《高数向量代数》PPT课件.ppt

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1、第十一讲 向量代数,坐标法向量概念向量运算,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,1 空间点的直角坐标,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,空间两点间的距离,特殊地:若两点分别为,向量:,既有大小又有方向的量.,向量表示:,模长为1的向量.,零向量:,模长为0的向量.,向量的模:,向量的大小.,单位向量:,一、向量的概念,或,或,或,自由向量:,不考虑起点位置的向量.,相等向量:,大小相等且方向相同的向量.,负向量:,大小相等但方向相反的向量.,向径:,1 加法:,(平行四边形法则),特殊地:若,分为同向和反向,(平行四边形

2、法则有时也称为三角形法则),二、向量的加减法,向量的加法符合下列运算规律:,(1)交换律:,(2)结合律:,(3),2 减法,三、向量与数的乘法,数与向量的乘积符合下列运算规律:,(1)结合律:,(2)分配律:,两个向量的平行关系,按照向量与数的乘积的规定,,上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,2 空间两向量的夹角的概念:,类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,按基本单位向量的坐标分解式:,在三个坐标轴上的分向量:,向量的坐标:,向量的坐标表达式:,特殊地:,向量的加减法、向量

3、与数的乘法运算的坐标表达式,非零向量 的方向角:,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,三、向量的模与方向余弦的坐标表示式,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,向量模长的坐标表示式,当 时,,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,特殊地:单位向量的方向余弦为,启示,两向量作这样的运算,结果是一个数量.,定义,3 两向量的数量积,关于数量积的说明:,证,数量积符合下列运算规律:,(1)交换律:,(2)分配律:,(3)若 为数:,若、为数:,设,数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,证,定义,关于向量积的说明:,/,向量积也称为“叉积”、“外积”.,向量积符合下列运算规律:,(1),(2)分配律:,(3)若 为数:,证,/,/,设,向量积的坐标表达式,向量积还可用三阶行列式表示,/,由上式可推出,补充,例如,,解,解,三角形ABC的面积为,

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