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1、,两 个 重 要 的 极 限,第四讲,(Two important Limits),知识目标,理解两个重要的极限概念,理解复利计算的最终趋势,掌握分割求和从细微到宏观的思想,能力目标,会利用两个重要的极限公式求极限,会建立复利金融公式并预测其走势,能举一反三进行极限的计算,问题一：圆的面积问题,从小学开始，老师就教我们圆的面积公式：,长方形的面积：,三角形的面积：,为什么只有圆的面积计算的时候还要乘以一个常数?,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！,公元263年，我国数学家刘徽,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使
2、,用了一种“割圆术”的方,则与圆合体而无所失矣.,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！,公元263年，我国数学家刘徽,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使,用了一种“割圆术”的方,则与圆合体而无所失矣.,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！,公元263年，我国数学家刘徽,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使,用了一种“割圆术”的方,则与圆合体而无所失矣.,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！
3、,公元263年，我国数学家刘徽,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使,用了一种“割圆术”的方,则与圆合体而无所失矣.,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！,公元263年，我国数学家刘徽,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使,用了一种“割圆术”的方,则与圆合体而无所失矣.,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！,公元263年，我国数学家刘徽,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使,用了一种“割圆术”的方,则与
4、圆合体而无所失矣.,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！,公元263年，我国数学家刘徽,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使,用了一种“割圆术”的方,则与圆合体而无所失矣.,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！,公元263年，我国数学家刘徽,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使,用了一种“割圆术”的方,则与圆合体而无所失矣.,问题一：圆的面积公式问题,要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！,公元263年，我国数学家刘徽
5、,法：割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,为了精确计算圆周率，使,用了一种“割圆术”的方,则与圆合体而无所失矣.,所谓的正 n 边行的面积，可以将其分解成 n 个等腰三角形，进行,问题一：圆的面积公式问题,计算！,我们知道整个圆周的圆心角等于 2，,那么当对圆周进行 n 等分的时候，,的顶角大小为：,这样，等腰三角形的高：,等腰三角形的底：,从而，可以确定三角形 面积：,而这样的三角形有 n 个.,所以，这个内接正 n 边行的面积为：,问题一：圆的面积公式问题,刘徽说：“割之又割,以至于不可割，则与圆合体而无所失矣！”,即,要解决这个问题，我们需要知道：,问题一：圆的面积公式问题,如果
6、我们将 看成一个实数 x,那么这个极限就相当于：,第一个重要的极限,在数学里，公式,称为第一个重要的极限.,注意：第一个重要的极限仅仅是一个公式！,如果当 时，有：，即此时为无穷小量，,那么，我们依然有：,例 1 求下列极限,(1),(2),(3),(4),(5),(6),解,(1),(2),求下列极限,(3),解,(4),(5),求下列极限,(6),练 习,(1),(2),(3),(4),(5),(6),问题二；银行存贷问题,某同学大学毕业几年后，有了20万元的存款，采用连续复利的形式,进行计息.年利率为 r=4%，该同学打算10年后连本带息取出，那,那么10年后，该同学能够取出多少元？,分
7、析,假设本金为 A,银行一年结算 n 次，共计存款 m 年,每次结算的利率应为：,第一年第一次结算的本息和：,第一年第二次结算的本息和：,第一年第三次结算的本息和：,问题二；银行存贷问题,某同学大学毕业几年后，有了20万元的存款，采用连续复利的形式,进行计息.年利率为 r=4%，该同学打算10年后连本带息取出，那,那么10年后，该同学能够取出多少元？,第一年第 n 次结算：,第二年第一次结算：,第二年第 n 次结算：,问题二；银行存贷问题,某同学大学毕业几年后，有了20万元的存款，采用连续复利的形式,进行计息.年利率为 r=4%，该同学打算10年后连本带息取出，那,那么10年后，该同学能够取出
8、多少元？,第 m 年第 n 次结算的本息和：,随着年数m，和每年结算次数n 的不断增大，他会成为,亿万富翁吗？,要想解决这个问题，需要考虑极限：,=,随着n 的不断增大，我们把这个极限归纳为：,=,问题二；银行存贷问题,第二个重要的极限,从上面的图像中，我们看到，随着自变量 x 的增大函数值不断接,近于常数 e！,这个公式还有两个等价公式：,第二个重要的极限,常数 e 与 一样，都是自然界中比较常见的无理数.,在中学时期，我们学习过，当对数函数的底是 e 时，称为自然对数,因此，我们常常称 e 为自然对数的底！,这个数是1772年由欧拉(Euler，瑞士人，1707-1783，18世纪最伟大,
9、的数学家)首先使用的.,除了 e 外，欧拉还发现了：,欧拉常数,第二个重要极限公式透析,（1）极限类型为,（2）必须是 的形式,且底数中的,（3）中间必须用“+”号连接,与指数上的 必须是倒数关系；,例 2 求下列极限,解,(1)原式=,例 2 求下列极限,解,(2)原式=,例 2 求下列极限,解,(3)原式=,(4)原式=,练 习,无穷小等价代换,如果有，且、,则有：,这是因为,常见的等价无穷小代换,一般:当 时,注 意,等价无穷小量代换过程中，上面的公式里面的是一个函数也成立,例如，我们知道 时，,但是，如果当 时，有,我们依然有：(相当于)时，,等价无穷小量代换只能在两个函数相乘或者相除的时候才能使用，,当两个无穷小量相加或者相减的时候一般不能使用.,例题,1.,2.,3.,4.,解 1 当 时，所以,例题,1.,2.,3.,4.,解 2 当 时，所以,例题,1.,2.,3.,4.,解 3 当 时，所以,例题,1.,2.,3.,4.,解 4 当 时，所以,作 业,P60 3,
