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1、第六节 线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,二、非齐次线性方程组解的结构,所谓解的结构 就是解与解之间的关系。,下面我们将证明，虽然在这时有无穷多解,但是全部的解都可以用有限多个解表示出来.,这就,是本节要讨论的问题和要得到的主要结果.,一、齐次线性方程组解的结构,设有齐次线性方程组,它的解是一个 n 维向量，称之为解向量，,所有解构成的集合，称之为解集.,由它的,1.解的性质,方程组(1)有下面两个重要性质：,性质 1 两个解的和还是方程组的解.,证明,设(k1,k2,kn)与(l1,l2,ln),是方程组(1)的两个解，则有,把两个解的和,(k1+l1,k2+l2,kn+ln)
2、(2),代入方程组，得,这说明(2)确实是方程组的解.,证毕,性质 2 一个解的倍数还是方程组的解.,证明,设(k1,k2,kn)是方程组(1)的一,个解，c 为一常数，因为,所以(ck1,ck2,ckn)是方程组(1)的解.,证毕,2.基础解系的定义,定义 19 齐次线性方程组(1)的一组解 1,2,t 称为(1)的一个基础解系，如果,1)(1)的任一解都能表成 1,2,t 的线性,组合；,2)1,2,t 线性无关.,3.基础解系的存在性与求法,齐次线性方程组的基础解系的存在性由下面的,定理给出.,定理 8 在齐次线性方程组有非零解的情形下,它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于,n-r
3、，这里 r 表示系数矩阵的秩(以下将看到 n-r,也就是自由未知量的个数).,定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的,方法.,证明,设方程组(1)的系数矩阵的秩为 r，不,妨设左上角的 r 级子式不等于零.,于是按上一节最,后的分析，方程组(1)可以改写成,如果 r=n，那么方程组没有自由未知量，方程,组(3)的右端全为零.,这时方程组只有零解，当然,也就不存在基础解系.,以下设 r n.,我们知道，把自由未知量的任意一组值(cr+1,cr+2,cn)代入(3)，就唯一地决定了方程(3),也就是方程组(1)的一个解.,换句话说，方程组(1),的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个,解就
4、完全一样.,特别地，如果在一个解中，自由未,知量的值全为零，那么这个解一定是零解.,因此，为了求方程组(1)的 n-r 个不同的解，,在(3)中，令自由未知量 xr+1,xr+2,xn 取下列,n-r 组数：,于是就得出方程组(3),也就是方程组(1)的 n-r 个,解：,下面来证明，(5)就是一个基础解系.,首先证明,1,2,n-r 线性无关.,事实上，如果,k11+k22+k n-rn-r=0,即,k11+k22+k n-rn-r,=(*,*,k1,k2,kn-r),=(0,0,0,0,0).,比较最后 n-r 个分量，得,k1=k2=kn-r=0.,因此，1,2,n-r 线性无关.,再证
5、明方程组(1)的任意一个解都可以由1,2,n-r 线性表出.,设,=(c1,cr,cr+1,cr+2,cn)(6),是方程组(1)的一个解.,由于1,2,n-r 是(1),的解，所以线性组合,cr+11+cr+22+cnn-r(7),也是(1)的一个解.,比较(7)和(6)的最后 n-r 个分,量得知，自由未知量有相同的值，从而这两解完全,一样，即,这就是说，任意一个解 都能表成1,2,n-r,的线性组合.,综合以上两点，我们就证明了1,2,n-r 确为方程组(2)的一个基础解系，因而齐,次线性方程组的确有基础解系.,证明中具体给出的,这个基础解系是由 n-r 个解组成.,至于其他的基础,解系
6、，由定义，一定与这个基础解系等价，同时它,们又都是线性无关的，因而有相同个数的向量.,证毕,=cr+11+cr+22+cnn-r(8),由基础解系的定义，可得出下面重要结论：,任何一个线性无关的与某一个基础解系等价,的向量组都是基础解系.,=k11+k22+kn-rn-r,设 1,2,n-r 是齐次线性方程组(1)的,基础解系，则称,是齐次线性方程组(1)的一般解.,齐次线性方程组的一般解,二、非齐次线性方程组解的结构,1.非齐次线性方程组与其导出组,设有非齐次线性方程组,若令 b1=b2=bs=0，就得到齐次方程组(1).,方程组(1)称为方程组(9)的导出组.,方程组(9)的解与它的导出组
7、(1)的解之间有密,切的关系：,1)线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组,(1)的解.,证明,设(k1,k2,kn)与(l1,l2,ln),是方程组(9)的两个解，则有,它们的差是(k1-l1,k2-l2,kn-ln).,显然有,这就是说，(k1-l1,k2-l2,kn-ln)是导出组(1),的一个解.,2)线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1),的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.,证明,设(k1,k2,kn)是方程组(9)的一,个解，即,又设(l1,l2,ln)是导出组(1)的一个解，即,显然,证毕,3.非齐次线性方程组解的结构,定理 9 如果 0 是方程组(9)的一个特解，那
8、,么方程组(9)的任一个解 都可以表成,=0+，(10),其中 是导出组(1)的一个解.,因此，对于方程组,(9)的任一个特解 0，当 取遍它的导出组的全部,解时，(10)就给出(9)的全部解.,证明,显然,=0+(-0)，,由上面的 1)，-0 是导出组(1)的一个解，令,-0=，,就得到定理的结论.,既然(9)的任一个解都能表成,(10)的形式，由 2)在 取遍(1)的全部解的时候，,=0+,就取遍(9)的全部解.,证毕,非齐次线性方程组的一般解,=0+k11+k22+kn-rn-r,设 0 是非齐次线性方程组的一个特解，1,2,n-r 是它的导出组的一个基础解系，则它,的任一个解 可表示
9、为,称之为非齐次线性方程组的一般解.,由定理 9 容易得出以下推论：,推论 在非齐次线性方程组有解的条件下，解,是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解.,证明,充分性,如果方程组(9)有两个不同的,解，那么它的差就是导出组的一个非零解.,因此，,如果导出组只有零解，那么方程组有唯一解.,必要性,如果导出组有非零解，那么这个解,与方程组(9)的一个解(因为它有解)的和就是(9),的另一个解，也就是说，(9)不止一个解.,因之，,如果方程(9)有唯一解，那么它的导出组只有零解.,证毕,例 1 求非齐次线性方程组,例 2 设线性方程组,讨论方程组的解的情况与参数 a,b 的关系，有解时,求其解.,
