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1、第三章 连续信号与系统的实频域分析,主讲人：史洪宇,本章主要内容:,3.1 连续周期信号的傅里叶级数与频谱 3.2 连续非周期信号傅里叶变换与频谱 3.3 傅里叶变换的性质 3.4 LTI连续系统的频域分析3.5 滤波器3.6 采样器 3.7 调制器与解调器,变换域分析的基本思想为：将信号分解为基本信号之和或积分的形式，再求系统对基本信号的响应，从而求出系统对给定信号的响应（零状态响应）。,在第二章中我们以,其中h(t)反映了系统的特性。,为基本信号将任意信号进行分解,(虚指数函数)为基本信号。,本章以正弦函数 或,任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或 虚指数函数之和。,任意非周期信号
2、可以表示为一系列不同频率的正弦或虚 指数函数积分。,将周期信号,在区间,内展开成完,备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集 是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的 无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数”或“指数形傅 里叶级数”，统称为傅里叶级数。,从本章开始由时域转为变换域分析。首先考虑傅里叶变换。频域分析将时间变量t转换成频率变量或f。揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性及其频率特性之间的密切关系从而导出信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。,一、周期信号的分解,其中 称为傅里叶系数，。,3.1 连续周期信号的傅里叶级数与频谱,那么,傅里叶系数如何求得呢?,由上式
3、可见，是 的偶函数，是 的奇函数，,则有,可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直 流分量，一次谐波或基波，它的角 频率与原周期信号相同，二次谐波波，以此类推，三次，四次等谐波。,一般而言 称为 次谐波，是 次谐波的振幅，是其初相角。,*结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。,例3.1-1 将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。,解：,它仅含有一、三、五、七.等奇次谐波分量。,如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：,（1）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于原方波信号。,（2）所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断点。,（3）即使，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有
4、的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。(吉布斯现象）,主体-低频 细节-高频,二、傅里叶级数的指数形式,将上式第三项中的 用 代换，并考虑到 是 的偶函数，即；是 的奇函数,则上式可写为:,如将上式中的 写成（），则上式可以写成:,令复数量，称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为，相角为，则得傅里叶级数的指数形式为：,复傅里叶系数,这就是求指数形式傅里叶级数的复系数 的公式。,任意周期信号 可分解为许多不同频率的虚指数信号 之和，其各分量的复数幅度（或相量）为。,总结：,与 互为共轭。,与 的关系。,三角形式傅里叶级数：,指数形式傅里叶级数：,任意周期信号可以表示为一
5、系列不同频率的正弦函 数或虚指数函数之和。,复傅里叶系数 与，的关系:,3.1.2 周期信号的频谱,一、周期信号的频谱,三角形式：,指数形式：,如果将，的关系绘成如图3.3.1（a）（c）线图，便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，分别称为幅度谱和相位谱（单边）。,如果将，的关系绘成如图4.3.1（b）（d）的线图，同样可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，也分别称为幅度谱和相位谱（双边）。,例 3.1-2,试画出f(t)的振幅谱和相位谱。,解：f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据,可知，其基波频率=(rad/s)，
6、基本周期T=2s，=2、3、6 分别为二、三、六次谐波频率。且有：,其余,图 3.1-2(a)振幅谱；(b)相位谱,图 3.1-3 信号的双边频谱(a)振幅谱；(b)相位谱,二、周期矩形脉冲的频谱,设有一幅度为1，脉冲宽度为 的周期性矩形脉 冲，其周期为，求其复傅里叶系数。,图 3.1-4 周期矩形脉冲,-取样函数,1.它是偶函数。,2.当 时，。,3.当 时，函数值为0。,它是无限拖尾的衰减振荡。,该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为：,图3.1-5 周期矩形脉冲的频谱（T=4）,零点的位置：,相邻谱线的间隔：,第一个零点的位置：,第一个零点时谱线的序号：,由上图可以看出，此周期信号
7、频谱具有以下几个特点：第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有的各次谐波分量，而决不含有非的谐波分量。第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随n的变化有起伏变化，但总的趋势是随着n的增大而逐渐减小。当n时，|Fn|0。,1、各谱线的幅度按包络线 的规律变化。在 各处，即 的各处，包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等 于零。,2、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说，它可分解为无限多个频率分量。,周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点:,3、周
8、期相同，脉冲宽度不同时信号的频谱：谱线间隔不变，但零点位置变化。周期不同，脉冲宽度相同时信号的频谱：零点位置不变，谱线间隔变化。相邻谱线的间隔 零，周期信号的 离散频谱 非周期信号的连续频谱。,通常把频率范围 称为周期矩形脉冲 信号的带宽，用符号 表示，即周期矩形脉冲信 号的频带宽度为。,周期相同，脉冲宽度不同:谱线间隔不变，但零点位置变化,周期不同，脉冲宽度相同:零点位置不变，谱线间隔变化,总结,1、傅里叶级数的三角形式2、傅里叶级数的指数形式3、周期信号的频谱及其特点。,3.2连续非周期信号傅里叶变换与频谱,前已指出，当周期信号周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱密
9、集成为连续频谱。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。,一、傅里叶变换,令,称 为频谱密度函数。,为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。,由式，可得,如何求频谱密度函数？,.,当周期 趋近于无限大时，趋近于无穷小，取其 为，而 将趋近于，是变量，当 时，它是离散值，当 趋近于无限小时，它 就成为连续变量，取为，求和符号改为积分。,于是当 时，式,成为,（1）式称为函数 的傅里叶变换。,（2）式称为函数 的傅里叶逆变换。,称为 的频谱密度函数或频谱函数.称为 的原函数。,简记为,与周期信号的傅里叶级数相类似，在f(t)是实函数时，F()、
10、()与R()、X()相互之间存在下列关系：,在f(t)是实函数时：(1)若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(j)为的实函数，且为的偶函数。(2)若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数F(j)为的虚函数，且为的奇函数。与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示式改写成三角函数的形式，即,结论：,上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦“分 量”所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率“分 量”。由式可见，相当于各“分量”的振幅，它是无穷小量。,所以信号的频谱不能再用幅度表示，而改用密度函 数来表示。类似于物质的密度是
11、单位体积的质量，函数 可看作是单位频率的振幅，称 为频谱密度函数。,例3.2-1 下图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号 表示，其宽度为，幅度为。求其频谱函数。,二、典型信号的傅里叶变换,解：如图所示的门函数可表示为:,其频谱函数为:,图 3.2-1 门函数及其频谱,一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 和相位 谱 两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱 函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。为负代表相位为，为正代表相位为。,由图可见，第一个零值的角频率为（频率）。,当脉冲宽度减小时，第一个零值频率也相应增高。对于矩形脉冲，常取从零频率到第一个零值频率 之间的频段为信号的频带宽度。,
12、这样，门函数的带宽，脉冲宽度越窄，其占有的频带越宽。,(时域越窄,频域越宽),例3.2-2 求下图所示的单边指数函数的频谱函数.,解:将单边指数函数的表示式 代入到式,中得：,这是一复函数,将它分为模和相角两部分：,幅度谱和相位谱分别为：,频谱图如下图所示：,图 3.2-3 单边指数函数,例 3.2-3 求下图所示双边指数信号的频谱函数。,解：上图所示的信号可表示为：,或者写为,将 代入到式，可得其频谱函数为：,其频谱图如下所示：,实偶,实偶,例3.2-4 求下图所示信号的频谱函数。,其频谱图如下图所示：,实奇,虚奇,例3.2-5 求冲激函数的频谱,即单位冲激函数的频谱是常数，如下图所示。其频
13、 谱密度在区间 处处相等，常称为“均匀谱”或“白色频谱”。,(时域越窄,频域越宽),例3.2-6 求单位直流信号的频谱,所以,图3.2-6 求 1的极限过程,0,2(),(b),0,t,1,(a),图 3.2-7 直流信号的频谱,(时域越宽,频域越窄),例3.2-7 求符号函数的频谱,符号函数定义为,显然,该函数也不满足绝对可积条件。,函数 可看作函数：,当 时的极限。,则它的频谱函数也是 的频谱函数，当 时的极限。,我们已知 的频谱函数为：,它是 的奇函数，在 处。,因此，当 趋近于零时，有：,于是得,它在 处的值等于零。,例3.2-8 求阶跃函数的频谱,对上式两边进行傅里叶变换，得:,图 3.2-9(t)及其频谱,其频谱的实部和虚部分别为:,频谱的虚部是 的奇函数，在 处其值等于零。,表 常用傅里叶变换对,续表,本节小结,1、非周期信号的频谱及特点2、几种典型的非周期信号的频谱,
