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1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,珠海市田家炳中学高一数学组,定义:,一般地,实数与向量a 的积是一个向量,记作a,它的长度和方向规定如下:(1)|a|=|a|(2)当0时,a 的方向与a方向相同;当0时,a 的方向与a方向相反;,已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则AOB=(0 180)叫做向量a与b的夹角。,O,B,A,向量的夹角,我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移s(如图),F,S,力F所做的功W可用下式计算 W=|F|S|cos 其中是F与S的夹角,从力所做的功出发,我们引入向量“数量积”的概念。,定义,注意:向量的数量积是一个数量。,思考:,a
2、b=|a|b|cos,当0 90时ab为正;,当90 180时ab为负。,当=90时ab为零。,重要性质:,特别地,解:ab=|a|b|cos=54cos120=54(-1/2)=10,例1 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角=120,求ab。,练习:,1若a=0,则对任一向量b,有a b=0,2若a 0,则对任一非零向量b,有a b0,3若a 0,a b=0,则b=0,4若a b=0,则a b中至少有一个为0,5若a0,a b=b c,则a=c,6若a b=a c,则bc,当且仅当a=0 时成立,7对任意向量 a 有,二、平面向量的数量积的运算律:,数量积的运算律:,注:,例 2:求证:,(1)(ab)2a22abb2;,(2)(ab)(ab)a2b2.,证明:(1)(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,解:,练习:,小结:,重要性质:,特别地,2,作业:P108T1、2、3,