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1、第九章圆锥曲线与方程,第一课时椭圆的定义与方程,知识梳理,一、椭圆的定义平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a 的点的轨迹叫做_，即点集MP|PF1|PF2|2a,2a|F1F2|是椭圆；其中两定点F1，F2叫_，定点间的距离叫_(2a 时，点的轨迹为线段F1F2,2a 时，无轨迹),答案：椭圆焦点焦距,二、椭圆的标准方程焦点在x轴上：1(ab0)；焦点在y轴上：1(ab0)三、点P(x0，y0)和椭圆 1(ab0)的关系1点P(x0，y0)在椭圆外_；2点P(x0，y0)在椭圆上_；3点P(x0，y0)在椭圆内_.,答案：三、1.12.13.1,基础自测,1(2011年上海闸北区模拟
2、)设P是椭圆 1上的点若F1，F2是椭圆的两个焦点，则 等于()A4B5C8 D10,解析：由椭圆的第一定义知 2a10.答案：D,2(2012年北京海淀区模拟)已知椭圆 1，长轴在y轴上若焦距为4，则m等于()A4 B5 C7 D8,解析：由题意得m210m且10m0，于是6m10，再有(m2)(10m)22，得m8.答案：D,3(2012年盐城模拟)已知F1、F2为椭圆 1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若 12，则 _.,解析：依题直线AB过椭圆的左焦点F1，在F2AB 中，|F2A|F2B|AB|4a20，又|F2A|F2B|12，|AB|8.答案：8,4已知方程 1表示椭
3、圆，则k的取值范围为_,答案：,椭圆 1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则(O为坐标原点)的值为()A4B2C8D.思路分析：涉及椭圆上的点到焦点的距离时，通常可以根据定义进行转化,解析：如右图所示，设椭圆的另一个焦点为F2，由椭圆的定义得 2a10，所以又因为ON为MF1F2的中位线，所以故答案为A.答案：A,点评：椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即 2a，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离,变式探究,1(2011年福州模拟)已知ABC的顶点B、C在椭圆 y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2 B6 C4 D1
4、2,解析：(数形结合)由椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得ABC的周长为4a4，所以选C.答案：C,一动圆与已知圆O1：(x3)2y21外切，与圆O2：(x3)2y281内切，试求动圆圆心的轨迹方程,解析：两定圆的圆心和半径分别为O1(3,0)，r11；O2(3,0)，r29.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件可得|MO1|1R，|MO2|9R.|MO1|MO2|10|O1O2|6.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a5，c3.b2a2c225916，故动圆圆心的轨迹方程为 1.,变式探究,2椭圆 1的左、右焦点分别为F1和F2，点P在椭
5、圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的_倍,7,设F1，F2是椭圆 1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|43，求PF1F2的面积思路分析：由椭圆方程可求出2a与2c，且由|PF1|PF2|43知可求出|PF1|，|PF2|的长度，从而可求三角形的面积解析：由于|PF1|PF2|7，且|PF1|PF2|43，得|PF1|4，|PF2|3，又|F1F2|2c2 5，显然|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以PF1F2是以PF1，PF2为直角边的直角三角形，从而所求PF1F2的面积为S|PF1|PF2|436.,点评：本题运用了椭圆的定义来解题椭圆定义是
6、用椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和来描述的，定义中|PF1|PF2|2a|F1F2|.定义能够对一些距离进行相关的转化，简化解题过程因此在解题过程中，遇到涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够使椭圆的定义来解决,变式探究,3已知点A(3,0)，B(2,1)是椭圆 1 内的点，M是椭圆上的一动点，试求|MA|MB|的最大值与最小值,解析：易知A点为椭圆的右焦点，设左焦点为F1，由a225，知|MF1|MA|10，因此|MA|MB|10|MB|MF1|，连结BF1并延长BF1交椭圆于C，反向延长BF1交椭圆于D；当M位于C点时，|MB|MF1|最大，当M位于D点时|MB|MF1|最小
7、，计算得最大值为10，最小值为10.,(1)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且 cos OFA.则椭圆方程为_(2)设A(2,0)，B(2,0)，ABC的周长为10，则动点C的轨迹方程为_解析：(1)椭圆的长轴长是6，且cos OFA，点A不是长轴的端点|OF|c，|AF|a3，c2，b25.椭圆方程是 1，或 1.(2)因为|AB|4，所以|AC|CB|6(4)，由椭圆的定义知点C的轨迹是椭圆，其中a3，c2，b，但点C、A、B不能共线，因此y0.,动点C的轨迹方程为：1(y0)点评：(1)求椭圆的标准方程关键是确定a，b的值；(2)由
8、椭圆的一个短轴端点，一个焦点，中心O为顶点组成的直角三角形在求解椭圆问题中经常用到；(3)注意利用椭圆的定义解题，常常会起到事半功倍的效果,变式探究,4椭圆的对称轴在坐标轴上，长轴是短轴的2倍，且过点(2,1)，则它的方程是_,答案：,已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 和，过点P作长轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程思路分析：由题设条件设出椭圆的标准方程，求出焦距与长轴长是求解本题的关键因椭圆的焦点位置未明确在哪个坐标轴上，故应有两种情况解析：设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|PF1|，|PF2|，由椭圆的定义知2a|PF1|PF2|2，即a，由|PF1
9、|PF2|知PF2垂直于长轴所以在RtPF2F1中，4c2|PF1|2|PF2|2，所以c2，于是b2a2c2，,又由于所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为点评：求椭圆的标准方程，需要一个定位条件和两个定形条件，通常采用待定系数法解决椭圆中有“六点”(即两个焦点与四个顶点)、“四线”(即两条对称轴与两条准线)，因此在解题时要注意它们对椭圆方程的影响，如在求椭圆的标准方程时，当遇到焦点位置不确定时，应注意有两种结果,变式探究,5已知三点P(5,2)、F1(6,0)、F2(6,0)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程,解析：由题意，可设所求椭圆的标准方程为 1(
10、ab0)，其半焦距c6.2a|PF1|PF2|a，b2a2c245369，故所求椭圆的标准方程为 1.,分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)焦点在坐标轴上，且经过两点P、Q；(2)经过点(2，3)且与椭圆9x24y236具有共同的焦点思路分析：对于(1)，由题设条件不能确定椭圆的焦点在哪一坐标轴上，因此应分别设出焦点在x轴、y轴上的标准方程，进行讨论求解；或采用椭圆方程mx2ny21(m0，n0，且mn)直接求解，避免讨论；对于(2)由于椭圆9x24y236的焦点坐标为，因而可设所求的椭圆方程为 1(0)，再由题设条件确定的值即可,解析：(1)解法一：当所求椭圆的焦点在x轴上时，设它的标
11、准方程为 1(ab0)，依题意应有，解得，因为ab从而方程组无解；当所求椭圆的焦点在y轴上时，设它的标准方程为 1(ab0)，,依题意应有，解得，所以所求椭圆的标准方程为=1.解法二：设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，依题意得，解得，从而所求椭圆的标准方程为 1.,(2)因为椭圆9x24y236的焦点坐标为(0，)，从而可设所求的椭圆的方程为 1(0)，又因为经过点(2，3)，从而得 1，解得10或2(舍去)，故所求椭圆的标准方程为：1.点评：由于题(1)中的椭圆是唯一存在的，为了运算方便，可设其方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，而不必考虑焦点的位置，直接求得椭
12、圆的方程；题(2)中椭圆9x24y236变形为 1，其焦点坐标为F1，F2，所设的方程 1(0)是具有共同焦点的F1，F2 的椭圆系方程遇到与本题类似的问题，我们可以采用类似的方法来求解椭圆的方程另外本题还可以设方程,等解决一般说来，与椭圆 1(ab0)具有相同焦点的椭圆方程可设为 1(min(m，n)，其中|mn|c2.本题实质上运用的也是待定系数法,6(2010年辽宁卷)设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果，求椭圆C的方程,解析：(1)设焦距为2c，由已知可得
13、F1到直线l的距离 c，故c2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，y20，直线l的方程为y(x2)联立得(3a2b2)y24b2y3b40.解得y1，y2.因为，所以y12y2.,即得a3.而a2b24，所以b.故椭圆C的方程为 1.,1本课时重点是椭圆的定义、标准方程；难点是理解参数a、b、c的关系及利用定义解决问题关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用2思维方式：待定系数法与轨迹方程法3椭圆的定义是解决问题的出发点，如果运用恰当可收到事半功倍之效,4特别注意(1)椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F
14、1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在(2)椭圆标准方程中两个参数a和b确定了椭圆的形状和大小两种标准方程中，总有ab0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型，并且椭圆的焦点总在长轴上；a、b、c的关系是c2a2b2；在方程Ax2By2C中，只要A、B、C同号且AB，就是椭圆方程,2(2010年福建卷)若点O和点F分别为椭圆 1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 的最大值为()A2B3C6D8,解析：由题意，F(1,0)，设点P(x0，y0)，则有 1，解得，因为，所以，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x02，因为2x02，所以当x02时，取得最大值 236，故选C.答案：C,祝,您,学业有成,
