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1、竞赛中的直线与圆1.两点距离例1:(2023年全国中学数学联赛浙江初赛试题)设x“yk(k=l,2,3)均为非负实数,则J(2007-力-力尸+W+73+2+V,2+xi+Jy:+(X】+必+啊产的最小值为.解析：类题：1 .(1)(2023年全国中学数学联赛试题)若实数x,y满足(x+5)2+(yT2)J142,则/+y，的最小值为.(2)(2023年全国中学数学联赛湖南初赛试题)若实数x,y满足(x+2)z+(y-5)9,则(XT),(yT),的最大值为.2 .(2023年全国中学数学联赛试题)在平面直角坐标系内，有四个定点A(-3,0),8(1,-1)3(0,3),口(-1,3)及一个动
2、点巳则PA+PB+PC+PD的最小值为一.3 .(1)(2023年全国中学数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=J+2x+2+Jf一2+2的最小值是.(2)(2023年台湾高校(对澳门地区)试题)设f(x)=J-2x+52-4x+I3,则f(x)的最小值为.4 .(2023年全国中学数学联赛安徽初赛试题)设a是正数,若f(x)=+yx2+2ax+5a2(xR)的最小值为10,贝IJa=.5 .(1)(2023年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)函数y=TTMG-庐不Q达到最大值时,x的值是.(2)(2023年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)当xR时,函数y=J+2+o-J2-+o(
3、)（八）没有最大值和最小值(B)有最大值,没有最小值(C)没有最大值,有最小值(D)有最大值和最小值6 .(1)(1992年全国中学数学联赛试题)函数f(x)=J-32-6x+13-Jd-1+的最大值是.(2)(2023年全国中学数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=77工7工-京GT7的最大值是.2 .直线问题例2:(1988年全国中学数学联赛试题)在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点.我们用I表示全部直线的集合,M表示恰好通过一个整点的直线的集合,N表示不通过任何整点的直线的集合,P表示通过无穷多个整点的直线的集合,那么表达式:MUNUP=I;N0;M#0:PW0.中正确的个数是()（
4、八）I(B)2(03(D)4解析：类题：1. (1987年全国中学数学联赛上海初赛试题)若直线(a-l)y=(3a+2)-l不通过其次象限(xO),则a的取值范围是.2. (1997年全国中学数学联赛上海初赛试题)在直角坐标系中,过点(1,2)且斜率小于0的直线中,它在两坐标轴上的截距之和最小的直线的斜率为.3. (2023年全国中学数学联赛吉林初赛试题)已知P(2,1),过点P作直线1与X轴、y轴正半轴分别交于A、B两点,则使AOB(O为坐标原点)的周长最小的直线1的方程是4. （2000年全国中学数学联赛试题）平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=gx+5的距离中的最小值是.5.
5、（1999年全国中学数学联赛试题）已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角，那么,这样的直线的条数是.6. （2023年安徽高考试题）（理）在平面直角坐标系中,假如X与y都是整数,就称点（x,y）为整点,下列命题中正确的是（写出全部正确命题的编号）.存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;假如k与b都是无理数,则直线y=kxb不经过任何整点;直线1经过无穷多个整点，当且仅当1经过两个不同的整点;直线y=kxb经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理数;存在恰经过一个整点的直线.3 .直线方程
6、例3：（2023年全国中学数学联赛广东初赛试题）若点（1,1）到直线Xcos+ysina=2的距离为d,则d的最大值是.解析：类题：1. （1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛（高二）m是随意实数，0是给定的实数，由关于X和y的方程x=3+a+m2）8s0y=l+（l-2）sin确定的动点（x,y）在平面直角坐标系内对应的图形是.2. （2023年全国中学数学联赛陕西初赛试题）己知0k4,直线L:kx-2y-2k+8=0和直线L2x+ky4kZ-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使这个四边形面积最小的k的值为.3. （2023年全国中学数学联赛河南初赛试题）当取遍全体实数时,直线XCoS0
7、+ysin=4+2sin（+工）所闱成的图形4的面积是.4. （2023年江西商考试题）设直线系M:xcos+（y-2）sin=1（02n）.对于下列四个命题:存在一个圆与全部直线相交;存在一个圆与全部直线不相交;存在一个圆与全部直线相切;M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的代号是（写出全部真命题的代号）.4 .位置关系例4：（2023年其次十届“希望杯全国数学邀请赛（高二）试题）己知直线l,x+2y-4=0,直线M2a-y+l=0和坐标轴围成的四边形有外接圆,则a的值等于.解析：类题：1.（2023年全国中学数学联赛吉林初赛试题）已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为（m+l
8、）x+y-2=0和4m2+（m+l）y-4=0.贝际的值为.2. （1987年上海商考试题）若直线L:ax+2y+6=0与直线lx+（aT）丫+（录-1）=0平行但不重合,则a等于（）（八）T和2（B）T（C）2（D）-33. （2023年全国中学数学联赛福建初赛试题）若直线LM2m+l）-4y+3m=0与直线Wx+（m+5）y-3m=0平行,则m的值为一.4. （1988年全国中学数学联赛试题）已知直线1:2x+y=0,过点（T0,0）作直线mil,则m与1的交点坐标为.5. （2023年上海春招试题）在AABC中,若IgsinAJgsinBJgsinC成等差数列,则直线xsin2A+ysi
9、nA=a与直线xsin2B+ysinC=c的位置关系是（）（八）平行（B）垂直（C）重合（D）相交不垂直6. (2023年全国I高考试题)若直线m被两平行直线lt-y+l=0与L-y+3=0所截得的线段的长为20,则m的倾斜角可以是:15;30;45;60;75.其中正确答案的序号是(写出全部正确答案的序号).5 .轴对称性例5：(2023年全国中学数学联赛江西初赛试题)抛物线丫=2(上两点八凤,y.),B(x2,九)关于直线y=x+m对称,若2x3=T,则2m的值是.解析：类题：1. (2023年全国中学数学联赛黑龙江初赛试题)一束光线从点A(T,1)发出并经X轴反射,到达圆(-2)(y-3
10、)2=l上一点的最短路程是.2. (1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在平面直角坐标系内，从点P(5,2)发出的光线射向X轴,经X轴反射后射到直线y=x上,被反射后恰好经过点Q(10,9),光线由P到Q走过的路程的长等于.3. (2023年全国中学数学联赛天津初赛试题)已知点A(m,n)在直线x+3y=41上,其中0n0)关于直线h6xny-5=0对称,则m+n=_.(2)(2023年全国中学数学联赛湖南初赛试题)一张坐标纸对折一次后,点A(OJ)与点B(8,0)重叠.若点C(6,8)与点D(m,n)重叠，则m+n=.5. (2023年北京高考试题)过直线y=x上的一点作圆
11、(x5)2+(y)2=2的两条切线hh当直线1口关于y=x对称时,它们一之间的夹角为()（八）300(B)45o(C)6Oo(D)9Oo6. (2023年四川高考试题)已知抛物线y=-3上存在关于直线x+y=O对称的相异两点A、B,则ABl等于()（八）3(B)4(C)32(D)42解析：6.平面区域例6：(1994年全国中学数学联赛试题)已知有线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(-1,1)和(2,2),若直线l:x+my+m=0与PQ的延长线相交,则m的取值范围是.解析：类题：1.(1)(1997年全国中学数学联赛上海初赛试题)已知两直线x-y=2与cx+y=3的交点在第一象限,则实数C的
12、取值范围是(2)(2023年全国中学数学联赛黑龙江初赛试题)已知直线y=kx2k+l与直线y=-lx+2的交点位于第一象限，则实数k的2取值范围是.(3)(2023年天津高考试题)若过定点M(T,0)且斜率为k的直线与圆x4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是()（八）0k5(B)-后k0(C)0kB(D)0k00x3x-0(B) .x+yO OwXW3-j0(C) x + y0 Ox3(D)x-y0 x + yO 0x3x+j-ll04 .(1)(2023年北京高考试题)设不等式组3x-y+3之0,表示的平面区域为D,若指数函数y=a的图像上存在区域D上的点,5x-3+
13、90则a的取值范围是(A(l,3(B)2,3(C)(l,2(D)3,+)3x-y-60(2023年山东高考试题)设X,y满足约束条件x-y+220,若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为12,则2+：的abxQ.yQ最小值为()(C)(D) 4（八）与65 .(2023年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若2x+y21,u=yZ-2y+x+6x,则U的最小值等于.(2)(2023年全国中学数学联赛福建初赛试题)假照实数X,y满足3x+2y-l0,那么u=x2+y2+6-2y的最小值是.6 .(1)(2023年江苏高考试题)在平面直角坐标系XOy中,己知区域A=(x,y)x
14、+y1,则平面区域B=(x+y,xy)(x,y)IX0,y0A的面积为()11（八）2(B)I(C)2(D)Zx0(2)(2023年浙江高考试题)若a20,b20,且当(y0时,恒有ax+byWl,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的x+y面积是()（八）-j(B)7(C)I(D)J(3)(2023年全国中学数学联赛浙江初赛试题)在平面区域(x,y)Ilxl1,yWl上恒有ax-2by2,则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为.7.线性规性例7：(2023年全国中学数学联赛浙江初赛试题)设实系数一元二次方程x2+ax+2b-2=0有两个相异实根,其中一根在区间(0,D内，另一根
15、在区间(1,2)内，则分的取值范围是.解析：类题：1.（1）（2023年全国中学数学联赛贵州初赛试题）设Z=X-y,式中变量X和y满足条件十:-3：0,则Z的最小值为.x-2yO2x+4（2）（2023年宁夏、海南高考试题）设x,y满足卜则z=x+y（）x-2y2（八）有最小值2,最大值3（B）有最小值2,无最大值（C）有最大值3,无最小值（D）既无最小值也无最大值2 .（1）（2023年湖南高考试题）己知D是由不等式组齐一2y所确定的平面区域,则圆2+2=4在区域D内的弧长为.+3jOx2（2）（2023年全国中学数学联赛辽宁初赛试题）平面上满足约束条件A+yO的点（x,y）形成的区域为D,
16、区域D关于-y-100直线y=2x对称的区域为E,则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为.y03 .（1）（2023年全国中学数学联赛江苏初赛试题）已知3x-y0,则/+/的最大值是.X+3y-30（2）（2023年福建高考试题）（理）若实数X,y满足六一）+,则上的取值范围是.xOXx+yl4 .（2023年陕西高考试题）若x,y满足约束条件x-y-l,目标函数z=ax+2y仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范2x-y2围是.X-y+60（2）（2023年全国中学数学联赛辽宁初赛试题）已知x、y满足x+yO.若2=*+丫的最大值为32+9,最小值为3-3,则x3的取值范围是.5 .（
17、1）（1994年全国中学数学联赛上海初赛试题）设a,b是实数,二次方程XLax+b=O的一根属于区间-1,1,另一根属于区间1,2,则a-2b的取值范围为.（2）（2023年全国中学数学联赛陕西初赛试题）已知实系数一元二次方程（l+a）x+a+b+l=0的两个实根为X”X2,且0x1lx2,则2的取值范围是.a6 .（2023年四川高考试题）设等差数列&,的前n项和为SM若SB10,Ss15,则&田勺最大值为.（2023年全国II高考试题）己知函数f（x）=ga3-bx（2-b）x+I在x=x处取得极大值,在x=x处取得微小值且0xX22.则z=a+2b的取值范围是.8.特殊区域例8：（202
18、3年全国中学数学联赛湖北初赛试题）对切满足x+y这1的实数x,y,不等式2-3y+2+y-l+2y-2-3a恒成立,则实数a的最小值为.解析：类题：1.（I）（1982年全国中学数学联赛试题）由方程|xl+y11=1确定的曲线所围成的图形的面积是(1995年第六届“希望杯”全国数学遨请赛(高二)试题)设常数aNO,则“|x|+|y|Na是xy?Na?的()（八）必要不充分条件(C)充分不必要条件(B)充要条件(D)不充分也不必要条件2.(1)(2023年全国中学数学联赛黑龙江初赛试题)当乂,丫满足条件|乂|+|O,B=(x,y)IIxy+l=x+y|).若AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合
19、,则a的值为.(2)(1994年全国中学数学联赛上海初赛试题)在直角坐标系中，满足卜2+/-4x-6,4()的点(,y)所构成的区域的x-2+y-33面积是.4 .(1)(1986年全国中学数学联赛上海初赛试题)设a为正数,而A=(x,y)x2+y2lB=(x,y)Ix+2yWa是XoY平面内的点集,则A是B的子集的一个充分必要条件是()（八）a=2(B)aN3(C)a3(D)a5(2)(1994年全国中学数学联赛试题)在平面直角坐标系中，方程良1+史=1(a,b是不相等的两个正数)所代表的曲线是()（八）三角形(B)正方形(C)非正方形的长方形(D)非正方形的菱形5. (1)(1991年其次
20、届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)集合M=(x,y)x-6+y+12=-12+2y+3=15,x,yR中的元素的个数是.(2)(1988年全国中学数学联赛试题)平面上有三个点集M,N,P.M=(x,y)x+yl,N=(x,y)(x-lf+(y+l)2J(+)2+(y-)222),P=(,y)11+yI1,xl,Iyll).KJuq的面积为.kn10.直线与圆例10：(2023年全国中学数学联赛试题)己知直线l:x+y-9=o和圆L22+2yJ8-8yT=0.点A在直线1上,B,C为圆M上两点,在AABC中，ZBAC=450,AB过圆心M,则点A的横坐标的范围为.解析：类题：1.(1)(1
21、991年全国高考试题)圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+l=O的距离为2的点共有()（八）I个(B)2个(C)3个(D)4个(2)(2023年湖南高考试题)若圆x2+-4-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线1:ax+by=O的距离为24，则直线1的倾斜角0的取值范围是()（八）A,(B)二，红(C)JU(D)0,12412126322.(2023年江苏高考试题)在平面直角坐标系xy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12-5y+c=0的距离为1,则实数C的取值范围是.(2)(2023年全国中学数学联赛河南初赛试题)若圆C:(-3)2=(y+5)2=/上有且只有两个
22、点到直线1M-3y=2的距离为1,则r的取值范围是.3(1)(2023年全国中学数学联赛黑龙江初赛试题)与圆(-2)z+V=l相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()条.(2)(2023年全国中学数学联赛陕西初赛试题)设圆x2+y2=l的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B,则ABl的最小值为，4. (1)(1992年第三届“希望杯”全国数学遨请赛(高二)试题)从动点P(x,3)向圆(x+2+(y+2)2=l引切线，则切线长度的最小值是.(2)(2023年湖北高考试题)由直线y=xl上一点向圆(-3+yJl引切线,则切线长的最小值为.(3)(2023年北京高考试题)己知P是直线3x+4y8=
23、0上的动点,PA.PB是圆x2+y2-2-2y+l=0的两条切线,A、B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值为.5. (2023年四川高考试题)若。0M+y2=5与。Or(xm)2+y2=20(mR)相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线相互垂直，则线段AB的长度是.6. (2023年全国中学数学联赛上海初赛试题)已知圆比(X-I)(y-3)2=4,过X轴上的点P(a,O)存在圆M的割线PAB,使得PA=BA,则点P的横坐标a的取值范围是.11.Bl形函数例11:(2023年全国中学数学联赛安徽初赛试题)若直线y=x+k与曲线X=Vik恰有一个公共点,则k的取值范围是一解析：类题：
24、1. (1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数y=-Q7(xl)的曲线长度是.2. (1)(2023年江西高考试题)若不等式G7Wk(x+1)的解集区间为a,b,且b-a=l,则k=.(2023年江西高考试题)若不等式内二3Wk(x+2)-五的解集区间为a,b,且b-a=2,则k=.(2023年全国中学数学联赛福建初赛试题)若直线k-y+3k-2=0与曲线y=QV有公共点,则k的取值范围是_.3. (1)(1988年广东高考试题)曲线y=l+山-q2WxW2)与直线y=k(x-2)+4有两个交点时,实数k的取值范围是()（八）(,(B)(A,+)(C)(i,(D)(0,A)
25、(2)(2023年湖北高考试题)若直线y=x+b与曲线y=3-Q7有公共点,则b的取值范围是()（八）-1,l+22(B)1-2拉，1+2板(C)1-22,3(D)1-,3(3)(2023年全国高考试题)不等式”.Fx的解集是()（八）(0,2)(B)+8)(C)4(D)(-8,0)U(2,+)4.(1)(2023年全国中学数学联赛湖南初赛试题)已知曲线亡丫=匚工元与直线1/+厂11)=0有两个交点,则m的取值范围是(2)(1988年全国中学数学联赛上海初赛试题)已知直线Ax+By+C=O(A、B为实常数,且ABD和曲线y=亚,它们相交于P、Q两点.若P、Q与点D(l,0)的连线的倾角为a、B
26、,则tan(a+B)=.5.(1)(2023年全国中学数学联赛吉林初赛试题)若关于X的方程W二工=logK-a)有正数解,则实数a的取值范围为.(2)(2023年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知直线Ly=-+m与曲线Uy=l+1河二仅有三个22交点,则m的取值范围是.6.(1)(2023年全国中学数学联赛吉林初赛试题)称横坐标为整数的点为“次整点”，过曲线y=痴二7上随意两个次整点作直线,则倾斜角大于30的直线条数为.(2)(2023年上海高考试题)将函数y=G二7-2(x0,6)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角(0)得到曲线C,若对于每一个旋转角0,曲线C都是一个函数的图像
27、,则的最大值是.12.构BJ解题例12 ： (2023年重庆高考试题)函数f(x) =3-2cosx-2sin.v(OwXW2 )的值域为(（八）一,0(B)-1,0(C)-2,0(D)-3,02解析:类题:1.(1)(1990年全国高考试题)假照实数X,y满足等式：(x-2)j+=3,则-的最大值为()X（八）I(B)立(C)立(D)3232(2)(2023年全国中学数学联赛四川初赛试题)己知关于x,y的方程组卜2+丁=2M仅有一组实数解,则符合条件的实数kkx-y=2k的个数是.2.(1)(2023年全国I高考试题)若直线2+；=1通过点M(CoSa,sina),则()()a2+b2l(C
28、WW/修力(2)(2023年其次十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知点P(CoSa,sin)在直线k=l上,且OPP(O为坐标原点)，贝M)（八）a+b=1(B)a2+b2=1(c)l+l=l(d)-L+-L=1aba2b23. (1)(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知定点A(l,3),B(3,3),点P在X轴上运动，当NAPB最大时,点P的横坐标是.(2023年全国中学数学联赛试题)在平面直角坐标系XOY中,给定两点M(T,2)和N(l,4),点P在X轴上移动，当NMPN取最大值时,点P的横坐标为.4. (1)(2023年全国II高考试题)在直角坐标平面
29、内，与点A(l,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有()（八）I条(B)2条(C)3条(D)4条(2)(2023年全国中学数学联赛湖南初赛试题)已知两点M(l,0),N(-3,0),到直线1的距离分别为1和3,则满足条件的直线1的条数是.(3)(2023年全国中学数学联赛浙江初赛试题)已知两点A(l,2),B(3,l)到直线L距离分别是亚，石-亚，则满足条件的直线1共有()（八）I条(B)2条(C)3条(D)4条5. (1)(2023年全国中学数学联赛河甫初赛试题)平面直角坐标系中，点集M=(x,y)I卜=Sina+S,ci,Br,则点集My=cosa+snp所覆盖的平面图形的面
30、积为.(2)(2023年重庆高考试题)函数f(x)=Snrc0x2)的值域是()5+4cos,（八）-il(B)I-4(C)-444332Z22(B)(D)-py6.(1)(1991年其次届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)以实数X,y为自变量的函数u(x,y)=x2+11-2xy+H庐了XiX的最小值是.(2)(1998年第九届“希望杯”全国数学遨请赛(高二)试题)二元函数6,6=-丫尸+&+,+1)2的最小值是.y(3)(2023年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)记F(x,y)=(x-y)z+(=+)2(y0),则F(x,y)的最小值2y是.13.参数方程例13:(202
31、3年全国中学数学联赛吉林初赛试题)代数式a6彳+b亚丁的最大值是.解析：类题：1. (2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知A(-1,-石)，0是坐标原点,线段OA在坐标平面内绕原点顺时针旋转,扫过的面积是殍，这时A点到达的位置A的坐标是.2. (1987年全国中学数学联赛上海初赛试题)当t取实数值变更时,用x=W,y=-r表示的点(x,y)表示的曲线是()（八）圆(B)不完整的圆(C)椭圆(D)不完整的椭圆3. (1)(1987年广东高考试题)假照实数x,y满足等式:x?+y2-2x+4y=0,则-2y的最大值为()（八）5(B)IO(09(D)5+25(2)(1999
32、年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)实数x,y满足方程x2+y2=6x-4y-9,则2-3y的最大值与最小值的和等于.4. (1988年全国中学数学联赛上海初赛试题)设a为实数,S0=(x,y)x=a+cos,y=-sin,R,若Ss(xty)x2+y2l,x,yR,P=(x,y)x2+y2t2,tR,t0,若PM=0,则t的取值范围是.14.轨迹问题例14：(2023年全国中学数学联赛河北初赛试题)已知0为坐标原点,B(4,0),C(5,0),过C作X轴的垂线,M是这垂线上的动点，以0为圆心,OB为半径作圆,MT,AS是圆的切线,则AMTE垂心的轨迹方程是解析:类题：1. （202
33、3年全国中学数学联赛浙江初赛试题）设P是圆x2+y2=36上一动点,A点坐标为（20,0）,当P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹方程为.2. （2023年全国I高考试题）由动点P向圆2+y2=l引两条切线PA、PB.切点分别为A、B,NAPB=60。,则动点P的轨迹方程为.3. （2023年天津商考试题）己知圆C的圆心与点P（21）关于直线y=x+l对称.直线3x+4y-ll=0与圆C相交于A、B两点，且IABl=6,则圆C的方程为.4. （2023年课标高考试题）过点A（4,1）的圆C与直线x-y-l=O相切于点B（2,1）.则圆C的方程为.5. （2023年全国中学数学联赛河南初赛试题
34、）动点M（x,y）满足J（X-Sina）2+（y-cosa）2=IXSina+ycos-1|（其中是常数），哪么点M的轨迹是.6. （2023年全国中学数学联赛上海初赛试题）一条长为4的线段AB在X轴正半轴上移动,另一条长为2的线段CD在y轴正半轴上移动,假如两条线段的4个端点A、B、C、D四点共圆,那么这个圆的圆心的轨迹是.15 .曲线系例15：（2023年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛（高二）试题）与圆（+/-4乂-8丫+15=0切于点八（3,6）,且过点B（5,6）的圆的方程是.解析：类题：1. （2023年上海高考试题）已知两个圆2+y2=l与2+（y3）2=l.则由式减去式可得上述
35、两圆的对称轴方程,将上述命题在曲线仍为圆的状况下,加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而己知命题应为所推广命题的一个特例,推广的命题为.2. （1991年其次届“希望杯”全国数学邀请赛（商二）试题）过圆2+y26y+l=0与圆2+y2-6x-6y+17=0的交点的直线方程可表示为.3. （2023年天津高考试题）若圆2+y2=4与圆2+y2+2ay-6=0（a0）的公共弦的长为2石，则a=.4. （1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛（高二）试题）从点A（-l,工）向圆42+4yJ8x第y-U=0作切线,则过切点2的弦的方程是.5. （2023年其次十二届“希望杯”全国数学邀请赛（高二）
36、试题）从直线1:：+5=1上的随意一点P作圆82+y2=8的两条切线,切点为A和B,则弦AB长度的最小值为.6. （2023年山东高考试题）与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=O都相切的半径最小的圆的标准方程是.16 .整点问题例161:（1990年全国中学数学联赛试题）在坐标平面上,横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点,对随意自然数n,连结原点0与点An（n,n+3）,用f（n）表示线段OAn上除端点外的整点个数,则f（l）+f（2）+f（1990）=.ff*f:类题:y3x1.(1995年全国中学数学联赛试题)直角坐标平面上,满足不等式组3yA-的整点个数是x+y10
37、02. (1996年全国中学数学联赛试题)在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为.3. (1999年全国中学数学联赛试题)平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(IXIT)Z+(IyIT)2的整点(x,y)的个数是()（八）16(B)17(C)18(D)254. (2023年全国中学数学联赛甘肃初赛试题)设x表示不超过实数X的最大整数,则在平面上，由满足xr+y=50的点所形成的圆形的面积是.5. (2023年全国中学数学联赛试题)双曲线x(，3则点集22AB中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为.3. (2023年重庆高考试题)亶线y=3 x+后与圆心为D的圆卜=石+ fcos63 y=l + 3sin(0 0,2 )交与A、B两点,则直线AD与竞赛中的直线与圆中学联赛中的向量问题具有纯粹性，着重于对向量本质特征一“数形二重性”的考察，须要充分挖掘蕴含的几何本质.
