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1、要点梳理1.向量的有关概念(1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向 量的大小叫做向量的（或模）.(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是 的.(3)单位向量：长度等于 的向量.,第五编 平面向量,5.1 平面向量的概念及其线性运算,大小,方向,长度,长度为0,任意,1个单位,基础知识 自主学习,(4)平行向量：方向 或 的 向量.平行向量又叫，任一组平行向量都可以移到同一条直线上.规定：0与任一向量.(5)相等向量：长度 且方向 的向量.(6)相反向量：长度 且方向 的向量.,相同,相反,非零,共线向量,平行,相等,相同,相等,相同,2.向量的加法和减法（1）加法 法则：服从三角形法则、平行四
2、边形法则.运算性质：a+b=(交换律）；(a+b)+c=（结合律）；a+0=.(2)减法 减法与加法互为逆运算；法则：服从三角形法则.,b+a,a+(b+c),0+a,a,3.实数与向量的积（1）长度与方向规定如下：|a|=;当 时，a与a的方向相同；当 时，a与a的方向相反；当=0时，a=.(2)运算律：设、R，则：(a)=;(+)a=;(a+b)=.,|a|,0,0,0,()a,a+a,a+b,4.两个向量共线定理 向量b与a(a0)共线的充要条件是.,有且只有一个实数,，,使得b=a,基础自测1.如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A.B.C.D.=0 解析 A显然正
3、确，由平行四边形法则知B正确.，故C错误.D中=0.,C,2.如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量 等于（）A.B.C.D.解析 D是AB的中点，,A,3.（2009北京）已知向量a、b不共线，c=ka+b(kR),d=a-b.如果cd，那么（）A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向 C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向 解析 cd,c=d,即ka+b=(a-b).又a、b不共线，k=,=-1,1=-,k=-1.,c=-d,c与d反向.,D,4.下列各命题中，真命题的个数为（）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；若，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点；若
4、a=b,b=c，则a=c;若ab,bc,则ac.A.4B.3C.2D.1,解析 由|a|=|b|可知向量a,b模长相等但不能确定向量的方向，如在正方形ABCD中，|=|，但 与 既不相等也不互为相反向量，故此命题错误.由 可得|=|且，由于 可能是A，B，C，D在同一条直线上，故此命题不正确.正确.不正确.当b=0时，ac不一定成立.答案 D,5.在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（）A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 解析 由已知得=-8a-2b，故，由共线向量知识知ADBC，且|AD|=2|BC|，故四边形ABCD为
5、梯形，所以选A.,A,题型一 平面向量的有关概念【例1】给出下列命题 向量 的长度与向量 的长度相等；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；两个有共同终点的向量，一定是共线向量；向量 与向量 是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）,题型分类 深度剖析,A.2B.3C.4D.5 熟练掌握向量的有关概念并进行判断.解析 中，向量 与 互为相反向量，它们的长度相等，此命题正确.中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，此命题错误.由相等向量的定义知，若两
6、向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，该命题正确.由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，该命题错误.,思维启迪,共线向量是方向相同或相反的向量，若 与 是共线向量，则A、B、C、D四点不一定在一条直线上，该命题错误.零向量不能看作是有向线段，该命题错误.答案 C（1）本题涉及的主要内容有向量的概念、向量的表示、零向量、平行向量、相等向量、共线向量.（2）搞清楚向量的含义.向量不同于我们以前学习过的数量，学习时应结合物理中位移等向量进行观察、抽象、分析、比较，逐步理解向量是既有大小又有方向的量.,探究提高,知能迁移1 下列结论中，不正确的是（）A.向量，共线与向量 同义
7、 B.若向量，则向量 与 共线 C.若向量=，则向量=D.只要向量a，b满足|a|=|b|，就有a=b 解析 根据平行向量（或共线向量）定义知A、B均正确；根据向量相等的概念知C正确；D不正确.,D,题型二 平面向量的线性运算【例2】在ABC中，D、E分别为 BC、AC边上的中点，G为BE上 一点，且GB=2GE，设=a，=b，试用a、b表示，.结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.解,思维启迪,a,b,（1）解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.（2）用几个基本向量表示某个向
8、量问题的基本技巧是：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.,探究提高,a,b,知能迁移2（2009山东）设P是ABC所在平面内 的一点，则（）A.B.C.D.解析 因为，所以点P为线段AC的中点，即，如图.,B,0,0,0,0,0,题型三 共线向量问题【例3】（12分）设两个非零向量a与b不共线，(1)若=a+b，=2a+8b，=3（a-b）.求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.（1）由已知求 判断 与 的关系判断A、B、D的关系.（2）应用共线向量的充要条件列方程组 解方程组得k值.,思维启迪,（1）证明=a+b,=2a+8
9、b,=3（a-b），=2a+8b+3（a-b）=2a+8b+3a-3b=5（a+b）=5.4分、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线.6分,（2）解 ka+b与a+kb共线，存在实数，使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb.（k-）a=(k-1)b.9分a、b是不共线的两个非零向量，k-=k-1=0,k2-1=0.k=1.12分,探究提高（1）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三
10、点共线.,知能迁移3 设两个非零向量e1和e2不共线.(1)如果=e1-e2,=3e1+2e2,=-8e1-2e2,求证:A、C、D三点共线；（2）如果=e1+e2,=2e1-3e2,=2e1-ke2,且A、C、D三点共线，求k的值.（1）证明=e1-e2,=3e1+2e2,=-8e1-2e2,=4e1+e2=(-8e1-2e2)=,与 共线，又 与 有公共点C，A、C、D三点共线.,（2）解=（e1+e2）+（2e1-3e2）=3e1-2e2，A、C、D三点共线，与 共线，从而存在实数 使得=，即3e1-2e2=(2e1-ke2),由平面向量的基本定理，3=2-2=-k,解之得=,k=.,得
11、,方法与技巧1.将向量用其他向量（特别是基向量）线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础.2.首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点，最后的终点为终点的向量；若这两点重合，则和为零向量.3.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线，但要注意到向量的平行与直线的平行的区别.,思想方法 感悟提高,失误与防范1.0与实数0有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定.0可以看成与任意向量平行.2.由ab,bc不能得到ac.取不共线的向量a与c，显然有a0,c0.3.注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则的根本区别与联系.,定时检测 一、选择题1.（2009湖南）对于非零
12、向量a、b,“a+b=0”是“ab”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当a+b=0时，a=-b,ab;当ab时，不一定有a=-b.“a+b=0”是“ab”的充分不必要条件.,A,2.已知O为ABC内一点，且=0，则AOC与ABC的面积之比是（）A.12B.13C.23D.11 解析 设AC的中点为D，则 0，即点O为AC边上的中线BD的中点，.,A,3.(2008全国)在ABC中，=c，=b,若点D满足，则 等于（）A.B.C.D.解析 如图所示,在ABC中,A,b,c,b,c,b,c,b,c,4.（2008广东）在平行四边形ABC
13、D中,AC与BD交 于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于 点F.若=a,=b,则 等于（）A.B.C.D.,解析 如图所示,E是OD的中点,又ABEFDE,=3,=.在AOE中,=答案 B,5.（2008海南）平面向量a,b共线的充要条件是（）A.a,b方向相同 B.a,b两向量中至少有一个为零向量 C.R,b=a D.存在不全为零的实数 1,2,1a+2b=0 解析 A中,a,b同向则a,b共线;但a,b共线，a,b不一定同向,因此A不是充要条件.若a,b两向量中至少有一个为零向量,则a,b共线;但a,b共线时,a,b不一定是零向量,如a=(1,2),b=(2,4),从而B不是
14、充要条件.当b=a时,a,b一定共线；但a,b共线时,若b0,a=0,则b=a就不成立,从而C也不是充要条件.对于D,假设 10,则a=b,因此a,b共线;反之,若a,b共线,则a=b,即ma-nb=0.令 1=m,2=-n,则 1a+2b=0.答案 D,6.已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a+b与 c共线，b+c与a共线，那么a+b+c等于（）A.a B.b C.c D.0 解析 a+b与c共线，a+b=1c 又b+c与a共线，b+c=2a 由得：b=1c-a.b+c=1c-a+c=（1+1）c-a=2a，1+1=0 1=-1 2=-1 2=-1,D,，即,a+b+c=-c+c=0
15、.,二、填空题7.设e1、e2是两个不共线的向量，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2，若A、B、D三点共线，则实数k的值为.解析=2，-4=k.,-8,则k=-8.,8.在ABC中，=a，=b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则 可用a、b表示为.解析 如图所示，,a,b,9.在ABC中，已知D是AB边上一点，若式,则=.解析 由图知 且=0.+2得:3,三、解答题10.如图所示，在ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，a，=b.（1）用a、b表示向量、；（2）求证：B、E、F三点共线.（1）解 延长AD到G，使 连接BG、CG，得到ABGC，所以=a+b,(2)证明 由(1)可知所以B、E、F三点共线.,11.若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，（a+b）三向量的终点在同一条直线上？解 设（a+b），要使A、B、C三点共线，只需 即-a+b=tb-a 当t=时,三向量终点在同一直线上.,解得,12.已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC 的中点，求证：证明 方法一 如图所示，E、F分别是AD、BC的中点，同理 由+得，,方法二 连结则,返回,
