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1、小波分析,小波分析讲解,傅里叶变换与小波分析小波分析的基本知识多尺度分析与Mallat算法小波分析的应用,1、傅里叶变换与小波分析,小波分析是近年来迅速发展起来的一个数学分支。除了在数学学科本身中的价值外，小波分析在许多非数学的领域也有着广泛的应用。,1、傅里叶变换与小波分析,一、傅里叶变换 对于平稳信号，做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上看到清晰的四条线，信号包含四个频率成分。,1、傅里叶变换与小波分析,频率随着时间变化的非平稳信号，进行FFT后：,如左图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。做FF
2、T后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。,1、傅里叶变换与小波分析,可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。然而平稳信号大多是人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样简单的方法。,事件相关电位,股市折线图,1、傅里叶变换与小波分析,加窗傅里叶变
3、换（短时傅里叶变换STFT）,1、傅里叶变换与小波分析,窗划分太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。,窗划分太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。,1、傅里叶变换与小波分析,小波定义：小波动性：,小波的3 个特点,小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。（傅里叶变换只具有频率分析的性质）小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。信号长度为M时，Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：,1、傅里叶变换与小波分析,1
4、、傅里叶变换与小波分析,小波运算的步骤,（1）选择小波函数，并与分析信号起点对齐；（2）计算在这一时刻要分析信号与小波函数的逼近程度，即小波变换系数C。C越大，就意味着此刻信号与所选择的小波函数波形越相近；（3）将小波函数沿时间轴右移一个单位时间，然后重复（1）、（2）步骤，求出变换系数C，直到覆盖整个信号长度；,小波运算的步骤,（4）将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复步骤（1）、（2）、（3）；（5）对所有的伸缩尺度重复步骤（1）、（2）、（3）、（4）。,2、小波分析的基本知识,小波基础术语:紧支撑:对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外
5、，f(x)取值为0。那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。比如：在(-1,1)之间的高斯函数。L（R）:满足 成立的自变量为实数的实值或复值函数f的全体。L（0,2）：f（x+2）=f（x），,2、小波分析的基本知识,小波定义：设L（R）L（R），在R上不几乎处处为0，且满足 则称为小波。其中 为的傅里叶变换。,2、小波分析的基本知识,称为依赖参数a，b的连续小波，叫基本小波或小波。若是窗函数，就叫为窗口小波函数，一般我们恒假定为窗口小波函数。,2、小波分析的基本知识,a为尺度参数,2、小波分析的基本知识,b为位移参数,2、小波分析的基本知识,小波正变换：小
6、波逆变换：,是f（t）在函数 上的投影。,一维连续小波的例子：,1.Haar小波：,2023/8/12,21,Haar小波是一组相互正交的函数集，是一个最简单的时域不连续的二进小波，Haar的应用十分广泛，常用与图像处理。,一维连续小波的例子,2.Mexico草帽小波：,2023/8/12,22,草帽函数又称为Marr小波。其在时域、频域都有很好的局部特性，但它的正交性尺度函数不存在，主要用于信号处理和边缘检测。,一维连续小波的例子：,3.Morlet小波：,2023/8/12,23,式中，i表示虚数，w表示常数。Morlet小波不具有正交性的同时也不具有紧支集。其特点是能够获取信号中的幅值和
7、相应的信息，广泛应用于地球物理信号处理中。,Daubechies(dbN)小波系（多贝西）,多贝西小波是以英格丽多贝西的名字命名的一种小波函数，多贝西小波主要应用在离散型的小波转换，是最常使用到的小波变换。多贝西小波是一种正交小波，所以它很容易进行正交变换。对于有限长度的小波，应用于快速小波变换时，会有两个实数组成的数列：一是作为高通滤波器的系数，称作小波滤波器；二是低通滤波器的系数，称为调整滤波器（尺度滤波器）。我们通常以滤波器长度N来形容滤波器为dbN，例如N=2的多贝西小波写作db2；N=4的多贝西小波写作db4。,Daubechies(dbN)小波系（多贝西）,图1.4,小波函数表,小
8、波函数表,2、小波分析的基本知识连续小波变换,这就是信号f(t)的连续小波变换公式，其中参数a和b都是连续变化的参数，a为尺度参数（在某种意义上就是频率的概念），b是时间参数或平移参数。不严谨地讲，Wf(a,b)指的是对信号f(t)进行小波变换后当频率为a时间为b时的变换值。可以看出，一维信号f(t)经过小波变换后将变成二维信号。,2、小波分析的基本知识连续小波变换,例：已知一信号f(t)3sin(100pt)2sin(68pt)5cos(72pt)，且该信号混有白噪声，对该信号进行连续小波变换。小波函数取db3，尺度为1、1.2、1.4、1.6、3。其MATLAB程序如下：t0：0.01：1
9、；f3*sin(100*pi*t)2*sin(68*pi*t)5*cos(72*pi*t)randn(1，length(t)；coefscwt(f，1：0.2：3，db3，plot)；title(对不同的尺度小波变换系数值)；Ylabel(尺度)；Xlabel(时间)；,2、小波分析的基本知识连续小波变换,小波变换的系数如图所示的灰度值图表征，横坐标表示变换系数的系号，纵坐标表示尺度，灰度颜色越深，表示系数的值越大。,离散小波变换：在实际运用中，尤其是在计算机上实现，连续小波必须加以离散化。因此，有必要讨论一下连续小波ya，b(t)和连续小波变换Wf(a，b)的离散化。需要强调指出的是，这一离
10、散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的。在连续小波中，考虑函数这里，bR，aR，且a0，y是容许的，为方便起见，在离散化中，总限制a只取正值，这样相容性条件就变为,2、小波分析的基本知识离散小波变换,2、小波分析的基本知识二进小波变换,2、小波分析的基本知识二进小波变换定义：设yj，k(t)L2(R)，且满足(1.64)由此得到的小波yj，k(t)称为二进正交小波。,3、多尺度分析与Mallat算法,多分辨分析 为了改变信号的分辨率使得人们可以根据特定的目标处理相关的细节，1983年，与在计算机视觉的应用中引进了一个能够处理低分辨率图像，同时根据需要进一步提高图
11、像分辨率的多分辨率Laplace塔式算法。1986年Mallat和Meyer构造了多分辨分析公式。随着多分辨分析的出现，构造小波的困难得到了较圆满的解决。为了对信号进行较高分辨率的处理，需要一种所谓的“增量信息”。为此，Mallat选用正交小波基作为对“增量信息”进行数学描述，并最终发展成为了多分辨分析。,3、多尺度分析与Mallat算法,3、多尺度分析与Mallat算法,参考：M.Vetterli,”Wavelets and Subband Coding“,Prentice Hall PTR,1995 p.11,3、多尺度分析与Mallat算法,滤波器族：下图是一系列带通滤波器的频域图,3、
12、多尺度分析与Mallat算法,一个信号离散信号x(n)经过这一系列带通滤波器滤波后，将得到一组系数Vi(n)。如下图所示：这样，我们就把一个信号分解成了不同频率的分量。只要这些带通滤波器的频率能够覆盖整个原信号x(n)的频谱范围，反变换时，把这些不同频率信号，按其分量大小组合起来，就可得到原信号x(n)。这样一组带通滤波器就称为滤波器族。,3、多尺度分析与Mallat算法,滤波器族能实现将信号分为不同频率分量，从而实现分解信号并分析信号的目的。但是在滤波器族的计算中，我们需要指定频域分割方式。研究者们给出了一种分割方式，即均分法，从而引出了子带编码的概念。子带编码通过使用均分频域的滤波器，将信
13、号分解为若干个子带。这样是可以实现无冗余且无误差地对数据分解及重建目的。但是Mallat在1989年的研究表明，如果只分为2个子带，可以实现更高效的分解效率。从而引入了多分辨率分析（MRA）。,3、多尺度分析与Mallat算法,多分辨率分析：如果子带编码时将信号带宽先对分为高通（实际为带通）和低通两个部分，对应于两个滤波器。然后对低通部分继续等分。下图为子带编码示意图。,3、多尺度分析与Mallat算法,从图中看出，每次分割保留高通部分的滤波结果，因为这里已经是信号的细节了，而且通常我们分析的信号，其绝大部分能量都在低频部分。所以高频部分的分割可以到此为止，但是低通部分仍然有更多的细节可以划分
14、划分出来，所以将低通部分继续等分。分割迭代进行。这样做的优点是，我们只需要设计两个滤波器，然后每次迭代将其对分。缺点是，频域的分割方式确定。对于某些信号来说，这样的划分并不是最优的。,3、多尺度分析与Mallat算法,这里仍然有个问题。每次都将频谱分为剩下的一半，那实际上，我们永远也取不到整个频段。就好比一杯水，每次都只许喝一半，那将永远无法把它完全喝完。所以，这样分割后的函数仍然是无限多的。为解决这个问题，终于引出了我们最初想讨论的尺度函数的概念。在上图中，我们对频域进行分割，当分割到某个频率j时，不再继续分割了，剩下的所有低频部分由一个低通滤波器来表示，这就可以实现对信号频谱的完整分割。这
15、个剩余低通滤波器就是尺度函数。事实上，很容易看出，尺度函数无非就是某级多分辨率分析中的低通滤波器。也就是图中最下面一级的LP。,3、多尺度分析与Mallat算法,load noissinc=cwt(noissin,1:48,db4);c=cwt(noissin,1:48,db4,plot);c=cwt(noissin,2:2:128,db4,plot);,3、多尺度分析与Mallat算法,3、多尺度分析与Mallat算法,SA3D3D2D1 设以Vj表示图1.17分解中的低频部分Aj，Wj表示分解中的高频部分Dj，则Wj是Vj在Vj1中的正交补，即,3、多尺度分析与Mallat算法,SA3D3
16、D2D1 若令fjVj代表分辨率为2j的函数fL2(R)的逼近(即函数 f 的低频部分或“粗糙像”)，而djWj代表逼近的误差(即函数 f 的高频部分或“细节”部分)，则上式意味着：fNf1fdf2d2d1fN-1dN1d2d1 所以上式可简写为 这表明，任何函数 fL2(R)都可以根据分辨率为2N时 f 的低频部分(“粗糙像”)和分辨率2j(1 j N)下f的高频部分(“细节”部分)完全重构，这恰好是著名Mallat塔式重构算法的思想。,3、多尺度分析与Mallat算法,小波重构,Mallat算法中仅仅对低频系数进行分解，但是对于有些信号来说，对高频系数进行分解更加合适。小波包分解即将低频系
17、数和高频系统都进行同样的分解，然后选取一个最合适的分解路径。然后通过构建一个代价函数求来对于路径进行评价，选取最优路径。,3、多尺度分析与Mallat算法,4、小波分析的应用,小波的信号分解与求频小波在图像压缩中的应用小波变换在图像去噪与图像增强中的应用机械故障诊断小波神经网络预测,4,小波的应用小波的信号分解与求频,clear all clcfs=1024;%采样频率f1=100;%信号的第一个频率f2=300;%信号第二个频率t=0:1/fs:1;s=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);%生成混合信号tt=wpdec(s,3,dmey);%小波包分解，3代表分解3层
18、plot(tt)wpviewcf(tt,1);,4,小波的应用小波的信号分解与求频,65-128Hz,257-320Hz,4,小波的应用小波在图像压缩中的应用,小波变换的基本思想是用一组小波或基函数表示一个函数或信号，例如图像信号。以哈尔（Haar）小波基函数为例，基本哈尔小波函数（Haar wavelet function）定义如下：1,当0 x1/2(x)=-1,当1/2x1 0,其他设有一幅分辨率只有4个像素的一维图像，对应像素值为：9 7 3 5。,4,小波的应用小波在图像压缩中的应用,对于2维图像，同样可以用依次对行列进行小波变换得到2维图像的分解。这时经过一次小波变换得到是2维图像
19、的近似值(CA)以及水平(CH)、垂直(CV)和对角(CD)细节分量值。显然，从2维图像的CA、CH、CV和CD值可以重构出原来的2维图像。,变化过程：9 7 3 58 4 1-16 2 1-1,4,小波的应用小波在图像压缩中的应用,9 7 3 5 8 4 1-1 8 4 1-1 6 2 1-1,4,小波的应用小波在图像压缩中的应用,4,小波的应用小波在图像压缩中的应用,1,2,3,4,5,4,小波的应用小波变换在图像去噪与图像增强中的应用,图像预处理：需要对去噪目标图像进行预处理，完成图像的灰度转换，噪声评估等内容。小波分解：将目标图像进行小波分解，获得对应层的小波低频系数，水平方向，垂直方
20、向以及对角线方向的高频系数。阈（yu）值估计量化：对于分解的每一层，将含噪信号在各尺度上进行小波分解，保留大尺度低分辨率下的全部小波系数；对于个尺度高分辨率下的小波系数，可以设定一个阈值，幅值低于该阈值的小波系数置为0，高于该阈值的小波系数全部保留。小波重构：利用量化后的小波高频系数以及原来的低频系数完成图像小波重构。,4,小波的应用小波变换在图像去噪与图像增强中的应用,4,小波的应用小波变换在图像去噪与图像增强中的应用,load woman;subplot(121);image(X);colormap(map);title(原始图像)画出原图像c,s=wavedec2(X,2,sym4);%
21、进行两层小波分解len=length(c);%处理分解系数，突出轮廓，弱化细节for I=1:len if(c(I)350)c(I)=2*c(I);else c(I)=0.5*c(I);endendnx=waverec2(c,s,sym4);%分解系数重构subplot(122);image(nx);title(增强图像)%画出增强图像,4,小波的应用机械故障诊断,当机械运行发生故障时，其振动信号中往往是首先出现相应的瞬态脉冲波形。能否及时准确地予以捕捉分析，常常是能否及时发现故障，采用相应对策，避免出现重大损失的先决条件。传统的傅里叶分析和时域分析由于需要的数据量较大，难以及时作出有效的诊断
22、，而小波分析具有良好的时域定位特征，只需要少数数据就可以对振动信号在时域和频域进行定量分析，从而为及时发现故障提供了一种有力的分析手段。,4,小波的应用机械故障诊断,齿轮裂纹和断裂41%齿面疲劳31%齿面擦伤和划痕10%齿面磨损10%其他故障类型8%,4,小波的应用机械故障诊断,clc;clear all;close all;load leleccum;%载入信号数据s=leleccum;Len=length(s);ca1,cd1=dwt(s,db1);%采用db1小波基分解a1=upcoef(a,ca1,db1,1,Len);%从系数得到近似信号d1=upcoef(d,cd1,db1,1,L
23、en);%从系数得到细节信号s1=a1+d1;%重构信号figure;subplot(2,2,1);plot(s);title(源信号);subplot(2,2,2);plot(ca1);title(一层小波分解的低频信息);subplot(2,2,3);plot(cd1);title(一层小波分解的高频信息);subplot(2,2,4);plot(s1,r-);title(一层小波分解的重构信号);,4,小波的应用机械故障诊断,4,小波的应用小波神经网络预测,神经网络引入预测领域使得预测理论及方法产生了质的飞越。目前神经网络具有分布式、联想。记忆和很强的泛化能力，以及自学习和容错性可以以任
24、意精度逼近非线性函数等优点。但是，神经网络应用于预测中存在如下问题：难以确定网络的结构；训练速度较慢；容易陷入局部次优点等。,4,小波的应用小波神经网络预测,小波方法与神经网络结合的方法有两种：一种是先通过小波对网络流量时间序列进行小波分解，得到小波变换尺度系数序列和小波系数序列，然后输入到一个神经网络中加以训练得到预测。二是把神经网络隐含层的传输函数用小波函数代替，这样从本质上改变了预测模型的结构，在不影响预测精度的前提下，大大缩短了模型的训练时间，提高了训练速度，克服了神经网络容易陷入局部次优点的缺点，而且把神经网络隐含层的传输函数用小波函数代替、算法易实现和推广。,4,小波的应用小波神经
25、网络预测,小波神经网络预测模型采用三层小波网络结构，在输入端有p个输入，即一起输入含有p个时间序列值，p表示预测序列值与相关步数。隐含层包含n个神经元，输出层有1个神经元，输出为第k+1个时间序列的预测值。,4,小波的应用小波神经网络预测,从小波神经网络训练图可以看出一步预测用了4100epochs；五步用了4005epochs，十步用了3475epochs；而没有使用小波的神经网络训练图在训练一步、五步、十步时的训练次数分别为5739epochs，7317epochs，6277epochs。可以明显看出小波神经网络对训练时间能够起到很大的提升。,4,小波的应用小波分析在加工误差分析中的应用,
26、在机械制造中，零件的尺寸、形状、相对位置等的形成，实际上取决于刀具和工件在整个切削运动中的相互位置和相对运动。由于工艺精度或其自身的各种原因，会形成误差 在各种零件的加工中，为了及时、准确的了解工艺系统的状态，反映系统的特性或工艺能力，通常会按加工顺序对加工的零件尺寸进行记录，形成离散的数据点。这些可以通过离散小波变换来进行分析与处理。,4,小波的应用小波分析在加工误差分析中的应用,我们通过将阈值调整，可以选择性的去处高频成分（随机误差），以获取需要的数据。上升的曲线就是加工系统的变值系统性误差，它实际上是整个工艺系统中机床、刀具的热变形以及刀具磨损等因素共同作用的结果。小波变换分析的精髓就在于对那些变化平稳的信息（低频信息），可以在大范围上观察，对于变化很块的信息（高频信息），又可以在小范围上观察。相对于传统的误差分析方法，更加方便。快捷和有效，能使我们更加及时、准确的掌握当前系统，为研究和探讨误差产生的原因、机理打下基础。,Matlab小波工具箱,谢谢观看！注：ppt内多图来自知乎咚懂咚懂咚。,
