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1、人民大学物理系 韩强,第三章、相互作用量子系统,第零节、二次量子化回顾,三步完成二次量子化（捷径、不必严谨）1，单粒子力学量的对角表象简单的、特殊的2，数数counting3，表象变换一般化,多粒子问题的一次量子化描述N粒子态矢与力学量：,缺点1：,缺点2：对于粒子数不守恒的系统处理不方便！,引入多粒子问题的二次量子化描述态矢与力学量分别进行二次量子化的态矢空间(态空间)Fock空间,其中：HN 代表粒子数为 N 的全同粒子系统的Hilbert空间,1，Fock空间的基矢占据数表示，Fock表示,Fock空间：将各种粒子数的全同粒子系统的态(Hilbert)空间作直和，组成一个巨Hilbert
2、空间,单粒子态空间的基矢：,1.1、先找到单粒子态空间的基矢(单粒子基),|i是力学量完全集的共同本征矢！满足,：完备性,：正交归一性,i代表一组量子数态指标！,显然，|i 是某些力学量的对角表象!,举例：3D箱中的无自旋单粒子,或,或,基矢：,坐标算符：x,y,z的共同本征态,动量算符：px,py,pz的共同本征态,有自旋单粒子,注：态指标i依赖于力学量的选取！,1.2、Fock空间基矢的占据数表示,该基矢描述了任意单粒子态i上粒子的占据情况；是力学量完全集（一般情况下，无穷多）的共同本征态！,：完备性！,：力学量完全集！,引入粒子产生消灭算符：,表示在单粒子态 i 上产生或消灭一个粒子,1
3、.3、Fock空间基矢的二次量子化形式,实现态矢的二次量子化：,其中：,满足：,注：i态上的粒子数算符：,2，单体力学量的二次量子化,单体力学量(一次量子化的定义)：N个粒子各自的力学量之和.例如总动量，总动能，总外势能，总角动量、总自旋，粒子数,例：理想气体的哈密顿量,：单粒子哈密顿量,一次量子化：,：N粒子单体力学量,：单粒子力学量,问题：如何二次量子化？,第一步：取单粒子哈密顿量的本征态矢为基矢：,h的对角表象！,第二步：数数,核心思想：(1)对角表象(2)数数注：看起来似乎(过分)简单、甚至平庸！,推广到任意单体力学量的二次量子化,一次量子化：,取 f 的本征态作为单粒子空间的基矢：,
4、：N粒子单体力学量,：单粒子力学量,：f的对角表象！,F的二次量子化(对角表象)：,注：疑虑仍然存在，看起来虽然简单但似乎并不普遍！,单体力学量的二次量子化用产生消灭算符表达，选择单粒子基矢是单粒子算符f的本征基矢！任意单粒子基矢情况：,最后一步：表象变换,利用单粒子基矢的表象变换：,得到产生、消灭算符的表象变换：,代入,总结：任意单体力学量在任意单粒子基下的二次量子化,例：以下单粒子(电子，自旋)力学量的二次量子化1，2，3，4，,注：自旋的z分量；对角表象,注：自旋的x分量；sz的对角表象,表象不限,对角表象,公式：,hermitian conjugate,例：粒子数算符在任意单粒子基下都
5、是对角的,任意单体力学量的一次量子化,粒子数的一次量子化,二次量子化,例：动量算符P的二次量子化形式(3D箱，忽略自旋),表象变换（Fourier变换）：,坐标表象中的动量算符：,动量表象(对角表象),两个有用的公式：,公式1：,公式2：,证明：利用单粒子基的完备性,利用分部积分，可以得到其等价形式：,直接由坐标表象的结果推广到有磁矢势的情况：,等价形式：,严格的推导：,动量的一次量子化,例：总动能算符的二次量子化形式(3D箱),得到：,存在磁矢势的情况：,例：箱中的电子系统，其自旋的二次量子化,例2：对于以下几种单粒子(电子，自旋)密度量的二次量子化1，2，3，,粒子数密度,电流密度,自旋密
6、度,选择坐标表象：,例：粒子数密度,物理意义：R附近体积元中的粒子数！,容易验证：,单粒子力学量：,注：不要与第一章中的密度算符混淆，尽管存在联系！,利用表象变换：,取坐标表象(对角表象)，二次量子化：,或记作：,例：自旋密度算符,例：电流密度算符,一次量子化,二次量子化,一次量子化,二次量子化,推广到有磁矢势的情况：,考察哈密顿量的含磁矢势的部分：,与磁矢势对应的广义力即为电流密度算符的积分！,3，二体力学量二次量子化,二体力学量(一次量子化的定义)：N个粒子两两之间的力学量之和.例如总相互作用势能等等。,一次量子化：,：N粒子,通项：两粒子力学量,：单粒子力学量！,举例：两个电子间的库伦势
7、能,取f的单粒子本征矢作为基矢：,同一单粒子态上的粒子之间的相互作用能,不同单粒子态上的粒子之间的相互作用能,相互作用在对角表象中的二次量子化数数,二次量子化(过程略去)：,下一步：表象变换,其中：,二体力学量的二次量子化完成！,例：三维箱中的相互作用势能的二次量子化（动量空间）,一次量子化：,通项,二次量子化(坐标表象)：,问题：如何化到动量表象？方法1：利用场算符的表象变换方法2：利用公式,采用方案2：,变量代换,重要公式：,最后一步，用到了,互作用势的傅里叶变换！,汇总：,排斥势常用形式！,吸引势常用形式！,相互作用的物理过程散射：,散射过程（忽略自旋）：,初态是H0的任一本征态！,第零
8、节、练习题,1）短程二体势：,2）长程二体势：,Fourier变换得到,Fourier变换得到,有外场的三维箱中的相互作用全同粒子系TOE,其中：,习题：零温情况，3D箱，写出以下基态的二次量子化形式1，N个玻色子(无自旋，有质量)处于基态2，N个电子处于基态,例题：理想玻色气体中的非对角长程序考察单粒子约化密度矩阵,非对角长程序！,完成对k的积分，有,注意：,例题：理想费米气体中的Friedel Oscillation,零温下费米气体中的Friedel Oscillation,思考题：温度对Friedel Oscillation的影响（可以考虑高温极限，即玻尓兹曼分布）,第一.1节、二次型哈
9、密顿量的对角化,：线性代数里面的二次型函数Bilinear,Quadratic,：上一节的哈密顿量的具有类似的形式,一般的单体Hamiltonian厄密算符,厄密性,目标：将二次型哈密顿量对角化！找到本征能量与本征基！即：,哈密顿量的矩阵形式：,U：Unitary Matrix,厄密矩阵的(形式)对角化,哈密顿量的对角化,对角化完成找到了(单粒子)本征能量与本征基！,注1单粒子基的变换,注2粒子数算符始终是对角的,注3逆变换,注4无相互作用多粒子问题再讨论,巨配分函数：,易证：,练习题：,利用注3！,举例1：耦合二能级（态）系统的对角化,单粒子基：,可以化为耦合二能级系统的问题：H2，磁场中的
10、电子自旋，聚乙烯，Graphene(石墨烯)等等！,总粒子数！,的对角化！,本征能量：,变换矩阵U的解法本征方程的求解,本征函数的求解过程：,决定了u,v之间的相对位相！,一般约定 u 为正的实数，即位相为0！,定出v的位相,以下讨论仅限于 t为负实数！,不妨令：,本征方程求解完毕！,Hamiltonian的对角化：,“成键态”与“反键态”：,单电子hamiltonian的一次量子化形式！难以严格对角化！,H2中的电子问题(忽略相互作用),首先建立在双质子势场中的电子Hamiltonian的二次量子化形式,其中：,单粒子基的选取：,二能级简化！,代表中心在R点的氢原子本征态矢！,即：,为基态,
11、矩阵元的计算：,Tight Binding近似,反键态！,成键态！,举例2：H2的推广一维分子链，能带,1D链 周期边条件,晶格常数：a=1格点数：N链长：L=Na=N,单粒子基：,在位能：,跃迁能：-t,消灭算符：,周期性！,如何对角化？,利用Hamiltonian的平移对称性本征态应是平面波！,类比连续体系：,利用场算符的Fourier变换！,或,1维分立体系(周期性边条件)的平面波函数：,幺正变换！,态矢,易证：,利用：,逆变换：,代入,Hamiltonian中的1项,利用,取厄密共轭，推出：,对角化完成！,单粒子态密度的计算：,举例3：一维闭链的推广二维正方网格(周期边条件),第一.1
12、节、练习1,请对角化该哈密顿量，得到本征能谱，并分析其能带宽度与 t 和 t 的关系。,一维闭链近邻与次近邻跳迁,第一.1节、练习2,1,2,3,2N-1,2N,周期边条件！,请对角化该哈密顿量，得到本征能谱，并作图(N趋于无穷),注：,一维闭链二聚化！,1D开链开放边条件哈密顿量的对角化,思考题：1,二维三角网格的哈密顿量的对角化,思考题：2,注：每个格点有6个最近邻,二维蜂巢网格的哈密顿量的对角化Graphene,思考题：3,碳60分子：,思考题：4,碳纳米管：,思考题：5,第一.2节、Bloch-de Dominisis 定理,已对角化的单体广义哈密顿量！,目的：计算“偶数”个产生消灭算
13、符乘积的系综平均（Wick定理）,定义 两个算符乘积的“收缩”：,定义：2s 个算符乘积的“完全收缩系”：将乘积分成 s 对，并将每一对算符代之以相应的收缩，在费米统计下还须乘以(-1)P，其中P代表全部算符从原来位置变到各自收缩中相邻位置时，所必需的对换数。,其中P为由序列(123456)变到(152346)时的对换数，所以P=3。,2s 个算符的乘积可以构成,Bloch-de Dominisis 定理：对于已对角化的单体哈密顿量，产生消灭算符乘积的统计平均值等于这个乘积所有可能的完全收缩系之和。,可以算出：,意义：把一系列算符乘积的平均化成最小单位“二元”平均的乘积之和,Bloch-de
14、Dominisis 定理推论,对于可对角化的单体哈密顿量，产生消灭算符乘积的统计平均值等于这个乘积所有可能的完全收缩系之和。,引理 1：,证明：,Bloch-de Dominisis 定理的证明：,引理 2：,运动方程解法！,综合引理2、3：对于产生或消灭算符 A,引理 4：,证明：,下面只针对玻色统计，有,归纳法：,引理 5！,对上式左右两边取统计平均：,注解 1：,利用引理 4，,注解 2：,重复以上过程，针对玻色统计情况的Bloch-de Dominisis定理得证！,作业：证明对于费米统计，,思考：Bloch-de Dominisis定理与Wick定理的联系与区别？,为什么引入平均场方
15、法？,无相互作用的多粒子系统，只要知道单粒子态（本征能量、本征态矢），就可以知道多粒子系统的统计性质！（难度：单粒子哈密顿量的对角化）,(b)有相互作用的多粒子系，占据数表象不再是系统的本征表象（系统的本征能量 不再是单个能级上的粒子能量之和），因此需要知道整个系统的量子态！而不仅仅是单粒子态！（难度：多粒子哈密顿量的对角化）,第一.3节、Hartree-Fock“自洽”平均场方法,平均场方法化二体算符为单体算符的近似方法！,有相互作用时的Hamiltonian,|n代表的是多粒子能量本征态,统计力学变分原理：,已知Hamiltonian：,密度矩阵：,热力学势：,做任意分解：,密度矩阵：,其
16、中：,意义：对于一个难以对角化的哈密顿量，可以尝试将其分解出一个容易对角化的部分，尝试得到巨势的较好的估计！,证明：利用第一章引理,Hartree-Fock近似将难以对角化的二体项近似为容易对角化的单体项的一种办法，,T=0 K时，二体项可以利用Wick定理进行分解：,Hartree-Fock近似：,T=0K时，代表基态平均！T0K时，代表系综平均（密度矩阵待定）！,HartreeDirect,FockExchange,Hartree平均场,Fock平均场,注意：平均场哈密顿量中的系综平均如何进行仍未可知！,显然,综合：Hartree-Fock“自洽”平均场方法！,Hartree-Fock自洽
17、方程（组）：,其中：,两端都含有未知量,更一般的：Hartree-Fock-Bogoliubov自洽平均场,Hartree-Fock-Bogoliubov自洽方程（组）：,特例：坐标空间的Hartree-Fock近似,费米子,自能的概念self energy：粒子间相互作用对单粒子能量的贡献！,HartreeDirect,FockExchange,第一.4节、金属巡游铁磁理论Hubbard模型的平均场解法,电子间的相互作用(库仑排斥)会导致自发磁化铁磁：,Fe：Tc=1043K Ni：Tc=628KCo：Tc=1388K,理想（无相互作用）电子气的Pauli顺磁性：,练习！,单带Hubbard
18、模型：,平均场近似：,注意：区别于描述“局域”自旋的模型Heisenberg模型,考虑空间均匀的情况：即平均值与空间位置无关,已对角化！“理想”电子气体！但是：,m:描述铁磁-顺磁相变的序参量！,由相互作用导致的“等效”“自洽”的磁场,Pauli顺磁是由外磁场引起的，而铁磁性是存在相互作用的情况下的“自发磁化”现象！,Pauli顺磁相比：,建立自洽方程：,其中N代表格点总数，f(E)为费米分布函数,关于平均场m,n的自洽方程组！,求和化积分：,用一个近似：当费米能量在能带底部附近时，可以将电子色散关系近似为抛物线型，从而态密度近似为3D自由电子态密度！结合Pauli顺磁的知识，求解该方程组并不
19、困难！,T=0K 的情况Stoner判据,Stoner判据！,图解法！,练习题：U至少要多大才能在零温时达到饱和磁化！,居里温度Tc的确定：,利用T-Tc时，m-0,将右边展开到m的线性项,要求：,二维正方晶格上Hubbard模型的反铁磁(自旋密度波)态,Hartree平均场近似,练习：1),利用产生消灭算符的傅里叶变换将上述哈密顿量在动量空间中表达；2),将变换后的哈密顿量对角化；3),给出序参量m的自洽方程，并在半满(格点平均电子数=1)的情况下进行讨论。,自旋(电荷)密度波，超导等实验现象,建立模型哈密顿量,平均场哈密顿量,对角化,序参量自洽方程，平均场自由能，热力学量等,Hartree
20、-Fock近似,二次型(单体)哈密顿量,二体哈密顿量,第二节、超导理论中的二次型“哈密顿量”的对角化二能级系统,费米子代数：,可见：,目标是求巨配分函数：,常数不会带来困难：,为什么Nambu表示？,(Fermion)particle-hole transformation!,回到1.1节的二能级系统！,c仍是费米子算符!,本征能量：,本征向量：,令,本征能量与本征向量,对角化完成！,称为：Bogoliubov准粒子算符！,Bogoliubov准粒子变换！,Bogoliubov准粒子是粒子与空穴的线性组合！,反对易关系,验证：,Bogoliubov逆变换,讨论1：体系的基态能量(严格说应该是巨
21、热力学势)T=0K,代表Bogoliubov准粒子的数目,对角化之后的讨论基态“能量”与基态波函数,讨论2：体系的基态波函数,准粒子真空态！,二能级费米系统的Fock空间的基：,或,基态波函数的构建：,利用准粒子真空的条件，确定叠加系数x!,归一化的波函数！,直接验证,其他思路！,本征态：,薛定谔方程：,等等！,练习题1：求任意温度下的平均粒子数,提示：利用,练习题2：验证任意温度下序参量,第三节、玻色超流理论中的二次型哈密顿量的对角化：二能级系统,玻色子代数：,Intuition：Nambu once again?,Fail!Because no particle-hole transfor
22、mation for boson!,Whats this?Who knows!,Solution：Bogoliuvbov quasiparticle transformation again!,Bogoliubov 准粒子算符：粒子产生-消灭算符的线性组合！,容易得到逆变换：,u,v由一下条件确定1）准粒子满足的对易关系2）使哈密顿量对角化,逆变换！,Bogoliuvbov quasiparticle inverse-transformation!,u,v的确定,目标：对角化！要求：,将,代入以上哈密顿量，合并同类项,联立,？,对角化完成！,将,代入哈密顿量,玻色超流,费米超导,总结：,变换,
23、逆变换,讨论1：体系的基态能量，T=0K,代表Bogoliubov准粒子的数目,对角化之后的讨论基态“能量”与基态波函数,讨论2：体系的基态,基态是准粒子真空态！,二能级玻色系统Fock空间的基：,基态波函数的构建：,利用准粒子真空的条件，确定叠加系数C(na,nb)!,利用公式,合并同类项,即：,由递推关系联系的点构成线！如图所示：,同理，由,00,10,20,由递推关系，以及,可知：,综合：,相干态！,对于费米超导二次型哈密顿量的基态：,问题：玻色超流哈密顿量的基态可以表达成相干态的形式，那么费米超流问题呢？,练习题：单能级玻色超流哈密顿量,1）、已知玻色子广义哈密顿量：,引入Bogoli
24、ubov变换,其中 u,v 0,练习：,2）、上题中玻色子哈密顿量若含有线性项，即,其中C为实常数，将该哈密顿量对角化,思考题1：请计算玻色超流基态波函数的归一化因子C(0,0),思考题2：对玻色超流体系，尝试建立一种矩阵对角化方法？,第二节补充、(电子)超导理论中的二次型哈密顿量的对角化更一般情况的讨论2n能级系统,n=1 时，回到第二节！,Nambu表示：,用计算机将2n*2n的厄密矩阵对角化即可！,2n*2n维方程！称为Bogoliubov-de Gennes(BdG)方程！,BdG方程,第三节补充、玻色超流理论中的二次型哈密顿量的对角化更一般情况的讨论n能级系统,n=2 时，回到第三节
25、！n=1时回到第三节习题！,可以证明：,引入广义Bogoliubov准粒子变换：,Bogoliubov准粒子变换的矩阵形式：,由Bogoliubov变换引入的准粒子产生消灭算符须满足,矩阵形式：,类似于归一化条件！,类似于正交条件！,代入Bogoliubov变换:,得到逆变换：,逆变换！,参数 u,v 应使哈密顿量对角化：,由此可以得到参数 u,v 满足的方程。,首先考察准粒子产生消灭算符满足的运动方程：,其次考察原粒子产生消灭算符满足的方程：,变换参数 u,v 所满足的本征方程？,将逆变换代入上式：,并考虑到准粒子算符的运动方程，得到,比较准粒子产生、消灭算符的系数,本征方程！,矩阵形式：,
26、决定本征值的方程！,问题 1：本征值是 实数 吗？,考察内积：,问题 2：久期方程是 2n 维的，应该有 2n 个本征态，但是最初裸玻色子只有n个能级，因此应该从2n的本征态中选择n个！如何选取？,引理：若存在本征值 E,则E 也是本征值！,由,其中，E对应的本征态为,-E 对应的本征态为：,因此，久期方程的 2n 个本征值可分为 n 对(E,-E)，为保证结果的正定性，应取大于0的 n 个本征值！,第四节、玻色超流体的宏观(Landau)与微观(Bogoliubov)理论,1、液He4的超流现象回顾,He4 气体在4.2 K时变成液体，再降低温度至=2.17 K，它突然变成没有粘滞性的“超流
27、体”。称为相变，因为此时测量He4的比热-温度曲线像希腊字母。这是1938年苏联的卡皮察与美国的阿仑和迈斯纳两个研究组同时发现的。,液He II,液He I,温 度,压 强,液He4相图,固体,理想玻色气体BEC“简并”,几个月后，伦敦提出一个定性解释：He4原子是由2个质子和2个中子形成的He4原子核加上核外2个电子组成的，这样He4原子就是玻色子：具有交换对称性。对于这样一个玻色子系统，依照氦原子的质量和密度计算，玻色-爱因斯坦凝聚发生在温度为3.14K,超流更加复杂！,2、Landau超流理论元激发方法,元激发(elementary excitation)：宏观多体系统基态附近的低能激发
28、态可以看做是独立的最小的激发单元的集合，这些最小激发单元就是元激发，往往具有确定的能量、动量、自旋等性质，有时称为准粒子。因此低能激发态可以看做是准粒子(元激发)构成的理想气体。,举例：固体中的声子phonon，金属中的准电子，准空穴，磁性材料中的磁振子magnon。,Landau 1941年首次引入元激发（准粒子）的新概念比基态能量高的激发态。具有一定能量、质量和速度的“准粒子”，描述系统基态因相互作用或温度激起的集体运动模式。朗道认为，基态代表超流体，低能激发态对基态的偏离相当于在基态背景(超流体成分)上产生了由准粒子组成的理想气体(正常流体成分)。在温度T是绝对零度时，不存在准粒子；在0
29、T时，He-II中存在由两类的准粒子(声子和旋子)组成理想气体。温度超过，氦液体是正常液，这就是He-相。朗道预言了两种准粒子(声子和旋子)的能量、速度关系,Landau元激发方法的物理意义：,(b)有相互作用的多体系，占据数表象不再是系统的本征表象（系统的本征能量 不再是单个能级上的粒子能量之和），因此需要知道整个系统的量子态！而不仅仅是单粒子态！（难度：多粒子薛定谔方程的解）,无相互作用的多体系统，只要知道单粒子态（本征能量、本征态矢），就可以知道多体系统的统计性质！（难度：单粒子薛定谔方程的解）,(c)把有相互作用的多体系“想象”成是由无相互作用的“准粒子”构成的理想气体。“准粒子”的能
30、动量关系等性质可以根据实验给予合理假设。,1964 年授予朗道诺贝尔物理学奖的理由也是“他对于凝聚态物质特别是液氦的先驱性理论”-这个理论并没有冗长繁杂的数学推演，有些甚至是靠物理直觉“猜”出来的,1958年，苏联原子能研究所为庆贺Landau五十岁生日，送给他的刻有其在物理学上最重要的10成果的大理石板,朗道十诫,1)密度矩阵(1927年)；2)自由电子抗磁理论(1930年)；3)二级相变理论(1936-1937年)；4)铁磁磁畴理论(1935年)；5)超导体的混合态理论(1934年)；6)原子核统计理论(1937年)；7)液氦超流理论(1940-1941年)；8)基本粒子的电荷约束理论(1
31、954年)；9)费米液体的量子理论(1956年)；10)弱相互作用的CP不变性(1957年)。,Landau唯象理论给出的主要结果：,Donnelly et al.,J.Low Temp.Phys.(1981)Glyde et al.,Euro Phys.Lett.(1998),超流临界速度的Landau判据：,T=0K 时，体系处于基态超流体，保持宏观静止，一个障碍物在超流体中以某一初速度v运动，如图：,超流体,M,障碍物的动量：,障碍物的能量：,若障碍物与超流体相互作用，产生1个准粒子(声子)：,则障碍物状态变为：,根据能量守恒、动量守恒：,类似的效应：Cherenkov radiatio
32、n（切伦科夫辐射）高速带电粒子在非真空的透明介质中穿行，当粒子速度大于介质中的光速时所产生的一种特殊辐射。,3、稀薄玻色气体的Bogoliubov平均场理论声子激发的微观理论,“近”理想简并玻色气体：,“近”理想：弱相互作用,综合：3个尺度的关系,稀薄气体,量子效应,广义哈密顿量：,含相互作用的哈密顿量（非二次型），一般情况下无法严格求解。需要引入近似！以下仅在 T=0K下展开讨论！,T=0K,采用 Ritz 变分原理试探波函数的思想,性质：,A),N:粒子数平均值！,BEC的相干态描述！,B),互作用项：,导致粒子的散射！即使在零温下粒子也不再完全处于k=0的单粒子能级上！,考察：,铺垫：第
33、三节、玻色超流理论中的二次型哈密顿量的对角化,对角化的结果：,基态波函数：,基态热力学势（一部分）：,“组装”总的波函数：,热力学势：,N0的确定（1）（化学势与N0的关系）：,再代入准粒子色散关系：,其中声速的定义：,1，从微观上验证了Landau的猜测2，临界超流速度与相互作用有关！,N0的确定（2）：,积分：,非线性方程，迭代求解：,零级近似：,BEC凝聚！,1级近似：,总结：通过平均场方法（变分）和Bogoliubov变换，把相互作用的玻色体系化为无相互作用的（理想）准粒子（玻色）气体！,相互作用的玻色子,无相互作用（理想）的准粒子,裸粒子,准粒子,单粒子色散,单粒子色散,化学势,化学
34、势,平均粒子数,平均准粒子数依赖于温度,（准粒子不守恒）,讨论：通过对一个微观哈密顿量在平均场近似下的研究，Bogoliubov给出了线性准粒子（声子）激发谱，从而可以解释低温比热的T3的行为。这给朗道唯象理论提供了微观基础！但该模型是在弱相互作用条件下（稀薄玻色气体）成立的，真正的He4超流体是强相互作用的（玻色液体），这一点要注意！实验已经证实，He4超流体在零温下凝聚在k=0上的玻色子数目10%大部分玻色子占据高能态上！Bogoliubov微观理论无法给出旋子型元激发。Feynman,Phys.Rev.91,1301(1953);Phys.Rev.94,262(1954),思考：理想玻色
35、气体在T=0K是处于BEC状态，请根据Landa判据论证是否可以超流？,1）、请根据,计算压强,2）、根据,1、玻色超流体中的声速：,练习：,思考题：,第五节、费米超流体BCS超导理论（平均场）,玻色超流,费米超流(超导),朗道超流理论,朗道超导理论,Bogoliubov平均场理论,BCS超导理论,宏观唯象,微观,液He4,液He3,超冷玻色气体,超冷费米气体,超导体,补充知识 1：Cooper pair（库伯对、电子对）费米面失稳,Toy model:限制性两体问题！T=0K时，在费米球外附加两个电子，这两个附加的电子之间有吸引相互作用。费米球给两外来电子提供了(动量空间)的“背景”，它通过
36、Pauli不相容原理影响两个电子的运动，使得它们只能占据费米球之外的态思考：需要费米海作为背景？,薛定谔方程求基态解,分离变量！,费米子波函数交换 反对称性：,注意：由于费米球的存在，以上k均在大于费米波矢！,考察：,如何解？,这表明，当费米面外的两个电子存在吸引相互作用U时，不论U多小，都存在一个电子对束缚态。称为Cooper对。更进一步可以看出，这将导致费米面的不稳定性。,思考题2：当两电子波函数取自旋三重态时，例如：,请论证将不会有束缚态存在，因此也不会导致费米面失稳。,思考题1：请推导电子对相对运动波函数的近似行为：,补充知识 2：吸引力的来源电声相互作用，BCS约化哈密顿量,电子-声
37、子系统的哈密顿量：,通过正则变换，可以化为“有效”哈密顿量：,“有效”哈密顿量的简化：,再次化简：,表面上看起来，任意k点的电子均与附近的电子有吸引作用。好像配对可以在整个动量空间发生。,但是，费米海深层的电子无法散射到空态上去（Pauli不相容原理），因此只有费米面附近的电子能够从吸引作用中受益，形成Cooper对！,相空间分析：,给定质心动量K，可以看出，黄区内的电子可以和绿区内的某一对应电子发生散射，散射后的两个电子仍然在黄区和绿区。黄区和绿区的面积代表相空间的大小！,质心动量K=0时，黄区（绿区）扩大到整个能壳，此时相空间最大！,所以，取出贡献最大的项：,BCS 约化哈密顿量：,不作特
38、殊说明，以后的求和均在能壳内进行！,相互作用项的Bogoliubov平均场分解：,引入自洽平均场配对势：,BCS平均场哈密顿量：,分析0：T=0K时,BCS基态波函数：,历史：值得一提的是，实际上BCS在求解哈密顿量的时候并没有采用平均场分解的方式，而是通过“猜”基态波函数的方式，而且刚好猜对了。,BCS基态波函数中电子的真实分布：,分析1：准粒子能谱激发能隙Gap,Ek代表了超导体低能激发的最小单位！,准粒子态密度：,利用：,其中：,正常态单电子态密度,分析2：自洽能隙方程的推导,练习：计算超导态电子（裸粒子）态密度,关于能隙的自洽方程能隙方程（gap equation）！,求和化积分：,能
39、隙方程的积分形式！,分析3：T=0K 下的能隙,分析3：T=0K 下的能隙,可见：尽管电子存在相互吸引的能量范围可以较大(德拜频率)，但产生的能隙往往很小！,分析4：超导相变温度,分析5：BCS 普适常数（不依赖于材料）,强耦合理论：Eliashberg,分析5：能隙随温度的变化关系：,分析7：比热与比热跳变,准粒子理想气体！,利用了,利用了：,普适常数！,练习：超导体在T=0K附近比热随温度的变化：,思考：通过考察准粒子能谱，并根据朗道的超流判据，给出超导体临界电流。,第六节、正常费米液体的朗道唯象理论,对象：量子费米“液体”（液氦He3，金属，原子核等）,量子（简并）液体：,正常态：相对于
40、“反常态”（He3超流、金属(电子)超导）无序到有序相变之前的理论！,实验观测到的费米液体的低温行为与理想费米气体的理论预期定性一致，定量上往往差一个因子：,朗道唯象理论的实验基础：,定性上：,定量上：,费米液体：,单独质量重整还不够！,举例1：He3的低温比热,理想费米气体的比热,He3的低温比热：质量重整化,举例：重费米子材料,CeAl3CeCu2Si2CeRu2Si2UPt3等,Wilson比值!,电阻率,其他费米液体的性质：,金属中简并电子气电子间相互作用可以看做微扰吗？,单电子动能：,单电子势能：,动能、势能相当！,在高密度下，电子动能为主，自由电子气模型是较好的近似。在低密度下，电
41、子之间的势能或关联变得越来越重要，电子可能由于这种关联作用进入液相甚至晶相（Wigner Crystal）。对于金属来说，两者相当！,Landau元激发的思想：,相互作用的量子体系的困难在于确定整个系统（宏观多体系统）的量子态,但是，在足够低的温度下，只需要考虑基态以及低能量的激发态（元激发）。,Landau根据实验预期，费米液体中的低能量激发态应该跟理想费米气体的低能激发态类似！在研究He4超流现象时，Landau曾成功地应用元激发（声子，旋子）的思想。,理想费米气体的基态与激发态粒子数守恒(N)体系,基态：,N 个 1,仅限于三维各向同性情况！,暂时不考虑费米子自旋！,基态：费米海,最简单
42、的激发态粒子-空穴对元激发：,N-1 个 1,本征能量！,更一般的，任意偏离费米海基态的分布都代表一个激发态：,其本征能量为：,温度不为零时，体系的内能表达式：,量子数,0或1,FD分布函数,平衡分布相对于费米海的偏离导致内能的变化！,总之：理想气体所有本征态可以用占据数标记,本征能量是nk的线性函数,对于费米气体，由于费米面的存在，任何相对于费米海基态发生的偏离都对应着体系的一种激发态，其中包括了最简单的电子-空穴型的元激发！,任意温度时，分布偏离费米海基态，内能表达式为：,FD分布函数(区别于量子数)！,朗道预期，当费米子(裸粒子)之间存在相互作用时（费米液体），可以引入“准粒子”(dre
43、ssed particle)代替裸粒子(bare particle)，那么准粒子将构成“近”理想费米气体，并继承裸粒子的主要性质，1，继承了费米面，相同的费米波矢kF，费米动量pF2，准粒子与裸粒子数目相同3，电荷相同，自旋相同4，准粒子与费米气体的在费米面附近的色散关系相似(质量不同)5，费米液体的激发态来自于准粒子分布相对于准粒子费米海基态的偏离，元激发分为粒子型元激发和空穴型元激发，但是元激发之间存在相互作用。,准粒子(费米型)的对角单体项,元激发相互作用项,常数项,类比，固体晶格,声子,声子相互作用,可以预见费米液体的内能形式（最终形式见后）：,以及玻色超流体(He4),费米气体中裸粒
44、子的色散：,费米液体中准粒子的色散(费米波矢附近)：,m*：有效质量！,朗道基本假设：费米液体的能量本征态可以按照理想费米气体同样的原则构造，两者存在一一对应。即它们都可以用同一组量子数即“占据数”nk（nk=0,1）标记，本征能量是nk的函数。给出理想费米气体的占据数nk（每个单粒子能级k上的粒子数目为nk，则理想费米气体的能量本征态为|nk，本征能量是关于nk的多元线性函数则费米液体的本征态同样可以用nk标记，即|nk，其本征能量为E(nk)，是关于nk的多元(非线性)函数。,朗道基本假设,思想：绝热衔接 adiabatic continuity工具：绝热定理 adiabatic theo
45、rem,瞬时能量本征态：,朗道基本假设的论证,举例：在无限深势井中足够缓慢的引入抛物线型势，从而给出能量本征态之间的一一对应！并且标记本征态的量子数不变！,受此启发，朗道设想（思想实验）可以无穷慢的引入费米子之间的相互作用力,那么理想费米气体的能量本征态将一对一的演化为费米液体的能量本征态，且标记它的量子数保持不变！,理想费米气体,费米液体,幺正算符！,解薛定谔方程，得到时间演化算符：,：负无穷远时刻，系统处于瞬时本征态,按照绝热定理，从负无穷远时刻的瞬时本征态(费米气体H0)演化到0时刻的瞬时本征态(费米液体H=H0+Hint)！,费米液体的本征态！,容易验证：准粒子算符是费米子算符！,Dr
46、essed particle(区别于Bare particle),其中，我们定义了Dressed Particle(准粒子),根据 绝热定理：,费米液体的能量本征态可以按照理想费米气体同样的原则构造，即它们都可以用同一组“量子数”nk（nk=0,1）标记，本征能量是nk的函数。其本征能量为E(nk)，是一个关于nk的多元函数。,注意本征能量的形式是未知的！,推论1：粒子数与准粒子数相同,推论2：粒子的总动量与准粒子的总动量相同,推论2：粒子的总自旋与准粒子的总自旋相同,理想费米气体与费米液体的基态的对应：,推论3：费米面的继承，费米液体基态准粒子费米海、费米面,可以看出：费米气体与费米液体具有
47、同样的费米动量（继承）！,费米液体中元激发准粒子，准空穴元激发,费米液体中准粒子-准空穴激发态！对费米海的最小偏离！,总之：尽管费米子间有相互作用的存在，但只要把粒子改成准粒子（dressed），1，对本征态的描述方法（占据数表示）不变！其量子数不变2，准粒子遵从费米统计3，费米面不变，费米波矢与费米动量不变！4，准粒子数与裸粒子数相同(费米面包围的面积不变)，等等。,推论4（朗道基本假设）：费米液体的内能是分布的多元函数（当k连续时，内能是分布函数的泛函）,因此可以将U(nk)（多元函数）在零温分布nk0附近Taylor展开！因此考察的是对准粒子费米海的偏离！注：在连续极限下，分布是k的连续
48、函数，U是分布的泛函，相应的展开就是泛函展开！,小量！,多元函数的泰勒展开（2阶）！,参考二元函数的泰勒展开：,引入：零温时准粒子的“能量”,“元激发”间的相互作用,元激发：分布相对于费米海的偏离！,总结朗道费米液体理论以准粒子代替裸粒子，并假设费米液体低能激发态与费米气体低能激发态存在一一对应关系。,费米气体：,费米液体：,严格的！,根据假设可知内能是分布的多元函数(泛函)在基态分布附近做Taylor展开得到的以上公式！,朗道费米液体参数,考虑到费米液体中准粒子的色散与费米气体的相似性：,m*：准粒子的有效质量朗道参数！,回忆He-II,推论5：费米液体的熵是分布的多元函数,费米气体的熵：,
49、根据对应关系，费米液体的熵与费米气体具有同样的形式。,推论6：费米液体的巨势是分布的多元函数,非零温时准粒子的分布,利用：,非零温时准粒子的分布满足极值条件:,利用：,看起来与理想气体的平衡态分布一致，但也要留意相互作用带来的区别联立的方程组！,准粒子能量,1)，有效质量的确定,理想气体裸粒子色散：,费米能附近态密度：,准粒子色散：,费米能附近态密度：,2)，朗道参数fk,k的确定，多级展开,用到了近似：对于低能量激发k,k在费米波矢kF附近，因此相互作用近似只依赖于方向角,用Legendre函数展开！,一般来说只需要低级展开！,考察液体的动量：,2.1)，f1与有效质量m*的关系,准粒子群速
50、度：,分部积分,对k的求和化为积分，并采用球坐标；另外只有z方向(k方向)的分量积分不为零！,代入：,2.2)，f0a与磁化率关系，费米液体对外场的响应,有自旋费米子的内能公式：,相互作用的分解：,外场B，Pauli顺磁：,平均场近似（多次发明的理论）：,与自旋有关的相互作用！,区别FD分布的符号f与相互作用的符号f,平衡态分布：,磁化强度：,1阶Taylor展开！,对零温，零场分布非偏离,与k,k的相对方向有关,分布各向同性，与k长度有关，与方向无关！,与费米气体的结果相比，分子上有来自m*的修正，分母上有来自元激发相互作用的修正！,Wilson Ratio,比热系数：,磁化率,费米气体的结
