平面向量的坐标运算.ppt

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1、4.2 平面向量的坐标运算基础知识 自主学习要点梳理1.两个向量的夹角(1)定义 已知两个 向量a和b,作OA=a,OB=b,则 AOB=叫做向量a与b的夹角.(2)范围 向量夹角的范围是,a与b同向 时,夹角=;a与b反向时,夹角=.,非零,0180,0,180,(3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是,则a与b垂直,记 作.2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理 定理:如果e1,e2是同一平面内两个 的向 量,那么对于这一平面内的任一向量a,一对实数1,2,使a=.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组.,90,ab,不共线,有且只有,1e1+2e2,基

2、底,(2)平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=1e1+2 e2的形式,我们称它为向量a的分解.当e1,e2所在直 线 时,就称为向量a的正交分解.(3)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向 相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面上的 向量a,有且只有一对有序实数x,y,使a=xi+yj,把有 序数对 称为向量a的(直角)坐标,记作a=,其中 叫a在x轴上的坐标,叫a在y轴上 的坐标.,互相垂直,(x,y),(x,y),y,x,设OA=xi+yj,则向量OA的坐标(x,y)就是终 点A的坐标,即若OA=,则A点坐标为,反之亦成立.(O是坐标原点

3、)3.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算(2)向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量 的坐 标减去 的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线 a=.,(x,y),(x,y),终点,始点,b,x1y2-x2y1=0,基础自测1.(2010镇江调研)若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,1),则c=(用a,b表 示).解析 设c=xa+yb,则(-2,1)=x(1,1)+y(1,-1)=(x+y,x-y),c=.,2.(2008安徽理

4、)在平行四边形ABCD中,AC为 一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则 BD=.解析 如图所示,AD=BC=AC-AB=(-1,-1),所以BD=AD-AB=(-3,-5).,(-3,-5),3.设a=b=且ab,则锐角x 为.解析 a=b=且ab,sin xcos x-=0,即 sin 2x-=0,sin 2x=1.又x为锐角,2x=,x=.,4.(2009湖北改编)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=.解析 设c=a+b=(-,+)=(4,2)-=4,=3+=2,=-1 c=3a-b.,3a-b,典型例题 深度剖析【例1】如图,P是ABC内一点,且

5、满 足条件AP+2BP+3CP=0,设Q为CP 的延长线与AB的交点,令CP=p,试 用p表示CQ.选取BQ,QP两不共线向量作基底,运 用化归思想,最终变成xe1+ye2=0的形式求解,其中把题中向量用基底表示是关键.解 AP=AQ+QP,BP=BQ+QP,(AQ+QP)+2(BQ+QP)+3CP=0,AQ+3QP+2BQ+3CP=0,,分析,又A,B,Q三点共线,C,P,Q三点共线,AQ=BQ,CP=QP,BQ+3QP+2BQ+3QP=0,(+2)BQ+(3+3)QP=0.而BQ,QP为不共线向量,+2=0,3+3=0,=-2,=-1.CP=-QP=PQ.故CQ=CP+PQ=2CP=2p.

6、,跟踪练习1 设两个非零向量e1和e2不共线.如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求证:A、C、D三点共线;证明 AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,AC=AB+BC=4e1+e2=-(-8e1-2e2)=-CD,AC与CD共线,又AC与CD有公共点C,A、C、D三点共线.,【例2】(2009广东改编)已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b平行于.解析 a=(x,1),b=(-x,x2),a+b=(0,x2+1).由1+x20及向量的性质知a+b平行于y轴.,y轴,跟踪练习2(2009宁夏海南改编)已知a=(-3

7、,2),b=(-1,0),向量a+b与a-2b垂直,则实数 的值为.解析 a=(-3,2),b=(-1,0),a+b=(-3-1,2),a-2b=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2).由(a+b)(a-2b),知4+3+1=0.=-,【例3】已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且uv,求实数x的值.两个向量共线的充要条件在解题中具有 重要的应用,一般地,如果已知两向量共线,求某些参数的值,则利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是x1y2-x2y1=0”比较简捷.解 因为a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,

8、所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3),又因为uv,所以3(2x+1)-4(2-x)=0,即10 x=5,解得x=.,分析,跟踪练习3 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题:(1)若(a+kc)(2b-a),求实数k;(2)设d=(x,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d.解(1)(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=-.(2)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a

9、+b)且|d-c|=1,4(x-4)-2(y-1)=0(x-4)2+(y-1)2=1,【例4】(14分)已知点A(1,0)、B(0,2)、C(-1,-2),求以A、B、C为顶点的平行四 边形的第四个顶点D的坐标.“以A、B、C为顶点的平行四边形”可以 有三种情况:(1)ABCD;(2)ADBC;(3)ABDC.解题示范 解 设D的坐标为(x,y).(1)若是ABCD,则由AB=DC得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2-y),分析,D点的坐标为(0,-4)(如图中的D1).4分(2)若是ADBC,则由AD=CB得(x,y)-(1,0)=(0,2)

10、-(-1,-2),即(x-1,y)=(1,4).解得x=2,y=4.D点坐标为(2,4)(如图中的D2).8分(3)若是ABDC,则由AB=CD得(0,2)-(1,0)=(x,y)-(-1,-2),即(-1,2)=(x+1,y+2).解得x=-2,y=0.,D点的坐标为(-2,0)(如图中的D3).12分综上所述,以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0,-4)或(2,4)或(-2,0).14分,跟踪练习4 已知点A(-1,2),B(2,8)以 及AC=AB,DA=-BA,求点C、D的坐标 和向量CD的坐标.解 设点C、D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由题意得AC

11、=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).因为AC=AB,DA=-BA,所以点C、D的坐标分别是(0,4),(-2,0),因此CD=(-2,-4).,思想方法 感悟提高高考动态展望平面向量的坐标运算法则是运算的关键,也是历年高考考查的一个重点内容.平面向量的坐标运算可将几何问题转化为代数问题,运用它可以解决平面几何(如解三角形)、三角函数和解析几何中的一些问题,突出对数形结合思想的考查.,方法规律总结1.坐标的引入使向量的运算完全代数化,成了数形 结合的载体,也加强了向量与解析几何的联系.2.借助于向量可以方便地解决定比分点问题.在处理分

12、点问题,比如碰到条件“若P是线段AB 的分点,且|PA|=2|PB|”时,P可能是AB的内 分点,也可能是AB的外分点,即可能的结论有:AP=2PB或AP=-2PB.3.中点坐标公式:P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1P2的 中点P的坐标为 ABC中,若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则 ABC的重心G的坐标为,定时检测一、填空题1.(2009天津汉沽一中模拟)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量 a-b=.解析,(-1,2),2.(2010湖南衡阳四校联考)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则.解析 ma+

13、nb=(2m,3m)+(-n,2n)=(2m-n,3m+2n),a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1).由于ma+nb与a-2b共线,则有 n-2m=12m+8n,,3.(2009宁夏、海南改编)已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量a+b与a-2b垂直,则实数的值 为.解析 a=(-3,2),b=(-1,0),a+b=(-3-1,2),a-2b=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2).由(a+b)(a-2b)知4+3+1=0.=,4.(2009湖北理改编)已知P=a|a=(1,0)+m(0,1),mR,Q=b|b=(1,1)+n(-1,1),nR 是两个向量集合,则PQ=

14、.解析 P=a|a=(1,0)+m(0,1),mR=a|a=(1,m),Q=b|b=(1-n,1+n),nR,a=b=(1,1),PQ=(1,1).,(1,1),5.(2009山东潍坊一模)已知向量a=b=(x,1),其中x0,若(a-2b)(2a+b),则x的值为.解析 a-2b=(8-2x,x-2),2a+b=(16+x,x+1),由已知(a-2b)(2a+b),显然2a+b0,故有(8-2x,x-2)=(16+x,x+1)8-2x=(16+x)x-2=(x+1),解得x=4(x0).,4,即,6.(2010泰州模拟)已知向量a=(2,4),b=(1,1),若向量b(a+b),则实数的值是

15、.解析 a+b=(2,4)+(1,1)=(2+,4+).b(a+b),b(a+b)=0,即(1,1)(2+,4+)=2+4+=6+2=0,=-3.,-3,7.(2008辽宁文)已知四边形ABCD的顶点 A(0,2)、B(-1,-2)、C(3,1),且 BC=2AD,则顶点D的坐标为.解析 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),BC=(3,1)-(-1,-2)=(4,3).设D(x,y),AD=(x,y-2),BC=2AD,(4,3)=(2x,2y-4).x=2,y=.,8.(2009辽宁改编)在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边ABDC,ADBC.已知A(-2,0),B(6,8

16、),C(8,6)则D点的坐标为.解析 设D点的坐标为(x,y),由题意知BC=AD,即(2,-2)=(x+2,y),所以x=0,y=-2,D(0,-2).,(0,-2),9.(2009浙江改编)已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)b,c(a+b),则c=.解析 设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),又(c+a)b,2(y+2)+3(x+1)=0.又c(a+b),(x,y)(3,-1)=3x-y=0.解得x=,y=,二、解答题10.(2009江苏金陵中学三模)已知A(-2,4)、B(3,-1)、C(-3,-4)且CM=3CA,CN=2CB,求点M、N及MN的

17、坐标.解 A(-2,4)、B(3,-1)、C(-3,-4),CA=(1,8),CB=(6,3),CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6).设M(x,y),则有CM=(x+3,y+4),x+3=3 x=0 y+4=24,y=20,M点的坐标为(0,20).,同理可求得N点坐标为(9,2),因此MN=(9,-18),故所求点M、N的坐标分别为(0,20)、(9,2),MN的坐标为(9,-18).,11.(2010江苏丹阳高级中学一模)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b,(1)求3a+b-3c;(2)求满足

18、a=mb+nc的实数m,n.解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),-6m+n=5 m=-1-3m+8n=-5 n=-1,,解得,.,12.(2010山东济宁模拟)在ABCD中,A(1,1),AB=(6,0),点M是线段AB的中 点,线段CM与BD交于点P.(1)若AD=(3,5),求点C的坐标;(2)当|AB|=|AD|时,求点P的轨迹.解(1)设点C的坐标为(x0,y0),又AC=AD+AB=(3,

19、5)+(6,0)=(9,5),即(x0-1,y0-1)=(9,5),x0=10,y0=6,即点C(10,6).(2)由三角形相似,不难得出PC=2MP 设P(x,y),则,BP=AP-AB=(x-1,y-1)-(6,0)=(x-7,y-1),AC=AM+MC=AB+3MP=AB+3(AP-AB)=3AP-AB=(3(x-1),3(y-1)-(6,0)=(3x-9,3y-3),|AB|=|AD|,ABCD为菱形,ACBD.ACBP,即(x-7,y-1)(3x-9,3y-3)=0.即(x-7)(3x-9)+(y-1)(3y-3)=0,x2+y2-10 x-2y+22=0(y1).(x-5)2+(y-1)2=4(y1).故点P的轨迹是以(5,1)为圆心,2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点.,返回,

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