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1、小波分析方法解偏微分方程,郑小洋欢迎各位专家、老师、同学的指导！,小波分析基本知识 背景知识 多分辨分析 常用小波 偏微分方程数值解法 差分方法 有限元方法 拟谱方法 自适应格点方法 小波分析方法解偏微分方程,小波分析基本知识,特征：时频局部化性质,以及对高频成份采 用逐步精细的时空取样步长.应用：信号处理、图象处理、语音识别与合成，CT，机器视觉等科技领域。它把数据、函数或算子分割成不同的频率成份,再用分解的方法去研究对应尺度下的成份。,从事调和分析研究的Caldenon(1964)的原子分解；物理学界从事量子力学研究AslaKsen和Klander(1968)所构造的(ax+b)-群的相干
2、态;Strombery构构造了第一个小波基：该小波呈指数衰减并在.第二个例子是Meyer基（Meyer 1985）,此处 是紧支的且属于;Tchamitchian(1987)构造了第一个双正交小波基;Meyer,Mallet(1988)构造多分辨分析理论;Daubechies(1988)小波;B.Alpert,Legendre小波(1990).,多分辨分析,Daubchies小波,(4),性质 为 的线性组合;结论:,Legendre 小波,Legendre小波的性质分段多项式；区间小波；不连续;消失矩特性；多小波特性.,逼近分析Sobolev空间Holder类,Besov空间,讨论偏微分方程
3、的类型,基本类型非线性类型,此处 为线性部分,为非线性部分.例如reaction-diffusion方程 Burgers 方程Korteweg-deVries 方程Navier-Stokes方程可以转化为此类型,解决的方向:微分算子的计算或表达时间的差分离散边界的处理收敛性分析误差的估计稳定性分析微分算子的自适应计算时间和空间的自适应计算,偏微分方程的数值解法,差分方法思路:差分代替微分五点差分格式为,例如向前差分格式 向后差分格式,为隐格式.六点对称格式(Crank-Nicolson格式),误差的阶为,有限元方法,差分法从定解问题的微分或积分形式出发,用数值微商或数值积分公式导出相应的线性代
4、数方程组.构造逼近微分方程定解问题的差分格式:直接差分化法,积分插值法以及有限体积法或广义差分法.差分解的存在唯一性,收敛性以及稳定性的研究.这些理论问题为对差分解作出先验估计.基于极值定理以及能量不等式作估计.有限元法从定解问题的变分形式出发,用Ritz-Galerkin方法导出相应的线性代数方程组.,变分形式:Find such that,构造基函数矩阵 的条件数的处理.逼近分析,小波分析方法,思路:Galerkin方法为基础;半群方法为基础.基于偏微分方程或积分方程的信号处理,流体动力学的问题就能用此方程描述.这些问题解的特征为光滑的(smooth),非振荡的(non-oscillato
5、ry),shock.方法为:算子和解投影到小波基上.基函数的消失矩特性使得解和算子能够稀疏表达,因此就能给出快速,自适应算法.这些算法基于在光滑区域用较少的小波系数,在奇异区域得用较多的小波系数.,解这类方程重要的一步为时间的离散.因为进化方程的扩散项,标准的显格式容许小的时间步长.另外,隐格式容许大的时间步长,但在每一步得解线性方程组,这就给应用带来了困难.B.Alpert,G.Beylkin,Tchamitchian(1990-2005)用的方法:Wavelet-Galerkin method,Taylor-Galerkin method,配点方法,非标准小波表示.John Weiss用小
6、波Galerkin方法(Daubechies,1992,1993).用的是时间差分,空间离散.计算比较复杂,但精度好.,小波Galerkin方法Galerkin配点方法:通过投影将连续算子离散化为矩阵形式,此方法的困难在于二重积分的数值计算;为解决这困难,研究者提出了函数基用小波基,此方法被称为小波Galerkin方法.在作数值逼近计算时,因为用了小波基,因此很多算子可用稀疏矩阵表示,那么小波Galerkin方法就为作快速数值计算提供了算法.总的来说,小波Galerkin方法在作逼近分析时比Adomian分解方法更可靠,在作数值逼近计算时比Galerkin方法速度更快.算法复杂性为,半群方法非
7、标准小波表示:有限的周期多分辨分析那么算子 的非标准表示可由系列算子构成,线性算子的逼近,;,;,用非标准表示方法解偏微分方程的优点:算子矩阵稀疏,可用Fourier变换处理,矩阵 的条件数得到控制;算法复杂性为;自适应算法的复杂性为.例如:两个算法:算子作用在函数的自适应,函数逐点内积的自适应.,可以得到数值解Burgers方程逼近到阶为,另外,得分析稳定性;不同小波基础的误差估计;时间空间的自适应.Legendre多小波的非标准表示的优点:算子矩阵稀疏;子区间元素相同;维数低;可线性化非线性项.,Legendre多小波不连续,微分算子的处理方法:通过尺度方程导出系数方程组,解此方程组可得到算子矩阵;用传统的弱导数通过积分计算算子矩阵.此小波处理边界有优势.,边界的处理?构造多分辨分析,使得小波基满足边界条件.用插值小波,配点方法.变系数的处理?时间空间的自适应?,谢谢大家!,
