微分中值定理的推广极其应用.doc

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1、 本 科 毕 业 论文（数学）微分中值定理的推广及应用The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its Application学 院 （系）： 数计院 专 业： 数学与应用数学 学 生 姓 名： 学 号： 指 导 教 师（职称）： 完 成 日 期： 2013.05 湖南师大微分中值定理的推广及应用数理学院 摘 要 本文在阐述了微分中值定理的一般证法的基础上,给出了新的证明方法,讨论了三大微分中值定理之间的递进关系等,并对中值定理进行了一定地推广,同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、不等式以及讨论方程根的存在性等几个方

2、面的应用.关键词 微分中值定理；新证法；推广；费马定理The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its ApplicationMathematical Institute Abstract: In this paper, the differential mean value theorem of the general license based on the method, gives a new proof method, discusses the three differential mean value th

3、eorems of transitive relations among, and the mean value theorem for a promotion, and specific analysis of the differential mean value theorem in the proof of identity, inequality and discuss the equation existence of root and so on several aspects of the application.Key words: Differential mean val

4、ue theorem; New method; Promotion; Fermats theorem目 录0 绪论11 微分中值定理及相关的概念12 微分中值定理普遍的证明方法22.1 费马定理22.2 罗尔中值定理22.3 拉格朗日中值定理32.4 柯西中值定理43 中值定理的推广43.1 关于三个中值定理新的证明方法4 3.2 微分中值定理的推广6 3.3 微分中值定理的弱逆定理 104 微分中值定理的应用114.1 利用微分中值定理证明等式114.2 利用微分中值定理证明不等式144.3 讨论方程根的存在性 15结束语18参考文献18致谢180绪论微分中值定理是包括Rolle定理、Lag

5、range定理、Cauchy定理等一系列基本定理的总称.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着很重要的作用.因此，微分中值定理构成了整个微分学基础而重要的内容.1 微分中值定理及相关概念所谓微分中值定理,其实是指一个(或多个)函数导数与其增量之间的等式关系.通俗的讲,微分中值定理就是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定

6、理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的几个概念.定义1 (最小值或最大值) 设在上有定义,若存在使任意,(),则称为的最小值(最大值).为最小值点(最大值点).定义2 (极小值或极大值) 设在任意上有定义,若存在任意,都有 (),则称为的一个极小值(极大值),称为极小值点(极大值点).定义3 (极限的局部保号性) 若,则存在任意使得.定义4 (函数单调性) 函数在定义域内,当时,有则称单调递增(严格单调递增).当时,有,则称单调递减(严格单调递减).定义5(凸性) 若函数曲线位于其每一点处切线的上方(下方),则称函数曲线时下凸(上凸)的,或称函数向下凸(上凸).定义6(凹性) 若的

7、一阶导数在上单调递增(或递减),则称在是向上凹(下凹)的,或称函数曲线向上凹(下凹).2 微分中值定理普遍的证明方法2.1 费马定理定理1 设在区间有定义.若是函数的极值点,且在处可导,则.费马定理的几何意义:若将函数的曲线置于平面直角坐标系,则费马定理具有几何意义:对曲线上,若有一点存在切线,且为极值点.则这一点处的切线平行于轴.证明 为的极值点.设为极小值点,则存在任意,有,若,则 ;若,则 ;取极限与分别为、,由于在处可导,则=由极限的局部保号性有, .故 =.所以有 , 即.2.2 罗尔中值定理 定理2 设满足:(1) 在闭区间上连续; (2) 在开区间内可导; (3) ,则至少存在一

8、点使得.罗尔定理的几何意义:若满足罗尔定理的条件,则在曲线上至少存在一点,使得点处的切线平行于轴(如图), 其中,.证明 由于在闭区间上连续,从而存在最大值,最小值.若则对任意有,即为常函数,所以.若,由于.与不同时为区间的端点,不妨设,所以必为的极大值.设,则有,且在内可导,根据费马定理可知 .证毕.2.3 拉格朗日中值定理 定理3 若函数满足:(1) 在闭区间上连续;(2) 在开区间内可导;则至少存在一点使得.证法 利用罗尔中值定理,构造辅助函数.证明 作辅助函数,显然,在上连续, 在内可导,且,由罗尔定理可知,存在一点 使得 即.推论 设、都在区间上可导,且,则2.4 柯西中值定理 定理

9、4 设函数、满足:(1) 在闭区间上连续;(2) 在开区间内可导,且，则至少存在一点使得.证明 由定理条件可知,则任意都有,因此,只需证 ,为此,构造函数,显然,在上连续,在内可导,且,根据罗尔定理,存在,使得,即, 所以.3 中值定理的推广微分中值定理在数学分析中甚至是整个数学领域都占有非常重要的地位,其证明方法也有多种.3.1 关于三个中值定理新的证明方法3.1.1 罗尔定理的新证法引理1非单调函数在上连续,在内可导,则存在一点,使得.证明 因为在上连续,且非单调,故存在为函数的极值点.又在内可导,故在点可导,由费马定理可知.罗尔定理的新证法 证明 因为,且. （1） 若为常数,则必有，所

10、以,存在,使得;（2） 若不是常数,则非单调,又有在上连续在内可导,根据引理1,存在,使得 .证毕.3.1.2 拉格朗日中值定理的新证法证明（利用分析法证明拉格朗日中值定理）要证存在使得 成立，即证,存在使得 (1) 成立.亦即 (2)记,则由满足罗尔定理的条件知,存在使得(2)成立,进而(1)成立.从而拉格朗日中值定理成立.3.1.3 柯西中值定理的新证法 证明 首先构造辅助函数,由于,故可知恒大于零或者恒小于零.否则,由费马定理可知,必存在 使得.我们不妨设恒大于零.于是,对于任意,其中,.又由复合函数连续性定理即含参变量函数定理可证得在闭区间上连续;在开区间内可导,且故即是要证明,因此可

11、构造辅助函数:,可以验证满足罗尔定理的条件,故至少存在一个,使得成立.再由知,至少存在使得成立,柯西中值定理得证.3.2 微分中值定理的推广 微分中值定理是微分学的核心内容,而随着其不断地发展和完善,衍生了许多微分中值定理的推广.以下是几种微分中值定理的推广形式.3.2.1 罗尔定理的推广 定理5 设在内可导,且,其中,则存在使得.证明 由于在内可导,则必有在上连续,又有. (1)当时,对在两点进行连续延拓,使得,则有在上连续,在内可导且有,所以,满足罗尔定理的条件,存在使得.(2)当时,由于,故存在,使得,所以在上连续,在内可导,满足罗尔定理,即存在使得.综上所述,存在使得.3.2.2拉格朗

12、日中值定理的推广 定理6(推广一) 设在上连续,在内可导,则存在使得.证明 作辅助函数,很明显在连续,在内可导,且,则根据罗尔定理有,存在使得,命题得证.定理7(推广二) 若在有限开区间内可导,且与存在,则至少存在一点使得.证明 （1）当时,由定理5可知,结论成立.（2）当时,作辅助函数,由在内可导知,在内也可导,又因为;,根据定理5可知,至少存在一点使得.进而有,即.综上所述,存在一点使得.3.2.3柯西定理的推广 定理8(推广一) 在连续,在内可导,任意,有.则存在使得.证明 作一个辅助函数,则在连续,在内可导,且,所以在上满足罗尔定理,即存在使得.因为,所以,即得.定理9(推广二) 若在

13、有限或无穷区间中的任意一点有有限导数和,任意,都存在,则至少存在一点使得 .证明 首先证明.假设即,根据定理5可知,至少存在一点使得.与已知条件相互矛盾.其次,作辅助函数由已知得在可导且,所以,.根据定理5可知,至少存在一点使得即.3.2.4 微分中值定理的推广定理10 设函数在上连续, 在内可导,且,则在内至少存在一点,使得 .证明 根据题意,设显然在上连续, 在内可导,并且 即,所以由罗尔中值定理可知在至少存在一点使得 证毕.当上述式子中时,可得到柯西中值定理;当上述式子中时,可得到拉格朗日中值定理.3.3 微分中值定理的弱逆定理在一定的附加条件下微分中值定理的弱逆定理成立.定理11 (拉

14、格朗日中值定理的弱逆定理) 设在上连续,在内可导,若在严格单调,则对任意的,存在使得成立.证明 因为在上严格单调,不妨设其严格单调递增, 由定义6可知,函数在上是向下凸的,再由定义5,任意的,有,所以,切线在曲线下方,所以存在的邻域使得直线的平行线与有两个交点,假设交点为 .即有,得到,结论得证.定理12（柯西中值定理的弱逆定理）设在上连续,在内可导,且严格单调,则对于任意的存在,使得成立.证明 对任意的,作辅助函数,显然, 在上连续,在内可微,并且由严格单调,可知也严格单调.由定理11知,对任意的,存在使得成立.而,所以有, ,整理得.证毕.4 微分中值定理的应用微分学是整个数学分析的重要组

15、成部分,而微分中值定理是微分学的核心内容,其建立了函数值与导数之间的关系,是用于证明等式,证明不等式,讨论方程根的存在性等问题的重要工具.4.1 利用微分中值定理证明等式例1 设函数在上连续,在内可导.证明存在使得,.证明 利用柯西中值定理 令,显然,在上连续,在内可导,且,所以,存在使得 ,所以.证毕.例2 设函数在上连续,在内可导,且.证明对任意常数,存在,有.证明 利用罗尔定理,构造函数,由于在上连续, 在内可导,且，所以,且在上连续,在内可导，所以,存在使得,即.例3 设满足:(1) 在上连续;(2) 在内可导,证明存在,使得.证明 证法同例2,令即可证得.小结 如例3,例7中用罗尔定

16、理证明,需要构造出原函数,此类函数有固定的原型,利用微分中值定理容易得到想要证明的结论.例4 设,在上连续,在内可导, .则有使得.证明 由于,且在上连续在内可导，所以,必存在使得,根据罗尔定理,存在使得 .例5 证明恒等式:. 证明 令,则,所以,在为常函数.又有，所以,即成立.例6 设且在上连续,在内可导.则存在使得.证明 变换待证等式为 其中,显然,利用罗尔定理即可得.例7 设,在内可导,则存在,使得.证明 变换待证等式为,其中.由于,所以,其中,于是,在上满足罗尔定理,从而有结论.若待证等式明显可表示为的形式,则很可能就是,因而,可以利用柯西定理证明.例8 设,在连续可导,则存在使得.

17、证明 令则,且,在上连续在内可导,根据柯西定理,存在使得,即.4.2 利用微分中值定理证明不等式利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式时,常将待证不等式变形为 的形式,且满足拉格朗日或柯西定理的条件,再证明对一切的有,最后利用中值定理证明.例9 证明对任何正数、有 .证明 令,.则在上连续,在内可导,根据拉格朗日中值定理,存在使得 ,由于,所以,即有 .例10 设为非线性函数,且在上连续,在内可导,则存在使得 .证明 变换待证不等式为 ,其中,若结论不成立,则,因而单调递减.但是,故,必有,从而与已知矛盾,所以结论成立.即成立.例11 设函数在上连续,在内可导,则存在,使得 .证明 若不

18、存在,则,从而单调递增，又由于满足罗尔定理,则存在使得,又有,所以,非单调递增.上下矛盾.因而,存在使得 .例12 设,对任意.证明.证明 当时,结论显然成立.当时,取或,在该区间上,设,根据柯西定理,有,或,即;当时,，即;又有,所以.当时, ,所以,.由此,不等式得证.4.3 讨论方程根的存在性注意到在中值定理中有,令,这样就可以利用中值定理讨论方程的根的存在性.例13 设为任意个实数,证明函数在必有零点.证明 作辅助函数,则,容易验证在上连续,在可导,且 ,所以存在使得,即.所以,在必存在零点. 例14 设函数在区间上可导,则的两个零点间一定存在的零点. 证明 (采用罗尔定理)任取的两个

19、零点.不妨设.作辅助函数,则在上连续,在内可导,且,由罗尔定理,存在,使得,即 ,而,故有,即的两个零点间一定存在的零点.例15 证明:若,则多项式在内至少有一个实根.证明 令则,又有在连续可导,且,满足罗尔定理的条件,故存在使得即,结论得证.例16 若函数在上非负,且三阶可导,方程在内有两个不同的实根.证明存在使得.证明 因为方程在内有两个不同的实根,设其分别为所以,又由于非负，根据极值定义可以知道为的两个极值点,所以有又因为满足罗尔定理，所以存在使得 ,又三阶可导，所以满足罗尔定理,即存在,使得 ,同样满足罗尔定理,则存在使得.证毕.例17 设,则方程在内有解.证明 将待证问题转化为中值问

20、题:存在使得,即,根据柯西中值定理直接得证,即方程在内有解.例18 若函数在可导,对与之间的任意数,则在内至少存在一点,使得.证明 不妨设.则.作辅助函数 ,有.显然, 与,即与 .由极限保号性,存在,使得,从而,.存在,使得 ,从而, .于是,在内至少存在一个极小值点.根据费马定理,有,即.结束语由上所述,我们发现微分中值定理的证明除了构造辅助函数,还可以利用其他的证明方法加以证明,同时从罗尔定理到柯西中值定理的层次之间还存在着递进关系.除了本文介绍的几个方面,利用微分中值定理还可以导出洛必达法则,泰勒公式等.由导数研究函数的性态(极值、最值、凹凸性)也要用到微分中值定理的结论. 深入研究微

21、分中值定理,有助于加深对这些定理的理解;清楚这些定理的证明,能促使我们掌握微分中值定理的具体应用.参考文献1 刘玉链等编.数学分析讲义M 高等教育出版社 20032 张勇.微分中值定理的认识及推广J.消费导刊时空教育 . 2009(02) 1663 童蓓蕾;胡燕. 微分中值定理证法的改进J. 科技创新导报.2011(07) 1514 李阳; 郝佳. 微分中值定理的延伸及应用J. 辽宁师专学报. 2011（01）6-85 张晓彦; 刁光成. 微分中值定理的推广J. 科技天地. 2009(34) 31-326 朱美玉. 微分中值定理的进一步探讨J. 湖北广播电视大学学报. 2009(08) 158

22、-1597 邢建平; 徐湘云. 微分中值定理的解题应用J.中小企业管理与科技(上旬刊). 2010(08) 1588 胡适耕，姚云飞编著.数学分析：定理问题方法M.科学教育出版社 2007致谢在论文的写作过程中，我得到了很多热心人的帮助，特别是感谢宋老师以及给与我悉心的指导的朋友们，并引导我翻阅了大量的书籍，对论文进行了多次、细致的修改.论文导师细心谨慎的修改，使我的论文更加严密与完善.老师严谨的教学精神以及渊博的知识，都使我受益匪浅，在此谨向宋老师致以衷心的谢意！第二稿目 录摘 要14ABSTRACT151前言162预备知识163 Rolle定理条件的探讨与分析174Rolle定理和Lagr

23、ange中值定理的推广195新的中值定理226具体运用236.1微分中值定理推广定理的运用236.2新中值定理的运用237结论25致 谢26参考文献27微分中值定理的推广及其应用摘 要本文对微分中值定理中的Rolle定理条件进行了详细的分析与讨论，然后给出Rolle定理和Lagrange中值定理的推广定理，再结合高等代数中的矩阵知识，推导出新的中值定理，进而扩大微分中值定理的应用范围最后，给出具体实例，进行定理的应用关键词：微分，中值定理，推广，应用Differential in the value of the law of the promotionand applicationABSTR

24、ACTOf differential in the value of the theorem rolle theorem conditions detailed analysis and discussion and rolle lagrange theorem and the value of the law of the theorems, combining the promotion of matrix knowledge, resulting in the value of the new law, and then expand the differential in the la

25、w of value of the scope of application. finally, the specific instance, the application of a theorem.KEY WORDS：differential，mean value theorem ，expand，demonstrate，application1引言Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理统称为微分中值定理1微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值因

26、此讨论微分中值定理的推广具有重要的价值，如25678.一般来说，Lagrange中值定理、Cauchy中值定理的证明都是通过Rolle定理来实现的，故有必要对Rolle定理进行深入的探讨与研究，如4.而Lagrange中值定理的特殊情况f(a)=f(b)就是Rolle定理，故Lagrange中值定理本身就是Rolle定理的一种推广要想对Rolle定理进行推广，就必须对Rolle定理的条件进行详细的分析和探讨同时，在实际运用微分中值定理时，我们常会遇到这样的情况，即定理的条件不全满足，但仍然有这样的结论为此，我们有必要将Rolle定理进行推广 本文详细分析了Rolle定理的条件，进而将Rolle

27、定理向无穷区间进行了推广，然后又在此基础上对Lagrange中值定理进行了推广，再结合高等代数行列式的知识，推导出新的中值定理最后，给出了定理的具体应用2预备知识首先回顾一下微分中值定理Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理统称为微分中值定理Rolle定理1：设函数在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）上可导，且,则至少存在一点（a,b），使得Lagrange中值定理1：设函数在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）上可导，且,则至少存在一点，使得Cauchy中值定理1：设和都在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）上可导，且对任意，则至少存在一点，使得 引理1（Fe

28、rmat引理）1 是的一个极值点，且在处导数存在，则引理22 设函数在闭区间（a,b）内连续，且，则在（a,b）内能取得最小值（最大值）证明 令，由条件知，故存在使得对任意有现取， 因在上连续，故在上能取得最小值与最大值，因为由可知在上的最小值与最大值，就是在（a,b）内的最小值（最大值），引理得证定义13 函数与是定义在区间D上的函数，则行列式定义23 函数与是定义在区间D上的函数，则行列式3 Rolle定理条件的探讨与分析Rolle定理有3个条件：在闭区间a，b上连续；在开区间(a，b)内可导；缺少其中之一，洛尔定理就可能不成立例如：函数. 在0,1上不连续，如图3-1；. 在-1,1内不

29、可导，如图3-2；. ，如图3-3 函数在处不连续，所以函数在0,1上不连续，不满足Rolle定理条件，故函数在0,1上不能运用 Rolle定理函数在处不可到，所以函数在(-1,1)内不可导，不满足Rolle定理条件，故函数在-1,1上不能运用Rolle定理函数在0,1上两端点的函数值不相等，即，不满足Rolle定理条件，故函数在0,1上不能运用 Rolle定理尽管如此，也不能说这3个条件是洛尔定理的必要条件例如：函数 此函数在处不连续，在处不可导，且，所以函数在-2,2上不连续，在(-2,2)内也不可导，且两端点的函数值也不相等，这就是说此函数不满足Rolle定理的3个条件但是，在开区间(一

30、2，2)内仍存在一点 满足这说明，洛尔定理的3个条件都是充分条件Rolle定理中“函数在开区间(a，b)可导”，不宜改为“在闭区间a，b可导”虽然“函数在闭区间a，b上可导”，这一条件包含了“函数在闭区间a，b上连续”和“函数在开区间(a，b)内可导”这两个条件，而且看起来这样替换比以前更简便些，但是，“函数在闭区间a，b上可导”这一条件不仅包含了“函数在闭区间a，b上连续”和“函数在开区间(a，b)内可导”这两个条件，而且比这两个条件（函数在闭区间a，b上连续和函数在开区间(a，b)内可导）对的要求更为严格，即要求函数f(x)在点a存在右导数和在点b存在左导数，这样就会使满足Rolle定理条

31、件的函数要比原来少很多例如：函数在闭区间一1，1上连续，在开区间(一1，1)内可导，且，满足洛尔定理的条件因此，在开区间(一1，1)内至少存在一点，使得 显然但是，在闭区间一1，1并不可导因为导数分别在与的左、右导数都不存在由此可见，如果将Rolle定理的条件替换成函数在闭区间a，b上可导，且,那么对函数在闭区间一1，l上就不能应用Rolle定理这样就缩小了Rolle定理的适用范围因而，Rolle定理的条件不宜替换且Rolle定理中前两个条件（函数在闭区间a，b上连续和函数在开区间(a，b)内可导）是彼此有关的函数在开区间(a，b)内可导，则函数在开区间(a，b)内连续，它被包含在“函数在闭区

32、间a，b上连续”之中但是，函数在开区间(a，b)内可导，不能代替函数在闭区间a，b上连续，而函数在闭区间a，b上连续更不能代替函数在开区间(a，b)内可导为了使这两个条件互相独立，可改为“函数在开区间(a，b)内可导和函数在a右连续在b左连续”这样叙述，虽然这两个条件是互相独立的，但是行文很累赘为了叙述上的对称性和便于记忆，不追求条件之间的独立性，数学分析中关于Rolle定理以及微分中值定理的条件仍叙述为“函数在闭区间a，b上连续和函数在开区间(a，b)内可导”然而，在实际运用微分中值定理时，我们常会遇到这样的情况，即定理的条件不全满足，但仍然有这样的结论比如；所给区间为或或为此，我们有必要将

33、Rolle定理进行推广4 Rolle定理和Lagrange中值定理的推广定理1：设函数在（a,b）内可导，且有，则存在点，使得证明：首先对A为有限值进行论证：令则易知函数在a,b上连续，在（a,b）内可导且由Rolle定理可知，在(a,b)内至少存在一点，使得，而在(a,b)内有，所以其次对A=（）进行论证：由引理1，在（a,b）内能取得最小值（最大值）不妨设：函数在处取得最小值（最大值）此时函数在处也就取得极小值（极大值）又因为在处可导，由Fermat引理，可得综上所述，从而定理得证定理2：设函数在(a,),内可导，且，证明：在（a,)中存在一点，使得证明：令，且，于是，复合函数在有穷区间上

34、满足一下条件：（）：在内可导；（）：于是，令 其中由定理1知，存在一点，使得，其中显然，由于，故有定理3：设函数在（，b),内可导，且，证明：在（,b)中存在一点，使得证明：令，且，于是，复合函数在有穷区间上满足一下条件：（）：在内可导；（）：于是，令 其中由定理1知，存在一点，使得，其中显然，由于，故有定理4：设函数在（，),内可导，且，证明：在（,)中存在一点，使得证明：令，于是复合函数在有穷区间内满足一下条件：（）：在内可导；（）：，于是，令 其中由定理1可知，至少存在一点，使得，其中，由于，故有定理5：如果函数满足条件：在开区间（a,b）上可导且存在，则在（a,b）内至少存在一点，使得

35、证明：令，则易知，则根据定理1可得，至少存在一点，使得，则在（a,b）内至少存在一点，使得故命题得证5新的中值定理定理6: 设函数和在闭区间a,b上连续，在（a,b）上可导，则在（a,b）内存在一点，使得证明：令，则，又有，易知在闭区间a,b上连续，在（a,b）上可导，故运用Lagrange中值定理可得，存在一点，使得，即，所以在（a,b）内存在一点，使得，故定理得证定理7: 设函数和在闭区间a,b上连续，在（a,b）上可导，且在闭区间a,b上，有意义，则在（a,b）内存在一点，使得证明：令，易知和在区间a,b上满足Cauchy中值定理条件，故有，,即，所以在（a,b）内存在一点，使得，故定理

36、得证6具体运用6.1微分中值定理推广定理的运用例1，设函数在内可导，且具有二阶连续导数，且，求证：存在，使得证： 由定理2可得，存在，使得又因为在具有二阶连续导数，则在内具有一阶连续导数，故有例2,设函数满足条件：在开区间（a,b）上可导且存在，且，对任意，有，证明证：由题设对任意，函数在上满足定理5的条件，则，由于对任意，有，于是，其中是在0,1上的最大值同理有，对任意自然数n，有因为，所以即，再由的任意性，故对任意有恒等于0即命题得证6.2新中值定理的运用例1 设a,b0，证明存在一点，使得证：根据定理6，令令，那么 ，则存在一点，使得，即，故存在一点，使得例2 设a,b0，证明存在一点，

37、使得证: 根据定理6，令，那么，则存在一点，使得，即，故存在一点，使得 例3 设在a,b上连续（），在（a,b）上可导，证明存在一点，使得证：根据定理7，令，那么 ，则存在一点，使得，即，故存在一点，使得例4 设a,b0，证明存在一点，使得证：根据定理7，令，那么，则存在一点，使得，即，故存在一点，使得例5 设0a,b，证明存在一点，使得证：根据定理7，令，那么，则存在一点，使得，即，故存在一点，使得7结论微分中值定理作为微分学的基本定理在研究函数的性质方面起着重要作用本文推广微分中值定理，推导出新的中值定理，意在扩大中值定理的应用范围，增强其实际应用价值，使中值定理发挥更大作用但是，由于作者本人学术有限，给出的推广和新的中值定理，在应用的范围方面肯定会有点窄，还需要进一步研究和推广