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1、1,5.3 定积分的换元法和分部积分法,一、定积分的换元法,二、定积分的分部积分法,2,一、定积分的换元法,假设函数f(x)在区间a,b上连续,函数x(t)满足条件:(1)(t)在,(或,)上具有连续导数;(2)(a)a,()b,且(a,b)=a,b,则有,定理,换元公式,证明,是,的原函数,因此有,则,设F(x)为f(x)的一个原函数,3,例1 计算,解 令,则,原式=,4,例2 计算,解 令,则,原式=,当x=0时,t=2;,当x=1时,t=1,5,例3,解,或,提示：,提示：,换元一定要换积分限 不换元积分限不变,6,证明,例4 设f(x)在a,a上连续,证明,并计算,7,注:,例4 设
2、f(x)在a,a上连续,证明,(1)当f(x)为奇函数时,(2)当f(x)为偶函数时,练习,8,证明,例5 若f(x)在0,1上连续,证明,9,(2)令xpt.因为,例5 若f(x)在0,1上连续,证明,证明,10,例6 计算,解,例5 若f(x)在0,1上连续,证明,11,二、定积分的分部积分法,设函数u(x)、v(x)在区间a,b上具有连续导数,由(uv)uvuv,得 uv(uv)uv,等式两端在区间a b上积分得,这就是定积分的分部积分公式,12,解,例7,13,例8 计算,解,原式=,14,解,例9,由此得,15,公式:,注意:,例9,16,例10 求,解,17,解,思考题1,18,证,右端,=左端,试证,思考题2,19,作 业 习题5-3(P249):1.(4)(8)(12)(16)(20)5.8.11.(3)(6)(9)(10)(12),
