最少;每个与项中的变量个数最少.,1、利用公式,B,可将函数的两个与项合并。,2.6逻辑函数的化简,例2.化简函数,例.化简函数,A,2.吸收法利用公式：A+AB=，吸收多余项。,例 化简函数,3.消去法利用公式，消去某项的多余因子。,A,A,B,+,=,例：化简函数,4.消项法 利用多余项定理消去多余项BC。,=,例.化简函数,6.综合举例,例.化简函数,解：,冗余定理的推论,例.化
9、简函数,例.化简函数,例.化简函数,ABC,B,A,C,B,A,C,B,A,A,B,A,F,+,+,+,+,+,+,=,),(,),)(,(,=A+B+C,例 化简函数,解：,F=,AB,=A,+DC,=A+B,=A+B+C,+DC,=A+B+C,1、代入规则,代入规则指出，将逻辑等式中的某一变量代以另一函数其等式仍然成立。,例,F=,逻辑代数的三个规则,2、对偶规则（求偶函数规则）,将函数中的.变成+变成.0变成 1 1变成0,这样则得到原函数的对偶函数F,1、求对偶函数时，原来的运算顺序不变。2、长非号、短非号都不变3、(F)=F,F=,(,A,.,(,+,),3、反演规则（求反函数规则）
10、,将函数中的.变成+变成.0变成1 1变成0 原变量变成反变量 反变量变成原变量,这样则得到原函数的反函数,(,A,+B),(A+B),1、求反函数时，原来的运算顺序不变。2、把多个变量上面的长非号作为子函数对待，长非号消去后，下面的子函数结构不变。,2.4 逻辑函数表达式的形式及其变换,2.4.1.完备逻辑的概念,最基本的逻辑运算：逻辑与、逻辑或、逻辑非。用它们可以解决所有的逻辑运算问题，因此可以称之为一个“完备逻辑集”。,逻辑表达式常用形式有与或式、或与式、与非式、或非式、与或非式。,逻辑函数式的形式,逻辑函数常用表达式有哪些？,1)与或式转换成或与式,分配律:,分配律:,冗余定理:,2)
11、与或式转换成与非式,非非律:,摩根定理:,3)与或式转换成或非式,首先,应将原式转换为或与式,分配律:,分配律:,冗余定理:,非非律:,摩根定理:,4)与或式转换成与或非式,首先,应写出或非表达式,分配律:,分配律:,冗余定理:,非非律:,摩根定理:,小结:,与或式,或与式,分配律 冗余定理,或非式,非非律 摩根定理,与或非,摩根定理,非非律 摩根定理,与非式,2.5 逻辑函数表达式的标准形式,2.5.1 最小项和最小项标准表达式,最小项定义,在一个逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项。乘积项中的变量只能以原变量或反变量的形式出现一次。,对于1个变量A来说：,A、,对于2个变量A、B来说
12、：,由于一个变量只有两种形式，所以，n个变量的逻辑函数共有2n个最小项。,对于3个变量A、B、C来说：,m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7,ABC,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,三变量最小项的真值表,ABC,性质1 每一个最小项唯一地与变量的一组取值相对应，且只有该组取值才使其为1。,m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7,ABC,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,三变量最小项的真值表,ABC,性质2 所有最小项的逻辑和为1；记为：,m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7,ABC,1,0,0,1,0,0
13、,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,三变量最小项的真值表,ABC,性质3 任意两个不相等的最小项的逻辑乘为0，即:,相邻项：,指只有一个变量为互补，其余所有变量均相同的两个最小项。,A.B.C的相邻项：,对于n个变量的逻辑函数,每个最小项均有n个相邻项。,任何两个相邻项均可合并成一项并消去一个互补因子。,2.5.2 最小项标准表达式,由最小项组成的与或逻辑表达式，称为标准与或表达式，也称为最小项标准表达式。,+,+,+,+,+,=,m3,m1,m5,m4,+,+,+,=,m(1,3,4,5),011,001,101,100,从函数的真值表中直接写出的与或逻辑表达式就是最小项标准表达式。,
14、一、卡诺图画法,有n个变量的逻辑函数共有 个最小项.,2n,如果把每个最小项用一个小方格表示,再将这些小方格以循环码顺序排列（即满足最小项按相邻项排列），就可以构成n个变量的卡诺图。,(1)二变量卡诺图的画法：,2个变量的逻辑函数共有 个最小项.,4,那么，需 个方格,4,AB,A,B,A,B,A,B,0,1,2,3,2.7逻辑函数的卡诺图化简法,(2)三变量卡诺图的画法：,23,那么需 个方格,23,A,BC,0,1,00,01,11,10,A,ABC,0,1,3,2,4,5,7,6,(3)四变量卡诺图的画法：,3个变量的逻辑函数共有 个最小项.,4个变量的逻辑函数共有 个最小项.,24,那
15、么需 个方格,24,AB,CD,00011110,00 01 11 10,0,1,3,2,4,5,7,6,12,13,15,14,8,9,11,10,A,B,C,D,A,B,C,三变量卡诺图,C,A,B,0,0,1,0,0,1,1,1,二、卡诺图表示逻辑函数卡诺图表示最小项标准表达式 将逻辑函数中的出现的最小项按标号以“1”填入卡诺图的对应方格，其余格（即没有出现的最小项）填“0”,=m1+m2+m5+m7,=m（1，2，5，7）,首先，看逻辑函数中有几个逻辑变量？,3,那么，三个逻辑变量的卡诺图需几个方格？,23,0,1,3,2,4,5,7,6,1,1,1,1,0,0,0,0,每个乘积项包含
16、组成函数的全部变量,将一般与或式用卡诺图表示,一般与或式是相对于最小项标准表达式而言,第一种方法：将一般与或式展成最小项标准表达式。,=m（2,5,6,7）,0,1,3,2,4,5,7,6,1,1,1,1,第二种方法：观察法,指AB=1即A,B同时为1,A,B,C,1,1,（3）由卡诺图求逻辑函数表达式,A,B,C,F=m（2，5，6，7）,+ABC,（4）由卡诺图求反函数,三、利用卡诺图化简逻辑函数,例如：化简F=m（0,2,4,5,7,8,10,12)为最简与或式,化简步骤:1、将函数表示在卡诺图上；,2、以2n个相临“1”方格画圈合并最小项，将每个圈所统辖的公共变量写成与项；,0,1,3
17、,2,4,5,7,6,12,13,15,14,8,9,11,10,A,B,C,D,1,1,1,1,1,1,1,1,“两个最少”原则：1、变量最少原则：包围圈尽可能的大，但变量的个数必须是2n;与中轴线对称的小方格也是相邻项。2、与项最少原则：包围圈的数量最少，画圈时应该使每个包围圈至少包含一个没被包围过的方格。,对不对？,F=,用卡诺图化简下列函数为最简与或式,1）F1=m（1,3,6,7,10,11,13,15),1,1,1,1,1,1,1,1,A,B,C,D,F1=,+ABD,2）F2=m（3,4,5,7,8,9,13,14,15),A,B,C,D,1,1,1,1,1,1,1,1,1,对不
18、对？,+BD,+ABC,3）F3=m（0,1,5,7,8,10,14,15),A,B,C,D,1,1,1,1,1,1,1,1,F3=,+ABC,A,B,C,D,0,0,F4=,=A+B+C,“1”多“0”少时可圈“0”所得函数为反函数,A,B,C,D,F5=,AD,四、具有无关项的逻辑函数化简,输入变量的某些组合在外部条件下不会出现或对输出无影响的项。通常用（）或D（）来表示。,对具有无关项的逻辑函数，在用卡诺图进行逻辑函数化简时，对任意项的小方格既可以作1处理，也可作0处理,应视具体要求而定。,MS=C+AB,ML=B,例如：利用无关项化简下列逻辑函数为最简与或式：1、P=m(1,2,9,1
19、4)+(0,5,7,8,10,12,15),A,B,C,D,1,1,1,1,P=,A,B,C,D,1,1,1,1,1,1,五、卡诺图的运算,1、判断逻辑函数相等,卡诺图完全相同,2、卡诺图的或运算：,A,B,C,1,1,1,1,将对应小方格中的值求逻辑和,3、卡诺图的与运算：,.,A,B,C,1,1,将对应小方格中的值求逻辑乘,A,B,C,1,1,将对应小方格中的值相异或,4、卡诺图的异或运算：,例:X=AB+BC+CD+AD Y=AB+BD+BD+AC Z=ABD+ACD 试用卡诺图求:P=XY,A,B,C,D,1,A,B,C,D,1,1,1,1,1,例:X=AB+BC+CD+AD Y=AB+BD+BD+AC Z=ABD+ACD 试用卡诺图求:P=XY F=P+Z H=P.Z,A,B,C,D,
