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1、預測模型,謝邦昌 蔣妍 江志民輔仁大學統計資訊學系中國人民大學統計學系,預測,鑒往知來通古博今掌握趨勢,預測模型,迴歸模型 Regression Model時間數列模型 Time Series,迴歸分析,迴歸分析就是統計分析,分析兩個或兩個以上關係的相互變化統計方法根據。迴歸分析可經由另外一個變數之數值或另外多個變數以上之數值來加以分析預測。因果關係例：銷售量與廣告費用之間的變化關係,迴歸模型,迴歸預測模型,簡單線性迴歸 Simple Linear Regression多元線性迴歸 Multiple Linear Regression廣義線型模式 GLM(function relation),
2、迴歸分析目的,1.敘述(description)：例:節目製作費用與收視率之關係(了解變數之關係)2.控制(control)：例:商品價格與需要量之關係,故控制價格,控制需要量(以價制量)3.預測(prediction)：例:製作費與收視率之關係(可預估收視率),實例研究一年齡與血壓（簡單線性迴歸）,今欲研究成人年齡與血壓之間是否呈線性關係，調查10位男性之年齡與血壓如下：,實例研究二膽固醇預測研究（多元線性迴歸）,有位醫生想要探討成人血液中的膽固醇(serun cholesterol)是否受到體重、血壓及年齡的影響，調查10位20至30歲成人男性得到如下結果：,時間數列分析,時間數列係指隨時
3、間順序出現之一連串觀測值數列 日常生活中所熟悉的數值資料絕大部份皆為隨時間連續觀察所得有順序的觀測值數列集合如失業率，股價，工廠生產線每日產能，季度GNP，及每月某廠牌之化妝品銷售量.等。,時間數列分析目的,對數列未來趨勢作預測（Forecasting）透析數列的各種趨勢，如主要趨勢成份(Trend Components)、季節變化成份(Seasonal Components)對理論性模式與數據進行適合度檢定，以討論模式是否能正確地表示所觀測之現象，如一些常見的經濟模式。,時間數列分析假設前提,數列為平穩型（stationary）或者是透過某些的方法使其平穩最常用的方法是對資料差分(diffe
4、rencing)實務分析時經常以數列走勢圖形及一些統計檢定量對數列的基本性質做初步的判斷。,一般可利用隨機變數(觀測值)建構時間數列但是時間數列的特殊情況是這些變量卻僅能觀測一次，這是與其他統計分析法所不同的地方。,利用數列的參數模式(parametric modeling)的ARIMA(autoregressive integrated moving average)模式及較為複雜的多變數 ARMA 模式ARMA模式則包含二個重要的子模式AR(autoregressive)MA(moving average)當利用ARMA模式對一平穩型數列建模時，即是利用參數來描述資料的記憶型態。,時間數列
5、建模時最重要的觀念即是如何利用過去的資料來判定一個變量的未來走向及不同變量間同期(concurrent)或前後期(lead-lag)之關聯性。單變數時間數列模型Box 和Jenkins多變數時間數列模型如 Box 和 Tiao(1982)及 Tiao 和 Tsay(1983)。,近年來在非線性及多變數時間數列分析法的領域中有許多新的進展，包含ARCH models,threshold AR model,co-integration,reduced rank models,scalar component models,state-space models。在此介紹最廣為使用及實用的方法Box在
6、1980年提出進階的建模技術，並且探究以遞迴的方式對時間數列資料建構模式，及進行預測。,時間數列Box-Jenkins實例,平穩型數列 化學反應產出量(每次觀測間隔兩小時),無定向型或非平穩型數列美國電冰箱月度需求(仟台)(1957年六月至1961年九月),季節型數列美國月度國際航空旅遊人數(1949年一月 至1960年十二月),季節型數列Magnavox牌彩色電視機月度銷售量(仟台)(1976年一月 至1983年十二月),多變量時間數列美國及泰國月度米價(美元/噸)(1969年一月至1991年七月)美國米價泰國米價,行銷案例食品業銷售 銷售量廣告支出,介入因子英國汽車乘客配置安全帶法規對車禍
7、死亡之效果駕駛人死亡人數駕駛人死亡或受重傷人數,時間數列型態,平穩型(Stationary)無定向型(Drifting)趨勢型(Trend)季節型(Seasonality)外部影響型(Exogenous effect),預測問題,在實務上的預測問題需要考量的因素不一而足，現舉一個預估每月的電力需求來說明問題的焦點。電力需求(月資料)1.預估(Prediction)a.短期(Short term)b.長期(Long term)c.歷史模式(過去模式)(Historical Pattern)2.外部變更之影響(Effect of exogenous changes)a.石油危機(Oil Crisi
8、s)b.經濟蕭條(Economic Recessions)3.其他相關變數 a.溫度(Temperature)b.職業(Employment)c.人口(Population)d.新建房屋數(Housing starts),從資料分析的角度來考慮，我們需要研究：1.數列是否在固定水準上下變動？2.此水準是否也在變動？3.是否有某種上升或下降的趨勢呢？4.是否存在有季節性的模式？5.是否季節性的模式也在變更呢？,時間數列模型應用,預估與預測(Prediction and Forecasting)政策影響分析(Policy Impact Analysis)信號突出-季節性調整(Signal Extr
9、action-Seasonal Adjustment)過程控制(Process Control)隨機系統描述(Description of a Stochastic System),建構時間數列模型,建模步驟：a.暫定模型(Model Identification)b.對未知參數作有效的估計(Efficient Estimation)c.診斷性檢查(Model Checking)-若有必要則回到a.重做。d.統計推論(Statistical Inference),時間數列模型,時間數列有一明顯的特性就是記憶性(memory)記憶性系指時間數列中的任一觀測值的表現皆受到過去觀測值影響,時間數列模
10、型,其中 稱為記憶函數(memory function)，而 所代表的意義即為 對 的影響程度。當一個系統輸入 後，的產生是以記憶函數 作為權數建立如上式之關係。,MA model&AR model,Udny Yule 發展了一套對平穩型數列非常有用的模型移動平均模型(Moving Average Model,MA)自我迴歸模型(Autoregressive Model,AR),MA model,一階移動平均模型，MA(1)其中 稱為白噪音(white noise)為 at 的震動影響或記憶函數(shock effect or memory function)q階移動平均模型，MA(q),AR
11、 model,一階自我迴歸模型，AR(1)宛如一條迴歸線 Zt-1 是自變數，Zt 是應變數 p階自我迴歸模型，AR(p),ARMA model,對於平穩型時間數列可考慮三種模型：一為 p階的自我迴歸模型，AR(p)二為q階的移動平均模型，MA(q)三為自我迴歸移動平均模型，ARMA(p,q),均齊無定向模型,Homogeneous Nonstationary Models對無定向型數列可由隨機漫步模型來表達：需差分,隨機漫步過程並沒有固定的平均水準 經過一階差分（first difference）後成為隨機震動所組成的數列，即變成平穩型的數列。有時候需要二階以上差分，數列才會平穩,後移運算子
12、B,將前節介紹的模型用另一符號表示 定義AR(p)MA(q),ARIMA(p,d,q),其中可寫成其中,模式鑑定,自我相關函數ACF 判定MA(q),模擬MA(2)之ACF AUTOCORRELATIONS 1-12-.78.42-.16-.04.18-.24.18-.06.04-.11.20-.26 ST.E.14.21.23.23.23.23.24.24.24.24.24.24 Q 32.5 42.0 43.4 43.4 45.4 48.8 50.7 50.9 51.0 51.8 54.5 59.0-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0+-
13、+-+-+-+-+-+-+-+-+-+I 1-0.78 XXXXXXXXXXXXX+XXXXXXI+2 0.42+IXXXXXXXXXX 3-0.16+XXXXI+4-0.04+XI+5 0.18+IXXXXX+6-0.24+XXXXXXI+7 0.18+IXXXX+8-0.06+XI+9 0.04+IX+10-0.11+XXXI+11 0.20+IXXXXX+12-0.26+XXXXXXI+,偏自我相關函數PACF 判定AR(p),模擬AR(2),之PACF PARTIAL AUTOCORRELATIONS 1-12.86-.34-.06.02-.18.01.10-.21-.05.05.06
14、.03 ST.E.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10 13-24.07.10-.07-.02.13-.08.02-.15-.10-.03-.05-.03 ST.E.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+I 1 0.86+IXXXX+XXXXXXXXXXXXXXXX 2-0.34 XXXX+XXXXI+3-0.06+XI+4 0.02+I+5-0.18+XXXXI+6 0.01+I+7 0.10+IX
15、X+8-0.21 XXXXXI+9-0.05+XI+10 0.05+IX+11 0.06+IXX+12 0.03+IX+,ARIMA(p,d,q)階自我迴歸移動平均過程之特性,推廣自我相關函數EACF 判定混合模式ARMA(p,q)定義相差j期的第一個EAFC為 且相等於 的第j期的自我相關係數，其中,Tsay and Tiao(1984)可知在某一p階的ARMA(p,q)之因此可將表以（0,x）的簡式表達，如下 SIMPLIFIED EXTENDED ACF TABLE(5%LEVEL)(Q-)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-(P=0)X O O O O O O O
16、 O O O O O(P=1)X X O O O O O O O O O O O(P=2)X O O O O O O O O O O O O(P=3)X O O O O O O O O O O O O(P=4)X O O O O O O O O O O O O(P=5)X O X O O O O O O O O O O(P=6)O X O O O O O O O O O O O,ARMA(0,1)=MA(1)(Q-)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-(P=0)X O O O O O O O O O O O O(P=1)X O O O O O O O O O O O O(
17、P=2)X X X O O O O O O O O O O(P=3)O O O O O O O O O O O O O(P=4)O O O X O O O O O O O O O(P=5)X O O O O O O O O O O O O(P=6)X O O O O O O O O O O O O,ARMA(2,0)=AR(2)(Q-)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-(P=0)X X X O O O O O O O O O O(P=1)X X O O O O O O O O O O O(P=2)O O O O O O O O O O O O O(P=3)X O O O
18、 O O O O O O O O O(P=4)O X X O O O O O O O O O O(P=5)O X X O O O O O O O O O O(P=6)X O X O O O O O O O O O O,ARMA(1,1)(Q-)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-(P=0)X X X O O O O O O O O O O(P=1)X O O O O O O O O O O O O(P=2)X O O O O O O O O O O O O(P=3)X O O O O O O O O O O O O(P=4)X O O O O O O O O O O O
19、O(P=5)X O O O O O O O O O O O O(P=6)X X O O O O O O O O O O O,實例研究三對日輸出烏龍茶(ARMA 模式之應用),近年來台灣銷往他國的茶葉市場較不如往年表現的亮麗，並且市場有逐漸萎縮的趨勢；在另一方面，高級茶的銷路一直都比便宜茶為佳。於是本研究即是研究台灣茶葉輸出對象的大宗之一日本，探討對日本輸出烏龍茶數量的情形，並對未來幾期的輸出量進行預測。本研究選用1985年1月至1996年2月之對日本輸出烏龍茶數量（單位：公斤）資料，共計122筆。資料來源為臺灣區製茶工業同業工會,對數轉換,AUTOCORRELATIONS 1-12.38.31
20、.26.13.12.05.01.08.23.25.29.24 ST.E.09.10.11.11.12.12.12.12.12.12.13.13 Q 17.9 30.1 38.4 40.5 42.4 42.7 42.7 43.6 50.7 59.0 70.4 78.0 13-24.26.14.09.02-.06-.08.01-.03-.07.10.03.14 ST.E.13.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14 Q 87.3 90.0 91.2 91.3 91.7 92.6 92.6 92.7 93.5 94.9 95.1 98.0-1.0-.8-.6-.4-.2.0
21、.2.4.6.8 1.0+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+I 1.38+IXXX+XXXXX 2.31+IXXXX+XXX 3.26+IXXXX+X 4.13+IXXX+5.12+IXXX+6.05+IX+7.01+I+8.08+IXX+9.23+IXXXXXX 10.25+IXXXXXX 11.29+IXXXXX+X 12.24+IXXXXXX 13.26+IXXXXXX+14.14+IXXX+15.09+IXX+16.02+IX+17-.06+XI+18-.08+XXI+19.01+I+20-.03+XI+21-.07+XXI+22.10+IXX+23.03+IX+24.14+IX
22、XX+,PARTIAL AUTOCORRELATIONS 1-12.38.20.11-.04.02-.03-.03.09.24.14.11-.00 ST.E.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09 13-24.07-.09-.03-.05-.06-.09.05-.07-.16.08-.03.10 ST.E.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09-1.0-.8-.6-.4-.2.0.2.4.6.8 1.0+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+I 1.38+IXXX+XXXXX 2.20+IXXX+X 3.11+IXXX+4-.0
23、4+XI+5.02+IX+6-.03+XI+7-.03+XI+8.09+IXX+9.24+IXXX+XX 10.14+IXXX+11.11+IXXX+12.00+I+13.07+IXX+14-.09+XXI+15-.03+XI+16-.05+XI+17-.06+XXI+18-.09+XXI+19.05+IX+20-.07+XXI+21-.16 XXXXI+22.08+IXX+23-.03+XI+24.10+IXX+,THE EXTENDED ACF TABLE(Q-)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-(P=0).38.31.26.13.12.05.01.08.23.25
24、.29.24.26(P=1)-.48.04.09-.08.05.02-.05-.01.13-.03.05-.05.15(P=2)-.42.16.12-.00.04.01-.06.02.16.05-.02-.00.14(P=3).30-.03.10.01.01.02-.05-.02.19.04-.03.01.11(P=4).38.05.00.15.00.01-.06-.05.19-.04-.03.01.14(P=5).43-.17-.02-.02-.06-.01-.08-.14.11-.06.13-.07.16(P=6)-.47.11-.03-.03-.04-.14-.12.02.14-.10.
25、09.01.15 SIMPLIFIED EXTENDED ACF TABLE(5%LEVEL)(Q-)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-(P=0)X X X O O O O O O O X O O(P=1)X O O O O O O O O O O O O(P=2)X O O O O O O O O O O O O(P=3)X O O O O O O O O O O O O(P=4)X O O O O O O O O O O O O(P=5)X O O O O O O O O O O O O(P=6)X O O O O O O O O O O O O,以SCA統計軟體執
26、行ACF,PACF,EACF選定兩個暫定模式為ARMA(1,1)與MA(3)ARMA(1,1)模式(1)MA(3)模式(2),模式(1)之估計與檢定將模式（1）中未知參數經最大概似估計法的估計結果簡單列於下表：PARAMETER VARIABLE NUM./FACTOR ORDER CONS-VALUE STD T LABEL NAME DENOM.TRAINT ERROR VALUE 1 CNST CNST 1 0 NONE 2.6376 1.5066 1.75 2 TH LNTEA MA 1 1 NONE.4759.1628 2.92*3 PH LNTEA AR 1 1 NONE.7890
27、.1205 6.55*其中常數項（CNST）不顯著，於是將常數項從模式（1）中去除，再將模式中剩餘的未知參數經最大概似估計法結果列於下表：PARAMETER VARIABLE NUM./FACTOR ORDER CONS-VALUE STD T LABEL NAME DENOM.TRAINT ERROR VALUE 1 TH1 LNTEA MA 1 1 NONE.6798.0702 9.69*2 PH1 LNTEA AR 1 1 NONE.9998.00081303.55*,趨近1,但1的估計值為0.9998趨近於1，表示此模式應為將LNTEA差分後的一階移動平均模式。於是再將模式（1）作修改
28、成，再對此修改後模式中的未知參數進行估計。估計結果如下：PARAMETER VARIABLE NUM./FACTOR ORDER CONS-VALUE STD T LABEL NAME DENOM.TRAINT ERROR VALUE 1 TH1 LNTEA MA 1 1 NONE.6841.0681 10.04*EFFECTIVE NUMBER OF OBSERVATIONS.121 R-SQUARE.162 RESIDUAL STANDARD ERROR.309958E+00 估計後之模式(1),模式（1）之偵測檢視殘差的ACF、PACF及EACF殘差AUTOCORRELATIONS 1-
29、12.02.07.04-.09-.06-.13-.21-.11.12.07.13.12 ST.E.09.09.09.09.09.09.09.10.10.10.10.10 Q.0.6.7 1.8 2.3 4.5 10.2 11.7 13.6 14.3 16.6 18.5 13-24.22.08.04-.04-.11-.11.03-.08-.16.09-.02.11 ST.E.10.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11 Q 25.3 26.2 26.5 26.7 28.6 30.5 30.6 31.5 35.1 36.3 36.4 38.4-1.0-.8-.6-.4-.
30、2.0.2.4.6.8 1.0+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+I 1.02+I+2.07+IXX+3.04+IX+4-.09+XXI+5-.06+XXI+6-.13+XXXI+7-.21 XXXXXI+8-.11+XXXI+9.12+IXXX+10.07+IXX+11.13+IXXX+12.12+IXXX+13.22+IXXXX+X 14.08+IXX+15.04+IX+16-.04+XI+17-.11+XXXI+18-.11+XXXI+19.03+IX+20-.08+XXI+21-.16+XXXXI+22.09+IXX+23-.02+XI+24.11+IXXX+,殘差PARTIAL
31、 AUTOCORRELATIONS 1-12.02.07.04-.10-.07-.12-.20-.11.15.09.09.06 ST.E.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09 13-24.19.05.03.02-.01-.06.12.02-.17-.00-.08-.00 ST.E.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09-1.0-.8-.6-.4-.2.0.2.4.6.8 1.0+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+I 1.02+I+2.07+IXX+3.04+IX+4-.10+XXI+5-.07+XXI+6-.12+XXXI
32、+7-.20 X+XXXI+8-.11+XXXI+9.15+IXXXX 10.09+IXX+11.09+IXX+12.06+IX+13.19+IXXX+X 14.05+IX+15.03+IX+16.02+I+17-.01+I+18-.06+XI+19.12+IXXX+20.02+I+21-.17 XXXXI+22.00+I+23-.08+XXI+24.00+I+,殘差THE EXTENDED ACF TABLE(Q-)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-(P=0).02.07.04-.09-.06-.13-.21-.11.12.07.13.12.22(P=1)-.18.0
33、4.03-.07.02-.00-.12-.16.14-.03.04-.04.15(P=2)-.41.38-.00-.07.03.03-.06-.11.16.04-.05-.01.15(P=3).36.41.04-.07.01.01-.05-.06.19.03-.01-.00.10(P=4)-.46-.23-.18.31.03.01-.07-.09.17-.02-.01.02.15(P=5)-.39.03-.13.19.20-.00-.12.02.13-.12.12-.13.14(P=6)-.42-.04-.15.01.25-.15-.13.02.16-.03.04-.02.15 SIMPLIF
34、IED EXTENDED ACF TABLE(5%LEVEL)(Q-)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-(P=0)O O O O O O X O O O O O X(P=1)O O O O O O O O O O O O O(P=2)X X O O O O O O O O O O O(P=3)X X O O O O O O O O O O O(P=4)X X O X O O O O O O O O O(P=5)X O O O O O O O O O O O O(P=6)X O O O X O O O O O O O O,模式（2）之估計與檢定 將模式（2）中未知參數經最
35、大概似估計法的估計結果簡單列於下表：PARAMETER VARIABLE NUM./FACTOR ORDER CONS-VALUE STD T LABEL NAME DENOM.TRAINT ERROR VALUE 1 CNST CNST 1 0 NONE 12.4850.0458 272.72*2 TH1 LNTEA MA 1 1 NONE-.2878.0902-3.19*3 TH2 LNTEA MA 1 2 NONE-.2656.0979-2.71*4 TH3 LNTEA MA 1 3 NONE-.2149.0963-2.23*EFFECTIVE NUMBER OF OBSERVATION
36、S.122 R-SQUARE.183 RESIDUAL STANDARD ERROR.305928E+00 估計後之模式(2),模式（2）之偵測殘差AUTOCORRELATIONS 1-12.01.03.05.10.12-.01-.09-.02.19.11.13.07 ST.E.09.09.09.09.09.09.09.09.09.10.10.10 Q.0.1.4 1.8 3.6 3.6 4.7 4.8 9.5 11.3 13.5 14.2 13-24.18.05.07-.01-.08-.05.08-.00-.13.08-.02.13 ST.E.10.10.10.10.10.10.10.10.
37、10.11.11.11 Q 18.8 19.2 19.8 19.9 20.8 21.2 22.1 22.1 24.6 25.7 25.7 28.3-1.0-.8-.6-.4-.2.0.2.4.6.8 1.0+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+I 1.01+I+2.03+IX+3.05+IX+4.10+IXXX+5.12+IXXX+6-.01+I+7-.09+XXI+8-.02+XI+9.19+IXXXXX 10.11+IXXX+11.13+IXXX+12.07+IXX+13.18+IXXXXX 14.05+IX+15.07+IXX+16-.01+I+17-.08+XXI+18-.05+X
38、I+19.08+IXX+20.00+I+21-.13+XXXI+22.08+IXX+23-.02+I+24.13+IXXX+,殘差PARTIAL AUTOCORRELATIONS 1-12.01.03.05.10.12-.02-.11-.05.18.13.16.09 ST.E.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09 13-24.15-.03-.00-.04-.10-.10.07-.00-.16.01-.09.03 ST.E.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09.09-1.0-.8-.6-.4-.2.0.2.4.6.8 1.0+-+-+
39、-+-+-+-+-+-+-+-+I 1.01+I+2.03+IX+3.05+IX+4.10+IXXX+5.12+IXXX+6-.02+I+7-.11+XXXI+8-.05+XI+9.18+IXXXX 10.13+IXXX+11.16+IXXXX 12.09+IXX+13.15+IXXXX 14-.03+XI+15.00+I+16-.04+XI+17-.10+XXI+18-.10+XXXI+19.07+IXX+20.00+I+21-.16 XXXXI+22.01+I+23-.09+XXI+24.03+IX+,殘差THE EXTENDED ACF TABLE(Q-)0 1 2 3 4 5 6 7
40、8 9 10 11 12-(P=0).01.03.05.10.12-.01-.09-.02.19.11.13.07.18(P=1)-.24.01-.01.03.10-.01-.11-.01.16-.05.03-.04.16(P=2)-.42-.32-.03.03.00.05-.03.05.20.02-.00-.02.12(P=3)-.36-.31.05.03-.03.04-.05.02.21-.02-.04-.06.12(P=4)-.48.24-.12-.03.03.05-.06-.03.17.06.11.06.13(P=5).04.27-.08-.24-.01.06-.06-.08.13-.
41、08.10-.07.15(P=6)-.03.37-.13.08-.07.07-.06-.03.17.01.01-.01.18 SIMPLIFIED EXTENDED ACF TABLE(5%LEVEL)(Q-)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-(P=0)O O O O O O O O O O O O O(P=1)X O O O O O O O O O O O O(P=2)X X O O O O O O O O O O O(P=3)X X O O O O O O O O O O O(P=4)X O O O O O O O O O O O O(P=5)O X O O O O
42、 O O O O O O O(P=6)O X O O O O O O O O O O O,模式綜合比較精簡原則模式(1)為1個參數，模式(2)為3個參數選取模式(1)殘差標準誤差模式(1)為0.3100，模式(2)為0.3059選取模式(2)模式(2)殘差的ACF,PACF,EACF較模式(1)乾淨（clean）本研究則是以殘差的標準誤差作為選擇模式的依據，於是最適合每月對日本輸出烏龍茶資料的時間數列模型應為模式（2）,以模式(2)進行預測以1995年4月（t=112）作為預測起點，預測期間從1995年4月到1996年2月（t=112122）-1 FORECASTS,BEGINNING AT
43、112 to 122-時期 預測值 標準誤差 實際值 預測誤差 TIME FORECAST STD.ERROR ACTUAL IF KNOWN FORE.ERROR 113 12.2889.3059 12.6318 0.3429 114 12.4862.3059 12.2484-0.2378 115 12.5347.3059 12.6112 0.0765 116 12.5176.3059 12.3796-0.1380 117 12.4145.3059 12.3803-0.0342 118 12.4550.3059 12.1077-0.3473 119 12.3463.3059 12.0396-
44、0.3067 120 12.2972.3059 12.0243-0.2729 121 12.2504.3059 10.9886-1.2618 122 11.9835.3059 12.0275 0.0440 123 12.1039.3059,預測起點為1996年2月預測未來12個月的每月對日本輸出烏龍茶，可得到結果如下：-12 FORECASTS,BEGINNING AT 122-時期 預測值 標準誤差 實際值 TIME FORECAST STD.ERROR ACTUAL IF KNOWN 123 12.1039.3059 124 12.2255.3183 125 12.4944.3285 12
45、6 12.4850.3351 127 12.4850.3351 128 12.4850.3351 129 12.4850.3351 130 12.4850.3351 131 12.4850.3351 132 12.4850.3351 133 12.4850.3351 134 12.4850.3351,季節性時間數列,時間數列的資料常呈現週期性的型式年資料、季資料、月資料,季節型數列美國月度國際航空旅遊人數(1949年一月 至1960年十二月),季節型數列Magnavox牌彩色電視機月度銷售量(仟台)(1976年一月 至1983年十二月),Seasonal ARIMA模式如,實例研究四國民生產毛
46、額（季節性ARIMA模式之應用）,資料來源選用1961年第一季至1996年第二季之間的臺灣地區每季國民生產毛額資料，共計142筆。,觀察觀測值資料呈現季節性的變動，週期為4季；換言之，即12個月為一個循環。數列亦呈現向上攀升的趨勢，為一種無定向型的時間數列資料。,ACF,1-12.98.95.92.90.87.85.82.80.78.75.73.70 ST.E.08.14.18.21.24.26.28.30.31.32.34.35 Q 138 270 395 515 629 738 841 938 1031 1118 1201 1278 13-24.68.65.63.60.58.56.53.5
47、1.48.46.44.41 ST.E.36.37.37.38.39.39.40.40.41.41.42.42 Q 1351 1420 1484 1543 1598 1650 1697 1740 1780 1816 1849 1878-1.0-.8-.6-.4-.2.0.2.4.6.8 1.0+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+I 1.98+IXXX+XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 2.95+IXXXXXX+XXXXXXXXXXXXXXXXX 3.92+IXXXXXXXX+XXXXXXXXXXXXXX 4.90+IXXXXXXXXX+XXXXXXXXXXXX 5.87+IXXXX
48、XXXXXXX+XXXXXXXXXX 6.85+IXXXXXXXXXXXX+XXXXXXXX 7.82+IXXXXXXXXXXXXX+XXXXXXX 8.80+IXXXXXXXXXXXXX+XXXXXX 9.78+IXXXXXXXXXXXXXX+XXXX 10.75+IXXXXXXXXXXXXXXX+XXX 11.73+IXXXXXXXXXXXXXXX+XX 12.70+IXXXXXXXXXXXXXXXX+X 13.68+IXXXXXXXXXXXXXXXXX 14.65+IXXXXXXXXXXXXXXXX+15.63+IXXXXXXXXXXXXXXXX+16.60+IXXXXXXXXXXXXX
49、XX+17.58+IXXXXXXXXXXXXXXX+18.56+IXXXXXXXXXXXXXX+19.53+IXXXXXXXXXXXXX+20.51+IXXXXXXXXXXXXX+21.48+IXXXXXXXXXXXX+22.46+IXXXXXXXXXXXX+23.44+IXXXXXXXXXXX+24.41+IXXXXXXXXXX+,ACF圖形呈現緩慢的遞減型態，顯示數列為一無定向型數列，故須對原數列取一階差分。,一階差分ACF,1-12-.02-.16.06.57.02-.12-.01.51.01-.09.04.43 ST.E.08.08.09.09.11.11.11.11.13.13.13
50、.13 Q.1 3.6 4.0 51.2 51.3 53.5 53.5 92.5 92.5 93.9 94.1 123 13-24.10-.07-.01.40.06-.04.02.26.04.02.03.20 ST.E.14.14.14.14.15.15.15.15.15.15.15.15 Q 124 125 125 151 151 151 151 163 163 163 163 170-1.0-.8-.6-.4-.2.0.2.4.6.8 1.0+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+I 1-.02+I+2-.16 XXXXI+3.06+IX+4.57+IXXX+XXXXXXXXXX 5.0
