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1、,第五节条件概率,一、条件概率与乘法公式,在随机试验中，对于有些事件往往需要在有某些附加信息(条件)下求其概率例如 一箱产品共50件，其中有4件不合格品，且这4件不合格品中有2件是次品,另2件是废品，今从箱中任取一件产品，求(1)取得次品的概率是多少？(2)已知取得的是不合格品，则它是次品的概率是多少?容易得出(1)的答案是2/50=0.04，(2)的答案是2/4=0.5,从上面的结果看，这两个概率不相等产生两个概率不相等的原因是这两个问题的提法是有区别的，第二个问题是一种新的提法：“所取的产品是不合格品”,本身也是一个随机事件若把此事件记作A，把“所取的产品是次品”记作B，于是可以把问题叙述
2、成：在事件发生A（即发现产品是不合格品）的条件下，事件B（所取的产品是次品）发生的概率是多少?我们把这种概率叫做在事件A发生的条件下事件B的条件概率，记作,它既不同于P(B)，也不同于P(AB).,定义1.7 设A,B是两个随机事件，且P(A)0,我们称,（1.7）,为事件A发生的条件下事件B的条件概率.相应地，P(B)称为无条件概率.,同理有：,这个式子的直观含义是明显的，在A发生的条件下B发生当然是A发生且B发生，即AB发生，但是现在A发生成了前提条件，因此应该以A作为整个样本空间，而排除A以外的样本点，因此,是P(AB)与P(A)之比.,条件概率的性质,例1 设某种动物由出生算起活到20
3、岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.如果一只动物现在已经20岁，问它能活到25岁的概率为多少?解：设 A=“活到20岁”，B=“活到25岁”，则,因为B A，所以,由公式(1.7)有:,例2 仓库中存放10箱青霉素,其中甲厂产6箱，乙厂产3箱，丙厂产1箱现从中任取一箱，发现不是丙厂生产的，求是甲厂生产的概率解:设 A=“取出的青霉素由甲厂生产”，B=“取出的青霉素由乙厂生产”，C=“取出的青霉素由丙厂生产”则 A,B,C 两两互不相容，所求概率为:,二、乘法公式由公式(1.7),我们可得到下述定理定理1.1（乘法公式）对于任意的事件A，B，若 P(A)0，则,(1.8),乘法公
4、式可以推广到多个事件积的情形,推论 设,是n个事件,n 2,且,则,例3 甲、乙两厂共同生产1 000个零件，其中450件是甲厂生产的而在这450个零件中，有380个是标准件，现从这1 000个零件中任取一个，问这个零件是甲厂生产的标准件的概率是多少？解 设 A=“零件是甲厂生产的”，B=“零件为标准件”，由题设,则,例 4 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落 下时打破的概率为 1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为 7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 9/10。求透镜落下三次而未打破的概率。解：以 Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第 i 次落下打破”，以 B
5、 表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：,3条件概率,返回主目录,三、全概率公式,定义1.8 设为试验E的样本空间,B1,B2,Bn为E的一组事件,若,则称 B1,B2,Bn为样本空间的一个划分,B1,B2,Bn,.,全概率公式,设试验E的样本空间为S，A为E的事件，,例5 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率解：,由全概率公式，有,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,第一章 概率论的基本概念
6、,3条件概率,返回主目录,练习：某厂使用5个产地的同型号的电子元件.已知此厂使用这5个产地的电子元件数量各占20%,30%,10%,15%和25%.且它们的合格率分别是0.87,0.96,0.82,0.88和0.96.现随机地抽取一件,问：此元件为合格品的概率为多少?解:设 A=“元件是合格品”，Ai=“元件来自第i个产地”,i=1,2,3,4,5.显然,由全概率公式,=0.20.87+0.30.96,+0.10.82+0.150.88+0.250.96=0.916,事件独立性的定义,设 A、B 是两个随机事件，如果,则称 A 与 B 是相互独立的随机事件,事件独立性的性质：,1）如果事件A
7、与 B 相互独立，而且,第六节 独立性,4 独立性,返回主目录,4 独立性,2）必然事件S与任意随机事件A相互独立；不可能事件与任意随机事件A相互独立证明：由,同理可证第二个结论。,3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则,也相互独立.,证：为方便起见，只证,相互独立即可,由于,4 独立性,返回主目录,三个事件的独立性,设A、B、C是三个随机事件，如果,则称A、B、C是相互独立的随机事件,4 独立性,返回主目录,注：上面四个条件缺一不可,相互独立的概念可以推广到三个以上事件的情况.定义 设,是n个事件,如果对于任意的,有,则称这n个事件两两相互独立或两两独立.,如果对于任意的k(k n)，任意
8、的,都有,则称这n个事件相互独立.,注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,例1 甲,乙两战士打靶,甲的命中率为0.9,乙的命中率为0.85.两人同时射击同一目标,各打一枪,求目标被击中的概率解:设 A=“甲击中目标”，B=“乙击中目标”显然甲是否击中不影响乙的击中,因而A,B是独立的于是,例 2 设有电路如图，其中 1,2,3,4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为
9、 p。求 L至 R 为通路的概率。,L,R,2,1,3,4,解：设事件 Ai(i=1,2,3,4)为“第 i 个继电器接点闭合”,L 至 R 为通路这一事件可表示为：,4 独立性,返回主目录,由和事件的概率公式及 A1,A2,A3,A4的相互独立性，得到,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,练习：三门高射炮向敌机进行射击,已知每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率分别为0.6,0.5,0.6.现三门炮同时发射(每门炮射一发),求：敌机被击中的概率；敌机至少被两门炮击中的概率解:设 Ai=“第门炮击中敌机”(i=1,2,3)B=“敌机被击中”,C=“敌机至少被两门炮击中”则A1,A2,A3相互独立,作业：,
