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1、第2章 控制系统的数学描述,数学模型：描述系统输入、输出变量及内部变量之间因果关系的数学表达式。建立数学模型的方法有两种：解析法和实验法。解析法是分析系统各环节运动机理，按照其遵循的物理化学规律列写输入输出变量之间关系的数学表达式。实验法是对系统输入某种测试信号，记录系统或各环节输出变量的运动响应。通过数据处理选择一种数学模型可以近似地表示这种响应，该过程称为系统辨识。,2.1 控制系统的微分方程描述2.2 拉氏变换及反变换2.3 控制系统的传递函数描述2.4 控制系统的动态结构图2.5 控制系统的信号流图,微分方程可以描述被控量（系统输出）和给定量（系统输入）或扰动量（扰动输入）之间的函数关
2、系。通过对微分方程的求解、特征根分析等方法可以了解系统稳定性、变量动态响应轨迹等性能。2.1.1 建立微分方程 建立控制系统的微分方程，需要了解整个系统的组成环节和工作原理。列写微分方程的一般步骤如下：,2.1 控制系统的微分方程描述,（1）分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量（必要时还要考虑扰动量），并根据需要引进一些中间变量。（2）根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出微分方程。常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿定律和热力学定律等等。（3）消去中间变量后得到描述输出量与输入量（包括扰
3、动量）关系的微分方程，即元件的数学模型。,例 2.1.1 电气系统 电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。仅由电阻、电感、电容(无源器件)组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含运算放大器(有源器件)，就称为有源网络。,例 由电阻R、电感L和电容C组成无源网络。ui输入，uo输出，求微分方程。,解 设回路电流为 i(t)如图所示。由基尔霍夫电压定律可得到,式中i(t)是中间变量。i(t)和u o(t)的关系为,消去中间变量i(t)，可得,机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）
4、和转动（相应的位移称为角位移）两种。,例 一个由弹簧-质量-阻尼器组成的机械平移系统如图所示。m为物体质量，k为弹簧系数，f 为粘性阻尼系数，外力F(t)为输入量，位移x(t)为输出量。列写系统的运动方程。,例2.1.2 机械系统,解 在物体受外力F的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2。设外作用力F为输入量，位移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿第二定律，可列出作用在m上的力和加速度之间的关系为,k和f分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反；粘性摩擦力的方向和速度的方向相
5、反。,比较上面两个例子可见，虽然它们为两种不同的物理系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统，例如上述RLC串联网络系统和弹簧-质量-阻尼器系统即为一对相似系统，故可用电子线路来模拟机械平移系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似量。,电枢控制式直流电动机,电机电枢输入电压,电机输出转角,电枢绕组电阻,电枢绕组电感,流过电枢绕组的电流,电机感应反电动势,电机转矩,电机及负载折合到电机轴上的转动惯量,电机及负载折合到电机轴上的粘性摩擦系数,例2.1.3 机电系统,将上面四个方程联立，可得,考虑到:,可将上式改写成,可知：对于同一个系统，若从
6、不同的角度研究问题，则所得出的数学模型式不一样的。,电机时间常数 电机传递系数,注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降阶顺序排列。,单输入、单输出系统微分方程的一般形式：,实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。,放大器饱和 电机死区 齿轮间隙 继电器开关特性,2.1.2 非线性系统的线性化,严格讲：所有系统都是非线性的,尽管线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。另外，迭加原理不适用于非线性系统，这给解非线性系统带来很大不便。故我们尽量对所研究的系统进行线性化处理，
7、然后用线性理论进行分析。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。,线性化条件：,非线性因素对系统影响很小系统变量只发生微小偏移，可通过切线法进行线性化，求其增量方程,y=f(r)r元件的输入信号，y元件的输出信号,略去高次项，,设原运行于某平衡点（静态工作点）A点：r=r0,y=y0,且y0=f(r0)B点：当r变化 r，y=y0+y函数在（r0,y0）点连续可微，在A点展开成泰勒级数，即,单摆,线性化步骤：,找出静态工作点（工作点不同，所得方程系数也不同）在工作点附近展开成泰勒级数略去高阶项，得到关于增量的线性化方程,是分析工程控制系统的基本数学方法,时域微分方程,复变
8、函数代数方程,2.2 拉氏变换及反变换 一种解线性微分方程的简便方法,2.2.1 拉氏变换定义,对于函数，满足下列条件,象函数,原函数,例2.2.1 单位阶跃函数,例2.2.2 指数函数,例幂函数,应记住的一些简单函数的拉氏变换,2.2.2 拉氏变换的性质及应用,叠加性质,微分定理,微分定理,两个重要推论：,积分定理,两个推论：,4 衰减定理,原函数衰减，象函数超前,5 延时定理,原函数滞后，象函数衰减,注意：f(t)表达式里所有的t 都要延时！,6 初值定理,终值定理,8 时间比例尺改变的象函数,9 tx(t)的象函数,10 的象函数,11 周期函数的象函数,12 卷积分的象函数,例2-1
9、求单位脉冲函数的象函数,例 求象函数,解：,2.2.3 拉氏反变换,拉氏反变换方法：,利用拉氏变换表利用部分分式展开法，然后再利用已知函数的拉氏变换和拉氏变换的性质,控制系统象函数的一般形式：,将分母因式分解后，包括三种不同的极点情况，采用部分分式法进行拉氏反变换,使分子为零的S值称为函数的零点,使分母为零的S值称为函数的极点,1、只含有不同单极点情况：,对分母分解因式,再分解为部分分式,-即含有不可因式分解的二次因式,方法:待定系数法 将不可分解的二次因式做为一项分解为:,将右边的部分分式通分,按分子分母对应项系数相等的原则得到关于待定系数的方程组,求解即可.,的原函数求法配方,利用,2、含
10、有共扼复极点情况：,3、含有多重极点情况：,其中 的求法：,用拉氏变换解微分方程的步骤：,1.对微分方程进行拉氏变换，转换成以象函数为变量的代数方程；2.解代数方程，求出象函数表达式；3.作拉氏反变换，求出微分方程的时间解。,2.2.4 用拉氏变换解常系数线性微分方程,2.3.1 传递函数的定义和性质传递函数是在拉氏变换基础上，以系统本身的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的关系式。表达了系统内在的固有特性，而与输入量或驱动函数无关。它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响应的影响。,2.3控制系统的传递函数描述,1.定义 零初始条件下，线性定常系统输出
11、量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，记为G(s)，即：,意义：,传递函数的求法 线性定常系统（环节）的一般表达式（零初始条件）,当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为,例2.9 求图示RC电路的传递函数，其中ui(t)是输入电压，uo(t)是输出电压,解 由基尔霍夫电压定律可得,2.关于传递函数的几点补充说明,（1）传递函数只适用于线性定常系统。（2）传递函数表达式中各项系数的值完全取决于系统的结构和参数，并且与微分方程中各导数项的系数相对应。（3）实际系统传递函数中分母多项式的阶数n总是大于或等于分子多项式的阶数m，即nm。通常将分母多项式的阶数为n的系统
12、称为n阶系统。（4）传递函数只能表示单输入、单输出的关系。,上式中 Kg零极点形式传递函数的根轨迹增益；-zi 分子多项式M(s)=0的根，称为零点；-pj 分母多项式N(s)的根，称为极点。N(s)=0是控制系统的特征方程式。zi、pj可为实数、虚数、或复数。若为虚数、或复数，必为共轭虚数、或共轭复数。,（5）零极点表示法,（6）时间常数表示法,上式中 i分子各因子的时间常数；Tj分母各因子的时间常数；K 时间常数形式传递函数的增益；通常称为传递系数。,一般形式,一个系统可看成由一些环节组成的，可能是电气的，机械的，液压的，气动的等等。尽管这些系统的物理本质差别很大，但是描述他们的动态性能的
13、传递函数可能是相同的。如果我们从数学的表达式出发，一般可将一个复杂的系统分为有限的一些典型环节所组成，并求出这些典型环节的传递函数来，以便于分析及研究复杂的系统。控制系统中常用的典型环节有，比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节和振荡环节等。以下介绍这些环节的传递函数及其推导。,2.3.2 典型环节及其传递函数,方框图：,1.比例环节（放大环节）,特点：输出量与输入量成正比，不失真也不延时。举例：这种类型的环节很多，机械系统中略去弹性的杠杆、作为测量元件的测速发电机(输入为角速度，输出为电压时)以及电子放大器等，在一定条件下都可以认为是比例环节。,例2-9,方框图：,2.惯性环节,特点：惯性环
14、节的特点是其输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟。其中时间常数越大，环节的惯性越大，则延迟的时间也越长。,例2-11 无源滤波电路,例设输入信号为单位阶跃信号，其拉普拉斯变换，则得输出量的拉普拉斯变换表达式为,在单位阶跃输入信号的作用下，惯性环节的输出信号是指数函数。当时间t=(34)T时，输出量才接近其稳态值。,微分环节理想微分环节,永磁式直流测速机,近似微分环节,特点：输出正比于输入对时间的积分。,4.积分环节,方框图：,在单位阶跃输入信号的作用下，输出量的拉普拉斯变换表达式为,输出量随时间成正比地无限增加,4.二阶振荡环节,振荡环节阶跃响应,例 无源RLC网络，输入r(t)，输
15、出y(t)。,解：,6.延迟环节,将延迟环节的传递函数展开为泰勒级数：,当延迟时间很小时，可近似为惯性环节：,特点：1、输出和输入相同仅延迟时间；不失真 2、与其他环节同时存在。人体、计算机系统、液压机械传动、气动传动。原因：延时效应。信号输入环节后，由于环节传递信号的速度有限。输出响应要延迟一段时间才能产生。,2.4.1 方块图的基本概念 系统方块图又称结构图，是将系统中所有的环节用方块来表示，按照系统中各个环节之间的联系，将各方块连接起来构成的；方块的一端为相应环节的输入信号，另一端为输出信号，用箭头表示信号传递的方向，并在方块内标明相应环节的传递函数。,表明了系统的组成、信号的传递方向；
16、表示出了系统信号传递过程中的数学关系；可揭示、评价各环节对系统的影响；易构成整个系统，并简化写出整个系统的传递函数；直观、方便（图解法）。,2.4 控制系统的动态结构图,2.4.2 组成,相加点（综合点、比较点）相同性质的信号进行去取代数和（相同量纲的物理量）,方块：一个元件（环节）的传递函数,信号流线：箭头表示信号传递方向,分支点：信号多路输出且相等,1.分析系统各环节物理规律，列写微分方程。2.对每个环节的微分方程进行拉式变换，得到对应的传递函数。3.绘出各环节的方块图,标明输入量、输出量3.将同一信号的通路连接在一起,组成完整的方块图,动态结构框图可以形象而明确的表达动态过程中系统各环节
17、的数学模型及相关关系，是系统图形化的动态模型。主要绘制步骤：,例2.4.1 汽车在凸凹不平的路面行驶，轮胎质量为,其弹性可等效为一个弹簧，汽车质量为。若以路面的高低位移变化为输入xi(t)，车体垂直位移为输出x0(t)，则汽车承载系统的简化力学模型如图所示。试建立系统的动态结构方框图。,例2.4.2 绘制系统方块图,例2.4.3 试求图示力学模型的传递函数。其中 xi(t)为输入位移，xo(t)为输出位移，k1、k2为弹性刚度，D1、D2为粘性阻尼系数。,解：粘性阻尼系数为D的阻尼筒可等效为弹性刚度为DS的弹性元件。并联弹簧的弹性刚度等于各弹簧弹性刚度之和，而串联弹簧弹性刚度的倒数等于各弹簧弹
18、性刚度的倒数之和。,可画出该系统的函数方框图：,根据方框图，可得该系统的闭环传递函数为：,2.4.2 动态结构图的等效变换及简化,1.环节的合并,（1）串联,（2）并联,（3）反馈,G1(S)为前向通道的传递函数，H(S)为反馈通道的传递函数G1(S)H(S)为闭环系统的开环传递函数,2.框图等效变换原则,在对系统进行分析时，为了简化系统的结构图，常常需要对信号的分支点或相加点进行变位运算，以便消除交叉，求出总的传递函数。变位运算的原则是，输入和输出都不变。变换前后的方框图是等效的。,（1）相加点（对信号求和）,（2）分支点（信号由某一点分开）,（3）分支点之间可任意互换，相加点之间可互换（但
19、注意前后符号一致）。（4）相加点和分支点之间一般不能互换变位,注意：有些实际系统，往往是多回路系统，形成回路交错或相套。为便于计算和分析，常将种复杂的方框图简化为较简单的方框图。方框图简化的关键是解除各种连接之间，包括环路与环路之间的交叉，应设法使它们分开，或形成大环套小环的形式。解除交叉连接的有效方法是移动相加点或分支点。一般，结构图上相邻的分支点可以彼此交换，相邻的相加点也可以彼此交换。但是，当分支点与相加点相邻时，它们的位置就不能作简单的交换。,例2.4.3 例所示汽车承载系统动态结构框图如图所示，试简化系统框图，求总传递函数。,其传递函数为,例2.4.4 简化下图，求出系统的传递函数。
20、,解 具有交叉连接的结构图。为消除交叉，可采用相加点、分支点互换的方法处理。,（1）将相加点a移至G2之后,（2）再与b点交换,（3）因 G4与G1G2并联，G3与G2H是负反馈环节,（4）上图两环节串联，函数相乘后得系统的传递函数为,注：以上为原系统的闭环传递函数，不是开环系统的传递函数 是闭环系统简化的结果；分母不能看成原闭环系统的开环传递函数，闭环系统开环传递函数应根据定义和具体框图定。,例,-,-,-,2.4.3 用梅逊公式求系统的传递函数,梅逊公式,例2.4.4 用梅逊公式求解如图所示系统的传递函数。解 分析方框图结构可见，该图有4个独立回路，其中回路2和回路3互不接触，因此可求系统
21、特征式。,图2.4.11 多回路系统,没有互不接触的三条回路，,，因此,只有1条前向通道，P1=G1G2G3G4G5G6又因为该前向通道与所有回路都有接触，所以 1=1根据梅逊公式，传递函数为,信号流图是控制系统的另一种图形表示,可将方块图转化为信号流图,然后采用梅逊公式化简。其基本组成单元为:,输入节点(源点),输出节点(阱点),混合节点(既有输入又有输出),支路,增益(传递函数),信号流向,节点：表示变量或信号。输入节点称为源点，输出节点称为阱点，既有输入又有输出地节点称为混合节点。支路：连接节点的定向线段。箭头表示信号的传递方向，传函标在支路上。通路:沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径前向通路:从输入节点到输出节点,经过任何节点不多于一次的通路回路:起点与终点重合,且与任何节点相交不多于一次的通路,2.5 控制系统的信号流图,例2-20 图示的低通滤波网络可表示的信号流图如图,例2-21,
