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1、数字信号处理,习题解答,第1章 时域离散信号与时域离散系统,2 给定信号：2n+54n160n40 其它(1)画出x(n)序列的波形，标上各序列值；(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；（3）令x1(n)=2x(n2)，试画出x1(n)波形；（4）令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形；（5）令x3(n)=x(2n)，试画出x3(n)波形。解：(1)x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。(2)x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n)+6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4),x(n)=,第1章 时域离散信号与时域离散系统,（3）
2、x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。(4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。(5)画x3(n)时，先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180)，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图（四）所示。,题2解图（一）,题2解图（二）,第1章 时域离散信号与时域离散系统,题2解图（三）,题2解图（四）,3 判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。,(1),解：（1）因为=,所以,这是有理数，因此是周期序列，周期T=14,第1章 时域离散信号与时域离散系统,5 设系统分别用下面的
3、差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2)解：（1）令输入为x(nn0)输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02)y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02)=y(n)故该系统是非时变系统,第1章 时域离散信号与时域离散系统,因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1)+3ax1(n2)+bx2(n2)a Tx1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2)bTx2(n)=bx2(n)+2b
4、x2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是线性系统。,第1章 时域离散信号与时域离散系统,6 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（2）y(n)=x(n)+x(n+1)解：该系统是非因果系统，因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M,则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M,因此系统是稳定系统。,7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出y(n)输出的波形。,题7图,第1章 时域离散信号与时域离散系统,解：解法（一）采用
5、列表法。y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(nm),第1章 时域离散信号与时域离散系统,y(n)=2,1,0.5,2,1,4.5,2,1;n=2,1,0,1,2,3,4,5,解法（二）采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+(n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故y(n)=x(n)*h(n)=x(n)*2(n)+(n1)+(n2)=2x(n)+x(n1)+x(n2)将x(n)的表示式代入上式，得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2)+
6、4.5(n3)+2(n4)+(n5),第1章 时域离散信号与时域离散系统,8.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=(n)(n2)（3）h(n)=0.5nu(n),xn=R5(n)解：（1）y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm)先确定求和域。由R4(m)和R5(nm)确定y（n）对于m的非零区间如下:0m3n4mn 根据非零区间，将n分成四种情况求解：,第1章 时域离散信号与时域离散系统,n7时，y(n)=0,最后结果为 0 n7 n+1
7、 0n3 8n4n7y(n)的波形如题8解图（1）所示。(2)y(n)=2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2)=2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如题8解图（2）所示,y(n)=,题8解图（1）,题8解图（2）,第1章 时域离散信号与时域离散系统,(3)y(n)=x(n)*h(n)=R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu(nm)y（n）对于m 的非零区间为 0m4,mn n0时，y(n)=0 0n4时，=(10.5n1)0.5n=20.5n,第1章 时域离散信号与时域离散系统,n5时,最后写成统一表达式：y(n)=(20.5n)R5(n
8、)+310.5nu(n5),13 有一连续信号xa(t)=cos(2ft+j)，式中，f=20 Hz,j=/2。（1）求出xa(t)的周期；（2）用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样，试写出采样信号 的表达式；（3）画出对应 的时域离散信号（序列）x(n)的波形，并求出x(n)的周期。解：（1）xa(t)的周期为,第1章 时域离散信号与时域离散系统,（2）,（3）x(n)的数字频率=0.8，故，因而周期N=5，所以 x(n)=cos(0.8n+/2)画出其波形如题13解图所示。,第1章 时域离散信号与时域离散系统,题13解图,14.已知滑动平均滤波器的差分方程为,（1）求出该滤波器的
9、单位脉冲响应；（2）如果输入信号波形如题14图所示，试求出y(n)并画出它的波形。解：（1）将题中差分方程中的x(n)用(n)代替，得到该滤波器的单位脉冲响应，即,第1章 时域离散信号与时域离散系统,（2）已知输入信号，用卷积法求输出。输出信号y(n)为,表表示了用列表法解卷积的过程。计算时，表中x(k)不动，h(k)反转后变成h(k)，h(nk)则随着n的加大向右滑动，每滑动一次，将h(nk)和x(k)对应相乘，再相加和平均，得到相应的y(n)。“滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。最后得到的输出波形如前面图所示。该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化，使波形变化缓慢。,题14
10、图,第1章 时域离散信号与时域离散系统,第2章 时域离散信号和系统的频域分析,5.设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示，不直接求出X(ej)，完成下列运算或工作：（1),(4)确定并画出傅里叶变换实部ReX(ej)的时间序列xa(n)；,解(1),（4）因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即,题15图,第2章 时域离散信号和系统的频域分析,按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。,题15解图,6 试求如下序列的傅里叶变换：,第2章 时域离散信号和系统的频域分析,解：(2),8 设x(n)=R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)，并分别
11、用图表示。,解：,第2章 时域离散信号和系统的频域分析,题8解图,xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。,第2章 时域离散信号和系统的频域分析,13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)，式中f0=100 Hz，以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号和时域离散信号x(n)，试完成下面各题：（1）写出的傅里叶变换表示式Xa(j)；（2）写出和x(n)的表达式；（3）分别求出的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。解:(1),上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成：,第2章 时域离散信号和系统的频域分析,（2）,（3）,式中,第
12、2章 时域离散信号和系统的频域分析,式中0=0T=0.5 rad上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数才能写出它的傅里叶变换表示式。,第2章 时域离散信号和系统的频域分析,14 求出以下序列的Z变换及收敛域:(1)2n u(n)(2)2nu(n1)(3)2n u(n)(4)(n)(5)(n1)(6)2nu(n)u(n10),解(1),(2),第2章 时域离散信号和系统的频域分析,(3),(4)ZT(n)=1 0|z|(5)ZT(n1)=z1 0|z|(6),第2章 时域离散信号和系统的频域分析,15 求以下序列的Z变换及其收敛域，并在z平面上画出极零点分布图。(1
13、)x(n)=RN(n)N=4(2)x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9,0=0.5 rad,j=0.25 rad,解(1),由z41=0，得零点为,由z3(z1)=0，得极点为 z1,2=0,1,第2章 时域离散信号和系统的频域分析,零极点图和收敛域如题15解图(a)所示，图中,z=1处的零极点相互对消。,题15解图,第2章 时域离散信号和系统的频域分析,(2),零点为,极点为,极零点分布图如题15解图(b)所示,第2章 时域离散信号和系统的频域分析,16 已知,求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。解：X(z)有两个极点：z1=0.5,z2=2，因为收敛域总是以极点为界，
14、因此收敛域有三种情况：|z|0.5，0.5|z|2，2|z|。三种收敛域对应三种不同的原序列。（1）收敛域|z|0.5：,令,第2章 时域离散信号和系统的频域分析,n0时，因为c内无极点，x(n)=0;n1时，c内有极点 0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有z1=0.5,z2=2，那么,第2章 时域离散信号和系统的频域分析,(2)收敛域0.5|z|2:,n0时，c内有极点0.5，,n0时，c内有极点 0.5、0，但 0 是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，x(n)=ResF(z),2=2 2nu(n1)最后得到,第2章 时域离散信号和系统的频域分析
15、,(3)收敛域z2:,n0时，c内有极点 0.5、2，,n0时，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0；或者这样分析，c内有极点0.5、2、0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。,最后得到,第3章 离散傅里叶变换,3 已知长度为N=10的两个有限长序列：,做图表示x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n)*x2(n)，循环卷积区间长度L=10。解:x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n)*x2(n)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。,题3解图,第3章 离散傅里叶变换,14 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为x(n)=0 n0,
16、8ny(n)=0 n0,20n对每个序列作20点DFT，即X(k)=DFTx(n)k=0,1,19Y(k)=DFTy(n)k=0,1,19试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等,为什么？,解:记fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFTF(k)=x(n)20 y(n)。fl(n)长度为27，f(n)长度为20。由教材中式（）知道f(n)与fl(n)的关系为,第3章 离散傅里叶变换,只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n)7n19,18 用微处理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F50 Hz，信号最高频率
17、为 1 kHz，试确定以下各参数：(1)最小记录时间Tp min；(2)最大取样间隔Tmax；(3)最少采样点数Nmin；(4)在频带宽度不变的情况下，使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。,第3章 离散傅里叶变换,解:（1）已知F=50 Hz，因而,（2）,（3）,（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大1倍，即为0.04 s，实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）。,第4章 快速傅里叶变换,1 如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要4 s，每次复数加需要1 s，用来计算N=1024点DFT，问直接计算需要多少时间。用FFT计算呢？照这样计算，用FFT
18、进行快速卷积对信号进行处理时，估计可实现实时处理的信号最高频率。,解:当N=1024=210时，直接计算DFT的复数乘法运算次数为N2=10241024=1 048 576次复数加法运算次数为N（N1）=10241023=1 047 552次直接计算所用计算时间TD为TD=410610242+1 047 552106=5.241 856 s用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为,第4章 快速傅里叶变换,快速卷积时，需要计算一次N点FFT（考虑到H(k)=DFTh(n)已计算好存入内存）、N次频域复数乘法和一次N点IFFT。所以，计算1024点快速卷积的计算时间Tc约为,所以，每秒钟处理
19、的采样点数（即采样速率）,第4章 快速傅里叶变换,应当说明，实际实现时，fmax还要小一些。这是由于实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率，而且在采用重叠相加法时，重叠部分要计算两次。重叠部分长度与h(n)长度有关，而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间。,第5章 时域离散系统的网络结构,1.已知系统用下面差分方程描述:,试分别画出系统的直接型、级联型和并联型结构。式中x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。,解：将原式移项得,将上式进行Z变换，得到,第5章 时域离散系统的网络结构,(1)按照系统函数H(z)，画出直接型结构如题1解图（1）所示。,题1解图（1）,(2)将H(z)的分母进行
20、因式分解：,第5章 时域离散系统的网络结构,按照上式可以有两种级联型结构:,画出级联型结构如题1解图（2）所示。,题1解图（2）,第5章 时域离散系统的网络结构图,(3)将H(z)进行部分分式展开：,第5章 时域离散系统的网络结构图,根据上式画出并联型结构如题1解图（3）所示。,题1解图（3）,第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,5 已知模拟滤波器的系统函数如下：,(1),(2),试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器。设T=2 s。解:.用脉冲响应不变法,(1),按脉冲响应不变法设计公式，Ha(s)的极点为,第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,将T=2代入上式，得,(2)
21、,第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,或通分合并两项得,用双线性变换法（1）,第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,(2),第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,8 题8图是由RC组成的模拟滤波器，写出其系统函数Ha(s)，并选用一种合适的转换方法，将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)，最后画出网络结构图。,解:模拟RC滤波网络的频率响应函数为,显然，Ha(j)具有高通特性，用脉冲响应不变法必然会产生严重的频率混叠失真。所以应选用双线性变换法。将Ha(j)中的j用s代替，可得到RC滤波网络的系统函数：,题8图,第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,用双线
22、性变换法设计公式,可得,H(z)的结构图如题8解图所示。,题8解图,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,3 设FIR滤波器的系统函数为,求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)，判断是否具有线性相位，求出其幅度特性函数和相位特性函数。解:对FIR数字滤波器，其系统函数为,所以其单位脉冲响应为,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,由h(n)的取值可知h(n)满足：h(n)=h(N1n)N=5所以，该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。频率响应函数H(ej)为,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,幅度特性函数为,相位特性函数为,5 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器，要求过渡带宽度不超过/10 ra
23、d。希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd(ej)为,（1）求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n)；（2）求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式，确定与N的关系；（3）N的取值有什么限制？为什么？,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,解:（1）直接用IFTHd(ej)计算：,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,hd(n)表达式中第2项正好是截止频率为c的理想低通滤波器的单位脉冲响应。而(n)对应于一个线性相位全通滤波器：Hdap(ej)=ej即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。（2）用N表示h(n)的长度，则,h(n)=hd(n)RN(n)=,为了满足线性相位条件：h(n)=h(N1n)要求满足,（3）N必须取奇数。因为N为偶数时（情况2），H(ej)=0，不能实现高通。根据题中对过渡带宽度的要求，N应满足：,即N40。取N=41。,
