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1、微分中值定理与导数的应用,第四章,第一节 微分中值定理,一、罗尔定理,定理1(罗尔(Rolle)定理)如果函数f(x)满足：(1)在a,b上连续,(2)在(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一点(a,b),使得f()=0,在曲线上至少存在一点C,在该点曲线具有水平切线,证 因为f(x)在a,b上连续,f(x)在a,b上必取得最大值M和最小值m,(1)如果M=m,则f(x)在a,b上恒等于常数M,因此,对一切x(a,b),都有 f(x)=0.于是定理自然成立.,(2)若Mm,由于f(a)=f(b),因此M和m中至少有一个不等于f(a).设Mf(a),则f(x)应在(a,b)内的
2、某一点处达到最大值,即f()=M,下面证明f()=0,(a,b),f()存在,因f(x)在达到最大值,所以不论x是正的还是负的,只要+x(a,b),总有 f(+x)-f()0,当x0时,根据极限的保号性及f()的存在知,当x0时,从而必须有f()=0.,例 验证罗尔定理对函数f(x)=x2-2x+3在区间-1,3上的正确性,注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立.,显然函数f(x)=-2x+3在-1,3上满足罗尔定理的三个条件,解,由f(x)=2x-2=2(x-1),可知f(1)=0,因此存在=1(-1,3),使f(1)=0,二、拉格朗日中值定理,定理2 若函数y=f(
3、x)满足下列条件:(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导则至少存在一点(a,b),使得,证 作辅助函数,F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,F(x)满足罗尔定理的条件,故至少存在一点(a,b),使得F()=0,即,因此得,拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式,也可以写成f(b)-f(a)=f()(b-a)(ab),是(a,b)中的一个点,=a+(b-a)(0 1),拉格朗日中值公式还可写成f(b)-f(a)=(b-a)fa+(b-a)(01),a与b分别换成x与x+x,b-a=x,拉格朗日中值公式写成f(x+x)-f(x)=f(x+x)x(0).称为有限
4、增量公式,例,证,推论1 如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)0,则在(a,b)内,f(x)恒为一个常数,几何意义是斜率处处为零的曲线一定是一条平行于x轴的直线,证 在(a,b)内任取两点x1,x2,设x1 x2,显然f(x)在x1,x2上满足拉格朗日中值定理的条件,因为 f(x)0,所以 f()=0.,从而 f(x2)=f(x1).,例,证,推论2 若f(x)及g(x)在(a,b)内可导,且对任意x(a,b),有f(x)=g(x),则在(a,b)内,f(x)=g(x)+C(C为常数).,证 因f(x)-g(x)=f(x)-g(x)=0,由推论1,有f(x)-g(x)=C,即f(x
5、)=g(x)+C,x(a,b),三、柯西中值定理,定理3(柯西中值定理)若函数f(x)和g(x)满足以下条件:(1)在闭区间a,b上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,且g(x)0,那么在(a,b)内至少存在一点,使得,证 若g(a)=g(b),则由罗尔定理,至少存在一点1(a,b),使g(1)=0,这与定理的假设矛盾.故g(a)g(b).,作辅助函数,F(x)满足罗尔定理的三个条件,于是在(a,b)内至少存在一点,使得,从而有,例,证,第二节 洛必达法则,一、型未定式,定理1 设f(x),g(x)满足下列条件：(1)f(x)=0,g(x)=0；(2)f(x),g(x)在 内可导,且g(x)
6、0；(3)存在(或为)则,证 由条件(1),设f(x0)=0,g(x0)=0.,由条件(1)和(2)知f(x)与g(x)在U(x0)内连续,设x,则f(x)与g(x)在x0,x或x,x0 上满足柯西定理的条件,当xx0时,显然有x0,由条件(3)得,注意:(1)如果 仍为 型未定式,且f(x),g(x)满足定理条件，则可继续使用洛必达法则；(2)洛必达法则仅适用于未定式求极限,运用洛必达法则时,要验证定理的条件,当 既不存在也不为时,不能运用洛必达法则,例,解,例,解,推论1 设f(x)与g(x)满足(1)f(x)=0,g(x)=0;(2)存在X0,当xX时,f(x)和g(x)可导,且g(x)
7、0;(3)存在(或为)则,证 令x=1/t,则x时,t0,例,解,二、型未定式,定理2 设f(x),g(x)满足下列条件：(1)f(x)=,g(x)=；(2)f(x)和g(x)在 内可导,且g(x)0；(3)存在(或为)则,推论2 设f(x)与g(x)满足(1)f(x)=,g(x)=;(2)存在X0,当xX时,f(x)和g(x)可导,且g(x)0;(3)存在(或为)则,例,解,解,例,三、其它未定式,若对某极限过程有f(x)0且g(x),则称limf(x)g(x)为0型未定式若对某极限过程有f(x)且g(x),则称limf(x)-g(x)为-型未定式若对某极限过程有f(x)且g(x),则称li
8、mf(x)g(x)为00型未定式若对某极限过程有f(x)1且g(x),则称limf(x)g(x)为1型未定式若对某极限过程有f(x)且g(x)0,则称limf(x)g(x)为0型未定式,例,解,例,解,例,解,第三节 泰勒公式,一、泰勒公式,将一个复杂函数f(x)用一个多项式Pn(x)a0a1x+a1xn来近似表示,当x很小时,有ex1+x,sinxx,两点不足：(1)精度不高,误差仅为x的高阶无穷小o(x);(2)没有准确好用的误差估计式,设f(x)在U(x0)内有直到n+1阶导数,(1)试求一个关于x-的n次多项式 使得在x0附近,有f(x)pn(x),换言之,要求 即f(x)和pn(x)
9、在x=x0处的函数值及k阶(kn)导数值相等.,(2)给出误差f(x)-pn(x)的表达式,将x=x0代入pn(x)的表达式,得到,对pn(x)求导,再将x=x0代入,得到,对pn(x)求导,再将x=x0代入,得到,定理(泰勒中值定理)设函数f(x)在(a,b)内具有直到n+1阶导数,x0(a,b),则对于任意x(a,b),有 其中(介于与x之间),证 令G(x)=(x=x0)n+1,函数f(x)在x=x0点的n阶泰勒展开式.,在(a,b)内具有直到n+1阶的导数,且易求出,对Rn(x)与G(x)在相应区间上使用柯西定理n+1次,有,拉格朗日型余项,拉格朗日中值定理可看作是零阶(n=1)拉格朗
10、日型余项的泰勒公式,对于多项式pn(x)近似表达函数f(x),对于某个固定的n,当x在开区间(a,b)内变动时有 M(M为常数),则其误差有估计式.而且=0.从而当x x0时,Rn(x)是关于 的高阶无穷小,即余项又可以表示为 称这种形式的余项为皮亚诺(Peano)余项,当x0=0时的泰勒公式,又称为马克劳林公式,具有拉格朗日型余项的马克劳林公式也可写成,二、函数的泰勒展开式举例,例 求f(x)=ex的n阶麦克劳林公式.,解,例 求f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式.,解,例 求f(x)=ln(1+x)的n阶麦克劳林公式.,解,第四节 函数的单调性与极值,一、函数的单调性,定理1 设f(x)
11、C(a,b),且在(a,b)内可导,则(1)若对任意x(a,b),有f(x)0,则f(x)在a,b上严格单调增加;(2)若对任意x(a,b),有f(x)0,则f(x)在a,b上严格单调减少.,证 对任意x1,x2 a,b,设x1 x2,由拉格朗日中值定理,由f(x)0,得f()0,故f(x2)f(x1),(1)得证.类似地可证(2).,证 因sinx(-/2,/2),(sinx)=cosx0,x(-/2,/2),所以y=sinx在-/2,/2上严格单调增加.,例 证明y=sinx 在-/2,/2上严格单调增加.,函数单调增减区间的分界点是导数为零的点或导数不存在的点.如果函数在定义域区间上连续
12、,除去有限个导数不存在的点外导数存在,那么只要用f(x)=0的点及f(x)不存在的点来划分函数的定义域区间,在每一区间上判别导数的符号,便可求得函数的单调增减区间,例,证,二、函数的极值,定义1 设f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.若对任意x(x0),有 f(x)f(x0)f(x)f(x0),则称f(x)在点x0处取得极大值(极小值)f(x0),称为极大值点(极小值点),极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点,通常称f(x)=0的根为函数f(x)的驻点.可导函数的极值点一定是驻点,例,解,例,解,第五节 最优化问题,求一个函数(称为目标函数)的最大值或最小值问题.,例
13、,解,一、最大利润与最小成本问题,设某种产品的总成本函数为C(Q),总收益函数为R(Q)(Q为产量),则总利润L可表示为 L(Q)R(Q)-C(Q),假如L(Q)在(0,+)内二阶可导,则要使利润最大,必须使产量Q满足条件L(Q)=0,即 R(Q)=C(Q),表明产出的边际收益等于边际成本,还要求L(Q)=R(Q)-C(Q)0,即 R(Q)C(Q),“最大利润原则”,“亏损最小原则”,单位成本(即平均成本)最小的问题,设某种产品的总成本为C(Q),则生产的平均成本为,最小,必须使产量Q满足条件,表明产出的边际成本等于平均成本,例,解,总收益 R(Q)=PQ=60Q,总利润 L(Q)=R(Q)-
14、C(Q),令L(Q)=0,得唯一驻点Q0=200,又L(Q0)=L(200)=-0.60，所以当日产量为Q0=200单位时可获最大利润.,最大利润为 L(200)=3000(元),二、库存问题,假定计划期内货物的总需求为R,考虑分n次均匀进货且不允许缺货的进货模型.,设计划期为T天,待求的进货次数为n,那么每次进货的批量为q=,进货周期为t=,再设每件物品贮存一天的费用为c1,每次进货的费用为c2,在计划期(T天)内总费用E由两部分组成,(1)进货费(2)贮存费,于是总费用E可表示为批量q的函数,最优批量q*应使一元函数E=f(q)达到极小值,最优进货次数为,最优进货周期,最小总费用,三、复利
15、问题,例 设林场的林木价值是时间t的增函数V=,又设在树木生长期间保养费用为零,试求最佳伐木出售的时间,解 如果考虑到资金的时间因素,晚砍伐所得收益与早砍伐所得收益不能简单相比,而应折成现值,设年利率为r,则在时刻t伐木所得收益V(t)=的现值,按连续复利计算应为,四、其他优化问题,例 巴巴拉小姐得到纽约市隧道管理局一份工作,她的第一项任务是决定每辆汽车以多大速度通过隧道,可使车流量最大.经观测,她找到了一个很好的描述平均车速v(kmh)与车流量f(v)(辆/秒)关系的数学模型 试问:平均车速多大时,车流量最大?最大车流量是多少?,解,得唯一驻点v=26.15(kmh).由于这是一个实际问题，
16、所以函数的最大值必存在.当车速v=26.15kmh时,车流量最大,且最大车流量为f(26.15)=8.8(辆/秒).,第六节 函数的凸性、曲线的拐点及渐近线,一、函数的凸性、曲线的拐点,在(0,)上都是单调的,但它们增长方式不同,从几何上来说，两条曲线弯曲方向不同.,函数图形向上或向下凸的性质称为函数的凸性.,向下凸的曲线,其上任意两点间的弧段总位于联结两点的弦的下方,向上凸的情形正好相反,在曲线y=f(x)上任取两点(x1,y1)和(x2,y2),设x1 x2,联结这两点的弦的参数方程,对任意t0,1,则可得区间x1,x2内一点,曲线上对应点的纵坐标,弦上对应点的坐标,定义1 设f(x)在a
17、,b上连续,对任意两点x1,x2 a,b,若有,定理1 设f(x)在a,b上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在(a,b)内f“(x)0,则f(x)在a,b上是严格下凸的;(2)若在(a,b)内f“(x)0,则f(x)在a,b上是严格上凸的.,定义2 设f(x)C(U(x0),若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)的左右两侧凸性相反,则称点(x0,f(x0)为该曲线的拐点,若(x0,f(x0)是曲线y=f(x)的拐点,则f(x0)=0或f(x0)不存在.,二、曲线的渐近线,1.水平渐近线,定义3 设函数y=f(x)的定义域为无限区间,如果 f(x)=A或 f(x)=A(A为
18、常数),则称直线y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线,2.垂直渐近线,定义4 设函数y=f(x)在点x0处间断,如果 f(x)=或 f(x)=,则称直线x=x0为曲线y=f(x)的垂直渐近线,3.斜渐近线,定义5 设函数y=f(x)的定义域为无限区间,且它与直线y=ax+b有如下关系：f(x)-(ax+b)=0 或 f(x)-(ax+b)=0,则称直线y=ax+b为曲线y=f(x)的斜渐近线,例,解,三、函数图形的描绘,(1)确定y=f(x)的定义域;,(3)求出f(x)=0和f(x)=0的根及其不存在的点,并将它们作为分点划分定义域为若干个小区间;,(2)讨论函数的单调性、奇偶性、周期性等;,(4)列表确定函数的单调区间和极值及曲线的凸向区间和拐点；,(5)确定曲线的渐近线；,(6)算出方程f(x)=0,f(x)=0的根所对应的函数值,定出图形上的相应点.,(7)作图.,例,解,凹、单调增,凹、单调减,凸、单调增,凸、单调减,描绘f(x)=2xe-x的图形.,(1)定义域为(-,+),且f(x)C(-,+),(2)f(x)=2e-x(1-x),f(x)=2e-x(x-2),由f(x)=0得x=1,由f(x)=0得x=2,把定义域分为三个区间(-,1),(1,2),(2,+);,(3)列表如下:,f(x)=2xe-x,
