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1、4.2.3 夫朗和费单缝和多缝衍射(Fraunhofer diffraction by single-slit and multiple slits),1.夫朗和费单缝衍射,2.夫朗和费多缝衍射,1.夫朗和费单缝衍射,如果矩形孔一个方向的尺寸比另一个方向大得多，如b a，则该矩形孔的衍射就变成一个单缝衍射。,1.夫朗和费单缝衍射,按照(22)式，衍射屏上 P 点的光场复振幅为,式中，是观察屏中心点 P0 处的光场复振幅。,1.夫朗和费单缝衍射,式中，,为衍射角。在衍射理论中，通常称（sin/)2为单缝衍射因子。,相应 P 点的光强为,1.夫朗和费单缝衍射,在单缝衍射实验中,常采用与单缝平行的线
2、光源,此时 在观察屏上将得到一些与单缝平行的直线衍射条纹,(1)单色光照明的衍射光强分布,当0，对应于0 的衍射位置是光强中央主极大值(亮条纹)；,(1)单色光照明的衍射光强分布,当 m，对应于满足,的衍射角方向为光强极小值(暗条纹)。,对(51)式两边取微分，有,(1)单色光照明的衍射光强分布,(1)单色光照明的衍射光强分布,由此可得相邻暗条纹的角宽度为,(1)单色光照明的衍射光强分布,在衍射角很小时，相邻暗条纹的角宽度为,(1)单色光照明的衍射光强分布,对于中央亮条纹，其角宽度 0 为 的两倍，即,(1)单色光照明的衍射光强分布,当 一定时，a 小，则 大，衍射现象显著。,(1)单色光照明
3、的衍射光强分布,当a100 时，0.5730，即第一极小偏离入射光方向仅 0.5730，光能量的大部分沿00 方向传播，衍射不明显，可视为直线传播;当 a10 时，第一极小偏离入射光方向达 570，衍射效应显著；当a=时，900，中央主极大已扩大到整个开孔的几何阴影区。,(2)白光照明,白光照明时，衍射条纹呈现彩色，中央是白色，向外依次是由紫到红变化。,2.夫朗和费多缝衍射,多缝是指在一块不透光的屏上，刻有 N 条等间距、等宽度的通光狭缝。,2.夫朗和费多缝衍射,沿 x1 方向的缝宽为 a，相邻狭缝的间距为 d，不透光缝宽度 b,其关系如下：d=a+b(也叫光栅常数)。,2.夫朗和费多缝衍射,
4、夫朗和费单缝和多缝衍射的区别：,2.夫朗和费多缝衍射,由于 L2 的存在，使得衍射屏上每个单缝的衍射条纹位置与缝的位置无关。,L2,L2,2.夫朗和费多缝衍射,每一个单缝都要产生自己的衍射，形成各自的一套衍射条纹。,当每个单缝等宽时，各套衍射条纹在透镜焦平面上完全重叠，其总光强分布为它们的干涉叠加。,1)多缝衍射的光强分布,则 N 个狭经受到平面光波的垂直照射。如果选取最下面的狭缝中心作为 x1 的坐标原点。,1)多缝衍射的光强分布,按照(22)式，观察屏上 P 点的光场复振幅为,1)多缝衍射的光强分布,式中,它表示在 x1 方向上相邻的两个间距为 d 的平行等宽狭缝，在 P 点产生光场的相位
5、差。,1)多缝衍射的光强分布,相应于 P 点的光强度为,1)多缝衍射的光强分布,上式中，是单缝衍射情况下 P0 点的光强。,1)多缝衍射的光强分布,平行光照射多缝时，其每个狭缝都特在 P 点产生衍射场，并引起干涉叠加。因此，多缝衍射现象包含有衍射和干涉双重效应。,1)多缝衍射的光强分布,由(56)式可见，N 个狭缠的衍射光强关系式中包含有两个因子：一个是单缝衍射因子(sin/)2,另外一个因子是sin(N/2)/sin(/2)2。,1)多缝衍射的光强分布,它是 N 个等振幅，等相位差的光束干涉因子。因此多缝衍射图样具有等振幅，等相位差多光束干涉和单缝衍射的特征。,1)多缝衍射的光强分布,为简单
6、起见，我们以双缝衍射情况予以说明。此时，N2，P 点的光强为,1)多缝衍射的光强分布,根据上个式子，绘出了如下图所示的d3a 情况下的双缝衍射强度分布曲线：,cos2(/2),1,0,m=-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8,m=-8-6-4-2 0 2 4 6 8,/2,I0(sin2/)cos2(/2),sin2/2,0,1,n=-3-2-0 2 3,1)多缝衍射的光强分布,其中:(a)是等振幅双光束干涉强度分布 cos2(/2)曲线；(b)是单缝衍射强度分布(sin/)2 曲线；(c)是双缝衍射强度分布曲线。双缝衍射强度分布是等振幅双光束干涉和单缝衍射的共同作
7、用结果，实际上也可看作是等振幅双光束干涉受到单缝衍射的调制。,I,-,-2,2,衍射条纹的形成,N=5;d=3a,/2,3,6,-3,-6,/2,m=-5-4-2-0 2 4 5,n=-2-0 2,N=4,d=3 a,-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6,m=-6-5-4-3-2-0 2 3 4 5 6,n=-2-0 2,-2-1 0 1 2,/2,/2,I,2,4,5,-,-2,-4,-5,N=3,I,N=5,2,4,5,-,-2,-4,-5,N=2,N不同的光栅光强,d=3a,/2,/2,/2,/2,N=2,双缝衍射,d=3a,I,d=4a,d=5a,/2,1)多缝衍射的光
8、强分布,为了清楚起见，下图给出了夫朗和费单缝和五种多缝的衍射图样照片（N 分别等于1、2、3、5、6、20）。,1)多缝衍射的光强分布,多缝衍射是干涉和衍射的共同效应，它可看作是等振幅、等相位差多光束干涉受到单缝衍射的调制。,1)多缝衍射的光强分布,单缝衍射因子只与单缝本身的性质有关，而多光束干涉因子则因源于狭缝的周期性排列，与单缝本身的性质无关。,1)多缝衍射的光强分布,如果有 N 个性质相同，但形状与上述狭缠有异的孔径周期排列。则在其衍射强度分布公式中，仍将有上述的多光束干涉因子。此时，只要把单个衍射孔径的衍射因子求出来，乘以多光束干涉因子，即是这种周期性孔径衍射的光强度分布。,2)多缝衍
9、射图样特性,(1)多缝衍射的强度极值,多缝衍射主极大 由多光束干涉因子可以看出，当,时，多光束干涉因子为极大值，称此时的多缝衍射为主极大。,多缝衍射主极大,或,时，多光束干涉因子为极大值，称此时的多缝衍射为主极大。,多缝衍射主极大,由于，多缝衍射主极大强度为,它们是单缝衍射在各级主极大位置上所产生强度的N2 倍，其中，零级主极大的强度最大，等于 N2I0。,N=2,N 很大,N=4,主极大明条纹位置由缝间干涉决定。,/2,/2,/2,当 N/2 等于 的整数倍，而/2 不是 的整数倍，即,多缝衍射极小,时，多缝衍射强度最小，为零。,假设 N=2，那么 m=1,因此=，3，5，,当 N/2 等于
10、 的整数倍，而/2 不是 的整数倍，即,或,时，多缝衍射强度最小，为零。,多缝衍射极小,比较(58)式和(60)式可见，在两个主极大之间，有(N1)个极小。,多缝衍射极小,I,2,4,5,-,-2,-4,-5,N=3,I,N=5,2,4,5,-,-2,-4,-5,N=2,N不同的光栅光强,d=3a,/2,/2,/2,/2,由(60)式，相邻两个极小(零值)之间(m1)的角距离 为,多缝衍射极小,多缝衍射次极大,在相邻两个极小值之间，除了是主极大外，还可能是强度极弱的次极大。在两个主极大之间，有(N2)个次极大。,N=4,/2,I,2,4,5,-,-2,-4,-5,N=3,I,N=5,2,4,5
11、,-,-2,-4,-5,N=2,N不同的光栅光强,d=3a,/2,/2,/2,/2,多缝衍射次极大,求得。,次极大的位置可以通过对(57)式求极值确定，近似由,多缝衍射次极大,在 m0 和 m1 级主极大之间，次极大位置出现在,/2,共(N2)个。例如 N4 时，次极大出现在：,m=-6-5-4-3-2-0 2 3 4 5 6,n=-2-0 2,多缝衍射次极大,即最靠近零级主极大的次极大强度，只有零级主极大的 4.5。当 N 很大时，它们将与强度零点混成一片，成为衍射图样的背景。,在 N/2 3/2 时，衍射强度为,(2)多缝衍射主极大角宽度,该式表明，狭缝数 N 愈大，主极大的角宽度愈小。,
12、多缝衍射主极大与相邻极小值之间的角距离是,主极大的条纹角宽度为,对于某一级干涉主极大的位置，如果恰有sin/0，即相应的衍射角 同时满足,(3)缺级,则该级主极大将消失，多缝衍射强度变为零，成为缺级。,或,(3)缺级,单缝衍射的暗条纹,多缝干涉的亮条纹,故,若,N=2,双缝衍射,d=3a,d=4a,d=5a,2)多缝衍射图样特性,在多缝衍射中，随着狭缝数目的增加，衍射图样有两个显著的变化：(1)一是光的能量向主极大的位置集中(为单缝衍射的 N2 倍)；,2)多缝衍射图样特性,(2)二是亮条纹变得更加细而亮(约为双光束干涉线宽的 1/N)。对于一个 N104 的多缝来说，这将使主极大光强增大10
13、8 倍，条纹宽度缩为万分之一。,2)多缝衍射图样特性,2)多缝衍射图样特性,由(58)式可知，干涉主极大位置随入射光的波长变化,同一级次的主极大方向，将随着波长的增加而增大，并且，当衍射角 不大时，这种变化近于线性关系.,习题1 在单缝衍射实验中，透镜焦距 f=0.5m，入射光波长为500nm，缝宽 a=0.1mm。求：中央明纹的宽度和第一级明纹的宽度。,课本外习题,解：中央明纹的宽度 l0 等于两个第一级暗条纹之间的距离，暗条纹方程：,第一级明纹的宽度 l1 等于第一级暗条纹与第二级暗条纹之间的距离,习题2 人眼的最小分辨角约为 1，教室中最后一排(距黑板 15m)的学生对黑板上的两条黄线(
14、5893)的最小分辨距离为多少？并估计瞳孔直径大小。,解：当两黄线恰可分辨时，两爱里斑中心到人眼张角为最小分辨角,由于,因此,双缝干涉和双缝衍射的区别？,1.双缝衍射：,2.双缝干涉图样：,I0 是一束光的强度，是为自该两束光发出的波在所考察的 P 点的相位差。,故,当a 逐渐变小时，衍射图样逐渐接近双缝干涉图样，即明暗相同的等亮度条纹。所以，双缝干涉实质上是当双缝衍射的缝宽a 很细时的一个特例。,当a 不变，而减小双缝间隔时,即d 减小,中央最大包络线的宽度不变，最大包络线内的分裂条纹的间隙变大。故在中央最大包络线内看到的亮细条纹数目减少,且变粗。,N=2,双缝衍射,d=3a,d=4a,d=
15、5a,当da 时：,m-2-0 2,/2,n-2-0 2,4.2.4 巴俾涅原理(Babinets principle),前面讨论了圆孔、单缝的衍射现象，如果在光路中的障碍物改换为圆盘、细丝(窄带)，其衍射特性如何呢?,当然，我们可以利用菲涅耳基尔霍夫衍射公式重新求解，但是如果根据巴俾涅原理，就可使问题的处理大大简化。,4.2.4 巴俾涅原理(Babinets principle),若两个衍射屏 l 和2 中，一个屏的开孔部分正好与另一个屏的不透明部分对应，反之亦然，这样一对衍射屏称为互补屏，如图所示。,设 E1(P)相互 E2(P)分别表示 1 和 2 单独放在光源和观察屏之间时，观察屏上
16、P 点的光场复振幅，E0(P)表示无衍射屏时 P 点的光场复振幅。,4.2.4 巴俾涅原理(Babinets principle),根据惠更斯菲涅耳原理，E1(P)和 E2(P)可表示成对1 和 2 开孔部分的积分。,4.2.4 巴俾涅原理(Babinets principle),两个屏的开孔部分加起来就相当于屏不存在，因此，,4.2.4 巴俾涅原理(Babinets principle),E1(P),E2(P),E0(P),两个互补屏在衍射场中某点单独产生的光场复振幅之和相等于无衍射屏、光波自由传播时在该点产生的光场复振幅，这就是巴俾涅原理。,4.2.4 巴俾涅原理(Babinets pri
17、nciple),第一，若 E1(P)=0，则 E2(P)=E0(P)。因此，放置一个屏时，相应于光场为零的那些点，在换上它的互补屏时，光场与没有屏时一样。,由巴俾涅原理可得到如下两个结论：,4.2.4 巴俾涅原理(Babinets principle),第二，若 E0(P)0，则 E1(P)E2(P)。这就意味着在 E0(P)0 的那些点，E1(P)和 E2(P)的相位差为，而光强度 相等。,4.2.4 巴俾涅原理(Babinets principle),利用巴俾涅原理很容易由圆孔、单缝的夫朗相费衍射特性得到圆盘、窄带的夫朗相费衍射图样。,4.2.4 巴俾涅原理(Babinets principle),例如:如果将单缝衍射屏换成同样宽度的不透光窄带，则在偏离衍射图样中央的地方，将有与单缝衍射类似的衍射图样。,y,4.2.4 巴俾涅原理(Babinets principle),这是因为单缝和窄带是一对互补屏，在观察屏上，除中央点外，均有 E(P)0，所以根据巴俾涅原理，除中央点外，单缝和窄带衍射图样相同。,4.2.4 巴俾涅原理(Babinets principle),因此，可以直接将单缝衍射特性应用于窄带衍射中。例如，窄带衍射的暗条纹间距公式为,4.2.4 巴俾涅原理(Babinets principle),
