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1、圆里的截长补短,天津石化一中 曹诚 2003.09,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,A,B,C,M,分析：,把已知条件及可得结论标在图上：,60,60,60,60,BAC=60，,。,。,.,.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,A,B,C,M,分析：,把已知条件及可得结论标在图上：,60,60,60,60,BAC=60，,。,。,.,.,把能表示的60角用圆弧表示：,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,A,B,C,M,分析：,把已知条件及可得结论标在图上：,60
2、,60,60,BAC=60，,。,。,.,.,把能表示的60角用圆弧表示：,）,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,A,B,C,M,分析：,把已知条件及可得结论标在图上：,60,60,BAC=60，,。,。,.,.,把能表示的60角用圆弧表示：,）,）,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,A,B,C,M,分析：,把已知条件及可得结论标在图上：,BAC=60，,。,。,.,.,把能表示的60角用圆弧表示：,）,）,）,60,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,A,B,C,
3、M,分析：,把已知条件及可得结论标在图上：,BAC=60，,。,。,.,.,把能表示的60角用圆弧表示：,）,）,）,）,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,A,B,C,M,BAC=60，,。,。,.,.,）,）,）,）,分析1：,补短法,延长BM到N，,使MN=CM，,N,CMN=BAC=60，,）,连结CN.,MA=NB，,MA？NB？,MACNBC，,AC=BC，,MAC=NBC，,AMC=BNC，,AMC=60，,BNC=60，,CMN是等边三角形，,CMN是等边三角形，,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.
4、,）,A,B,C,M,。,。,.,.,）,）,）,）,证法1：,延长BM到N，使MN=CM，,N,）,连结CN.,MA=NB，,MACNBC，,AC=BC，,MA=MB+MC.,AB=BC=CA，BAC=ABC=60.CMN=BAC=60，CMN是等边三角形，BNC=60.AMC=ABC=60，AMC=BNC.MAC=NBC，,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,A,B,C,M,BAC=60，,。,。,.,.,）,）,）,）,分析2：,补短法,延长MB到S，,使BS=MC，,S,ACM=ABS，,连结AS.,MA=MS，,MA？SA？,AC=AB，,A
5、BS=ACM，,MC=SB，,MACSAB，,AMB=60，,MA=MS=AS，,MA=AS，,A,B,C,M,。,。,.,.,）,）,）,）,证法2：,延长MB到S，使BS=MC，,S,连结AS.,AC=AB=BC，,则ABS=ACM.,MACSAB，,AMB=ACB=60，,MA=MS=AS，,MA=SA.,MA=MB+MC.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,ACB=60，,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,A,B,C,M,。,。,.,.,）,）,）,）,分析3：,补短法,延长MC到T，,使CT=BM
6、，,T,ABM=ACT，,连结AT.,MA=MT，,MA？TA？,AB=AC，,ACT=ABM，,BM=CT，,MABTAC，,AMC=60，,MA=MT=AT，,MA=AT，,A,B,C,M,。,。,.,.,）,）,）,）,证法3：,延长MC到T，使CT=BM，,T,连结AT.,则ACT=ABM，,AC=AB=BC，,MABTAC，,AMC=ABC=60，,MA=MT=AT，,MA=TA.,MA=MB+MC.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,ABC=60，,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,A,B,C,
7、M,。,。,.,.,）,）,）,）,分析4：,补短法,延长CM到F，,使MF=BM，,F,ABM=CBF，,连结BF.,MA=FC，,MA？FC？,AB=CB，,BM=BF，,MABFCB，,BAC=60，,BMF=BAC=60，,）,BFM是等边三角形，,BFM是等边三角形，,）,A,B,C,M,。,。,.,.,）,）,）,）,证法4：,延长CM到F，使MF=BM，,F,FMB=FBM=60，,连结BF，,MA=FC，,AB=AC=CB，BAC=ABC=60.,BM=BF，,MABFCB，,则BMF=BAC=60，,）,则BFM是等边三角形，,）,ABM=CBF，,MA=MB+MC.,题目：
8、如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,A,B,C,M,。,。,）,分析5：,截长法,在AM上截取AE=MC，,E,BCM=BAM，,连结BE.,ME=MB，,MB？EB？,BC=BA，,CM=AE，,MBCEBA，,AMB=60，,ME=MB=BE，,MB=EB，,A,B,C,M,。,。,）,证法5：,在AM上截取AE=MC，,E,BCM=BAE，CM=AE，,ME=MB；,BC=BA=AC，ACB=60.,MBCEBA，,AMB=ACB=60，,ME=MB=BE，,MA=ME+AE
9、=MB+MC.,连结BE.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,A,B,C,M,分析6：,截长法,在MA上截取MK=MC，,K,KAC=MBC，,连结KC.,AK=MB，,AK？BM？,AC=BC，,AKC=BMC，,AKCBMC，,KCM是等边三角形，,BMC=120，,.,.,）,）,AKC=120，,KCM是等边三角形.,）,A,B,C,M,证法6：,在MA上截取MK=MC，,K,KAC=MBC，,连结KC.,AK=MB，,AC=BC=AB，ABC=ACB=60，AMC
10、=ABC=60，AMB=ACB=60，BMC=120，,AKCBMC，,KCM是等边三角形，,.,.,）,）,AKC=120=BMC，,）,MA=AK+MK=MB+MC.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,A,B,C,M,分析7：,截长法,在AM上截取AD=MB，,D,MBC=DAC，,连结DC.,MD=MC，,MC？DC？,CB=CA，,BM=AD，,MCBDCA，,DMC=60，,.,.,）,）,MD=MC=DC，,）,MC=DC，,A,B,C,M,证法7：,在AM上截
11、取AD=MB，,D,MBC=DAC，,连结DC.,CB=CA=AB，ABC=60.,BM=AD，,MCBDCA，,DMC=ABC=60，,.,.,）,）,MD=MC=DC，,）,MC=DC.,MA=AD+MD=MB+MC.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,A,B,C,M,。,。,）,分析8：,截长法,在MA上截取MH=MB，,H,BAH=BCM，,连结BH.,AH=MC，,AH？CM？,AB=CB，,ABH=CBM，,AHBCMB，,ABC=60，,HBM=60，,HBM
12、是等边三角形.,HBM是等边三角形.,A,B,C,M,。,。,）,证法8：,在MA上截取MH=MB，,H,BAH=BCM，AHBCMB，AH=MC，,连结BH.,AB=CB=BC，ACB=ABC=60.,AMB=ACB=60，HBM是等边三角形，HBM=60=ABC，ABH=CBM.,MA=MH+AH=MB+MC.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,“截长补短”是初中平面几何中化难为易的一种常用解题思想。本题是一道典型例题。这里表现 8 种证法，是要说明实际解题时怎么补、怎么截。在作好辅助线后要及时看到所产生的辅助条件，结合已知条件打通思路。本题的其它证法附于后面。,A,B,C,M,证法9：,BC=AC=AB，,由托勒密定理得,BCMA=ACMB+ABMC.,MA=MB+MC.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,A,B,C,M,。,。,）,证法10：记MA交BC于点P.,AMC=AMB.BCM=BAM，MCP MAB，,MA=MB+MC.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA=MB+MC.,）,）,P,AC=AB，,AC,(,(,=AB,，,BC=AC=AB，,.,.,
