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1、新课标十大核心概念解读,古田县教师进修学校 陈燕香,在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。,数感符号感空间观念统计观念应用意识推理能力,数感（调整）符号意识（调整）空间观念几何直观（新增）数据分析观念（调整）运算能力（新增）应用意识推理能力模型思想（新增）创新意识（新增）,首先，核心概念是全面实现课程目标的需要。核心概念提出的目的之一，就是在具体的课程内容与课程的总体目标之间建立起联系。通过把握这些核心概念，实现数学课程目标。,提出十大核
2、心概念的意义,其次，核心概念体现数学内容的本质。核心概念本质上体现了数学的基本思想，反映了数学内容的本质特征以及数学思维方式。,第三、核心概念是学生在义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养，是促进学生的重要方面。核心概念往往是一类课程内容的核心或聚集点，它有利于我们把握课程内容的线索和层次，抓住教学中的关键，并在教学内容的教学中有机地去发展学生的数学素养。,核心概念是数学教学的统领和主线。教学的进程是以数学知识技能的学习逐步展开的，而在知识技能的学习和掌握过程中，要始终把相关的核心概念蕴含其中，设计有助于学生形成相关的数学核心概念的情境和活动，使学生逐步建立和形成数学核心概念。同时，也有助于
3、学生对知识技能的理解和掌握。,理解和落实核心概念是数学教学中始终应当把握的一条主线。核心概念都是数学课程的目标点，也应成为数学课堂教学的目标。并通过教师的教学予以落实。,数学内容的四个方面都以10个核心概念中的一个或几个为统领，学生对这些核心概念的体验与把握，是对这些内容的真正理解和掌握的标志。,核心概念的分类：,1、体现在某一内容领域的核心概念。数感、符号意识、运算能力主要体现在“数与代数”领域；空间观念主要体现在“图形与几何”领域；数据分析观念主要体现在“统计与概率”领域。,2、体现在不同内容领域的核心概念。包括几何直观、推理能力和模型思想。,3、超越课程内容，整个小学数学课程都应特别注重
4、培养学生的应用意识和创新意识。,因此，在进行相应内容的教学时，教师要更多关注与哪些核心概念关系更为密切，教学中应予以更多的关注。,核心概念的具体解读,一、数感,数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。,这是基于义务教育阶段数学课程内容的范围并根据学生的实际所作出的要求，有利于教师在教学中更好地把握数感培养的几条主线。,（一）数感的内涵,将数感定义为一种感悟，这既包括了感知又包括了领悟。即有感性的认识又有理性的思维。数感的培养既需要学生经历相应的活动，在活动中感知，也需要学生在活动中进行思考，逐渐领悟
5、。,（二）对数的感悟包括三个方面,数与数量：建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系。这既包括从数量到数的抽象过程中，对于数量之间共性的感悟，也包括在实际背景中提到一个数时，能将其与现实背景中的数量联系起来，并判断其合理性。,“当人们发现一对雏鸡和两天之间存在有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了”。二十世纪英国哲学家、数学家罗素,在小学低段，学生对数的感悟是从数数学习辩认各组实物对象的多少开始建立的。随着年级的增高，学生还会经历更多的对数意义的感悟，并形成对数的各种表征方式的理解。,数量之间的关系：包括数的大小关系及其所对应的数量之间的多少关系，也包括变化的量之间的函数关系等。,运算结果的
6、估计。通过运算培养学生的估算意识和能力，以此发展学生的数感应成为了们现在课程教学的目标。对运算结果的估计涉及的因素很多：对参与运算的数与量意义及关系的理解、对运算方法的选择与判断、对运算方式角度的把握、对具体情的数量化的处理等。因此，对运算结果的估计反映的是学生对数学对象更为综合的数感。,案例：吴正宪老师的一节估算课,1.出示六次称出的所在大石头的质量（千克）：,方法一：3006=1800（小估法）方法二：4006=1800（大估法）方法三：300300300400400400=2100（大小估法）方法四：3506=2100（中估法）方法五：330 350300 380400 350=2110
7、（四下五上估）方法六：3007=2100（凑估法）,哪种方法合理？,情境1：350名同学要外出参观。有7辆车，每辆车56个座位，估一估够不够坐？,方法1：750=350 方法2：760=420 师：往大估（方法2）和往小估（方法1）哪个更好 生1：往小估都够了，按实际的56来计算就更够了。师：往大估行吗？生1：本来每辆车只有56个座位，你做成60个了，万一人来多了，有可能不够了。生2：小估好，小估保险。,情境2：一座桥限重3吨。一辆货车装了6箱货物，每箱285千克，车重986千克。这辆车可以安全过桥吗？学生大多数把285估成300，300X6=1800，不到2000；986不到1000，所以能
8、安全过桥。学生用了往大估的方法。师：这个问题怎么不往小估了？生1：300都行，285更行。生2：这时候往大估“安全”。师：到底往大估安全还是往小估安全？遇到下一个问题这么办？,（三）关于学生数感的培养,数感既然是对数的一种感悟，它就不会像知识、技能的习得那样立竿见影，它需要在教学中潜移默化，积累经验，经历一个逐步建立、发展的过程。,重视低段学生对数的感觉的建立，并在数感培养上处理好阶段性和发展性的关系。紧密结合现实生活情境和实例，培养学生的数感。让学生多经历有关数的活动过程，逐步积累数感经验。,案例分享：数感是如何丰满起来的？,数感一：数字、位值、数级 数感二：计数单位从“1”到 数感三：从精
9、确的一个“点”到近似的一条“线”数感四：从确定的数到可能的数 数感五：从数的绝对性到数的相对性,“数感”绝不是一个笼统的东西，它是鲜活的，是持续生长的，是逐渐丰满的。一个好的数学教师，其指导过程可以描述为对学生已有数感的依赖与渐次丰满的过程。,数感可以怎样培养,数出数感读出数感算出数感与估出数感用出数感-小学数学教师2012年第12期,案例：,简算，让数感的培养浸润在精心设计的每道题、每个数中,283.5你能用几种方法简算？,推荐阅读：,如何培养学生的数感（英）安吉莱瑞（Anghileri，J.）著,推荐阅读：,如何培养学生的数感（英）安吉莱瑞（Anghileri，J.）著,精彩观点分享：,数
10、感指的是一个人对数字和运算的一般理解力，以及灵活地应用这种理解力的倾向和能力，用这种方式可以做出明智的数学判断，并开发出数字和运算法则的有效策略。,仅仅教给孩子们相互独立的计算程序已经远远不够，教会他们如何找出数字之间的联系则成为数学教学的当务之急。,当教师把数学学习看作是过程和结果相互联系的逻辑结构，而不是仅仅传授标准计算程序进行教学的时候，孩子们就会知道，解题过程具有灵活性和选择性的特征。,如果教学方法的改变能让孩子们认识并掌握数字间的奥妙与联系，那么，将会涌现 出沉迷于数字世界、独立自主的新一代数学学习者和数学思想家。,二、符号意识,主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律
11、；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。,“符号感”改为“符号意识”,名词发生了改变，将“符号感”改为“符号意识”，符号是数学的一种特有语言，符号问题不应是一个感悟的问题，而应是一个意识的问题，因此，使用“符号意识”这一名词更为贴切。表述发生了明显的改变，2011年版数学课标强调了“符号意识”的核心内容主要在于“使用符号表示数、数量关系和变化规律”。2011年版数学课标补充了“符号意识”的价值，指出“建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”,符号感强调对符号的感觉、直觉和对
12、符号的敏感性，而符号意识则突出了学生主动理解和运用符号的心理倾向。,数学符号的特性,数学符号具有以下基本特性：抽象性、简洁性、一般性。,（一）对符号意识的认识,数学符号最本质的意义就在于它是数学抽象的结果。,如:在数与代数中，数来源于对数量本质（多与少）的抽象，而数字就成为能够以大小排列的符号。数的运算也是从生活实践中加以抽象，逐渐形成法则，最后发展到使用字母这一符号来表示抽象的运算。“这使得可以像对数那样对符号进行运算，并且通过符号运算得到的结果具有一般性”。,数学符号不仅是一种表示方式，更是与数学概念、命题等具体内容相关的、体现数学基本思想的核心概念，发展学生的符号意识是数学教学的重要目标
13、。,数学符号的作用主要包括：,表示数量关系（规律）表示公式、解释关系，说明规律；延伸思维过程通过实施运算和推理；借助符号，人们可以将看不见的思维过程转化为可视的符号操作过程，便于深入进行思维。解决问题用于建立数学模型的基础，推测结论。,（二）符号意识所包含的内容,能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律。两层含义：一是能够理解符号所表示的意义。二是能够运用数学符号去表示数学对象。（对数学符号不仅要懂，还要会用）,数学符号的种类可以简单地划分为：,名称符号用于表达对象，如函数；关系符号用于表达两个（多个）数学对象之间的数学关系，如垂直、相似、大于等；运算符号用于表示一种运算，如四则运算、积
14、分运算、变换等；逻辑符号表示两个命题之间的等价、推出关系等。,数学符号，如0、1、2、3等；字母符号，用来表达数量关系、计算公式等，如s=vt（路程=速度时间）、S=ah2（三角形的面积=底高2）等；关系符号，如、等；运算符号，如、等；结合符号，如（）、等；单位符号，如角的计量单位“”、长度计量单位“cm”“dm”“m”等；（7）其他特定符号，如小数点“.”、百分号“%”、分数线“”等。,数学符号的表达是多样化的：,数字、字母、图象、关系式等构成了符号系统。,知道使用符号可以进行运算和推理，得出的结论具有一般性。使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。,三、关于符号意识的培养,
15、在各学段紧密结合概念、命题、公式的教学，培养学生的符号意识。结合现实情境培养学生的符号意识。在数学问题解决中发展学生的符号意识。,首先是让学生亲近符号，接受理解符号。,其次是让学生初步感悟符号表达的优势与作用（1）数字符号。（2)运算符号（3）关系符号,数学符号的象形特征给我们一开始就让孩子领略数学符号的美妙与可爱，提供了有利条件。,“用字母表示数”,出示：老师比小华大17岁。提问：小华1岁时，老师多少岁?小华2、3、4岁时，老师多少岁?生回答：l+17、2+17、3+17、4+17 教师进一步提问：小华的年龄每年都在变化，老师的年龄也在变化，但是什么没有变化?上面的每一个式子只能表示某一年老
16、师与小华的岁数关系，能不能用一个式子简明地表示出任何一年两人的岁数关系呢?学生讨论后汇报：用+17可以表示出任何一年老师与小华的岁数关系。教师进一步引导学生体会符号的概括性：a表示什么?a+17又表示什么?,符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具。因此，使学生逐步感受和拥有使用符号的能力是数学课程的一个重要任务。,乘法分配律,用字母表示运算定律，与算式比较，一个特殊，一个一般；与文字叙述比较，一个冗长，一个简洁。更在于准确、无歧义。,还可以给出乘法分配律的几何模型：,图的直观，式的凝练。用形象来滋养抽象，用直觉来涵养思维。,符号的魅力：理科生的另类浪漫,整首诗只有三个汉字
17、、两个数学符号和一个逗号。要理解这首诗，先要复习点数学知识：“”和“)”都是定义一个数值所在区间的符号，“”表示数值可以达到，“)”表示无限接近但无法达到。,三、空间观念,（一）空间观念的含义与意义,空间观念是对一个人周围环境和实物的直接感知。全美数学教师理事会几何是对空间的把握这个空间是儿童生活、呼吸和运动的空间。在这个空间里，儿童必须学会去了解、探索、征服，从而能更好地在其中生活、呼吸和运动。弗莱登塔尔,对于学生来说，发展牢固的空间观念，掌握几何的概念和语言，可以较好地为学习数和度量概念做准备，还可以促进其他数学课程的进一步学习。空间观念是创新精神所需的基本要素，没有空间观念和空间想像力，
18、几乎难以谈到发明与创造。,（二）空间观念所包含的内容,根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体（动脑）想象出物体的方位和相互之间的位置关系（动脑）描述图形的运动和变化。（动口）依据语言的描述画出图形。（动手）,概括来说：,“抽象”。“抽象”是学生建立几何概念过程中最基本的思想方法。“想象”。只有当学生能够以头脑中形成的表象为基本元素，展开想象和推理，学生的空间观念才能真正得到发展。“描述”。借助已经形成的表象描述物体的运动和变化,这既是空间观念的重要表现形式，也是发展学生空间观念的重要途径。“画出”。依据语言描述画出图形，是思维与外部语言、操作技能协同作用的结果。,促进空
19、间观念发展的课程内容：,图形与几何中的“图形与运动”、“图形与位置”，“图形认识”中的“观察物体”、基本图形的展开图等。空间观念的培养贯穿在“几何与图形”学习的全过程中。,（三）促进空间观念发展的教学策略,现实情境和学生经验是发展空间观念的基础。利用多种途径发展学生的空间观念。提供多种素材，设计多样的活动。在学生的思考、想象过程中发展空间观念。鼓励学生将观察、操作、想像、推理、表达等相结合。,案例分享：,例1：我们可以在小学高年级安排这样的折纸活动：将一张正方形的纸对折后，再对折一次，然后用剪刀剪出一个小洞。再把纸完全展开。请画出或从下面四个图中选择它的展开图。,让学生从下面的四个图中选出正确
20、的答案：,案例2：五年级(苏教版下册)107页第7题,7下面三个正方形的边长都是3厘米，涂色部分的面积相等吗?为什么?,一位教师是这样教学的：,师：(只出示第一个图)你能求出这个阴影部分的面积吗?学生计算出阴影面积。师：你能在第一张图中的正方形里画出比这个圆更大的圆来吗?试一试。生：不能，最多画的和刚才的圆一样。因为这个圆四个地方碰到了正方形，这时候的圆是最大的。生：正方形中最大的圆是直径等于正方形的边长的圆。师：你能发挥想象，设计出在这个正方形里减去最大圆面积的图形来吗?学生在教师提供的练习纸上进行设计，有的学生一人就设计了6种不同的图形。,案例4：周长的认识（视频）,四、几何直观,主要是指
21、利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。,（一）对几何直观的认识,一是几何。在这里几何是指图形。二是直观。这里的直观不仅仅是指直接看到的东西，更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象。综合起来，几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。,几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生的对事物的性质或数量关系的直接感知与认识。,图形以其直观的形式容易为人们所接受，给人们带来无穷无尽的直觉源泉，也为研究数学和解决问题提供工具。“
22、几何直觉乃是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可能使人增加勇气、提高修养。”著名数学家阿蒂亚,弄清几何直观与以下几个概念之间联系：,几何直观与直观化。几何直观与空间观念。几何直观与数形结合。,几何直观与直观化,直观化是一个外延相对宽泛的概念，且具有多种表征形式，不仅包括直观的背景材料，如实物、图表、插图、物体模型等，还可以是现实的情景问题、学生头脑里的“数学现实”和外显化的数学模式等。,案例：“线段可以补衣服”,一位教师执教苏教版二年级上册认识线段的教学片段如下：师：把课前带来的毛线放在桌面上，说一说它是什么样的?生：毛线是弯曲的。师：你能想办法将它变直吗?(学生将毛线拉直并观察。)师：将毛
23、线拉直就成了一条线段。你们小手捏住的两端叫做线段的端点。(学生指认线段的两个端点。)师：同组的同学比一比你们手中的线段，说一说你有什么发现。,生：我的线段比他的线段长。生：我的线段是红色的，她的线段是黑色的。师：你如果是线段，你会怎样介绍自己?生：我要是被同学拉直了，就是线段。生：把我放在桌面上，我就是弯的。师：上了这节课，你知道了什么?生：我知道了线段还可以补衣服。(全班同学哈哈大笑。),物体的直观形象本身，也可能把学生的注意力吸引住一个相当长的时间，但是运用直观的手段绝不是为了整节课地抓住学生的注意不放。在课堂上引进直观手段，倒是为了在教学的某一个阶段上是儿童摆脱形象，在思维上过渡到概括性
24、的真理和规律上去。苏霍姆林斯基：给教师的建议谈谈直观性问题,空间观念与几何直观,空间观念是几何教学领域中的一个专用名词,是几何教学的一个重要目标。而几何直观却并非是限于几何领域内的一个名词,它尽管是借助了几何却跳出了几何,适用到了更宽广的领域;空间观念更多是体现为教学的结果,目标性特征比较明显,而几何直观作为一种思维的方式和能力，过程性特征更加突显。,几何直观与数形结合,“数形结合”最基本的形式为“以形助数”和“以数解形”。前者如用线段图分析数量关系；画图策略解决问题；后者如在直角坐标数中，用数对来描述图形的变化（如平移、旋转），或计算两点间的距离。“以形助数”是在发挥图所具有的直观特点，来降
25、低数的抽象度；而“以数助形”则是在利用数的精确性来准确刻画形，让形得以量化。,几何直观数形结合,几何直观,数形结合,以形助数,以数解形,利用图形描述或分析数学问题,以形助数,图形的价值：,图形帮助我们发现、描述研究问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。,(三）几何直观的教育价值,有助于强化学生的数学理解。有助于启迪学生的解题策略。有助于促进学生的数学思考。有助于增强学生的创新意识和实践能力。,几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整个数学的学习过程中都发挥着重要的作用。,几何直观与“逻辑”“推理”密不可分。几何直观常常是靠逻辑支撑的。它不仅是看到了什么？
26、而是通过看到的图形思考到了什么？想像到了什么？这是数学非常重要而有价值的思维方式。,要充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，同时也学会数学的一种思考方式和学习方式。,几何直观是具体的，不是虚无的，它与数学的内容紧密相连。义务教育阶段，许多重要的数学内容、概念都具有“数”和“形”两方面的本质特征，学会从两个方面认识数学的这些对象是非常重要的。即数形结合是认识数学的基本角度，与其说是方法，不如说这是基本要求。,案例赏析：,1.点阵中的规律（北师大版小学数学五上“尝试与猜测）,案例二：二年级的一道数学题,学生1,学生2,学生3,学生4,学生5,学生6
27、,学生7,学生8,古田一小学生作品1：,作品2：,作品3：,作品4：,作品5：,作品6：,三年级学生作品1：,列式都一样呢！？,几何直观是数学中生动的、不断增长的而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超出对几何图形本身的研究意义。相信对几何直观的研究能够成为数学教育的核心问题。秦德生、孔凡哲 关于几何直观的思考，刊中学数学教学参考2005年第10期,（二）几何直观的培养,在教学中使学生逐步养成画图习惯。学会从“数”与“形”两个角度认识数学。掌握、运用一些基本图形解决问题。,五、数据分析观念,从“统计观念”到“统计分析观念”凸显数据分析是统计的核心。,“数据分析观念”与“统计观念”,它们的
28、联系主要表现在对经历完整的统计过程，逐步培养运用统计方法分析和解决简单实际问题的重视上；区别在于，后者更加关注数据在统计活动中的基础地位、数据分析方法的特点，以及数据处理过程所蕴涵的更为一般的数学思想。,了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性,一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。,（一）对“数据分析观念”要求的分析：,数据是信息的载体，这个载体包括数，也包括言语、信号、图像，凡是能够承载事物
29、信息的东西都构成数据，而统计学就是通过这些载体来提取信息进行分析的科学和艺术。史宁中,数据分析观念更加突出了统计与概率的思维方法：体会数据中蕴涵着信息，根据问题的背景选择合适的方法，通过数据分析体验随机性。,统计研究的基础是数据，统计就是通过数据来进行分析和推断的。数据分析的方法可以是多样的，不同方法没有对错之分，只有好坏之分。统计体现了一种不同于确定性数学的思维方式，这种思维方式有助于培养学生的归纳能力和创新意识。,（二）统计分析观念的教学建议。,对统计的基本过程要有整体的认识。对统计的核心内容要有一个明确的认识。要准确把握统计分析观念形成的目标。,案例对比赏析：平均数,案例1.1.下面图中
30、的虚线表示第四小组投球平均每人投中的个数，想一想，你认为哪幅图表示的是正确的？,2.出示一位运动员体操决赛中的得分情况。,你知道计分员是如何确定他的最后得分吗？为什么要用这几个得分的平均数来代表他的最后得分？为什么要去掉一个最高分和一个最低分？你先估计一下这个运动员的平均得分，再算一算比一比。,3.出示光明小学教师的平均年龄是40岁,平均年龄40岁你怎么理解？如果想让这个学校教师的平均年龄降下来，你有什么办法吗？,4.情境辨别,小明班同学的平均身高是135厘米，所以他的身高一定是135厘米。小明班同学的平均身高是135厘米，小强班同学的平均身高是132厘米，所以小明要比小强高。一个泳池的平均水
31、深是120厘米，小林身高125厘米，他在这里游泳不会有危险。,案例2：平均数,第一层次，出示以下两条信息：我国淡水资源总量为28000亿立方米，仅次于巴西、俄罗斯和加拿大，居世界第四位；我国人均水资源只有2300立方米，在世界名列121位，是全球人均水资源最贫乏的国家之一。,第二层次、出示儿童乘车免票线“长个”了的标题。,市发改委与相关部门研究决定，将北京市六岁以下儿童节1.1米乘车免票线提高到了1.2米 思考：为什么要提高？怎么去确定这个标准？调查谁？如果数据有高的、有矮的，如何处理？,据统计，目前我市六岁男童身高的平均身高为119.3厘米，女童身高平均值为118.7厘米。和你们想的一样，市
32、发改委就是参照了我市六岁儿童的平均身高，才确定了免票线的高度。看来平均数的作用真不小，连确定免票线的高度都可能参照它。,第3层次、你们能利用平均数帮我判断一件事吗？,出示：据统计，周一至周五晚高峰时，平均每小时需要通过1号桥的车辆为1756辆，需要通过2号桥的车辆965辆（两个桥的宽度等条件差不多）。王老师回家两条路都可以走，并且路差不多。你们觉得我走哪好？那我走那一定快吗？为什么？,9,8,7,6,3,2,1,0,5,4,小刚,小伟,小明,男生套圈成绩统计图,案例3、平均数的引入,10,9,8,7,6,3,2,1,0,5,4,小芳,小红,小丽,女生套圈成绩统计图,10,9,8,7,6,3,2
33、,1,0,5,4,10,9,8,7,6,3,2,1,0,5,4,小刚,小伟,小明,小芳,小红,小丽,女生套圈成绩统计图,男生套圈成绩统计图,小刚,小伟,小明,男生套圈成绩统计图,女生套圈成绩统计图,10,9,8,7,6,3,2,1,0,5,4,小芳,小红,小丽,小华,男生套圈成绩统计图,女生套圈成绩统计图,男生套的准一些还是女生套的准一些？,理解平均数的三个角度：,算法理解概念理解统计理解,从两道期末试题说起：,5.下面是小红记录的自己上周在学校每天参加体育锻炼的时间。（1）星期（）锻炼时间最长，星期（）锻炼时间最短。（2）小红平均每天参加体育锻炼的时间是多少？（3）锻炼时间少于平均数的有哪几
34、天？,6.一辆汽车某天行驶的时间和路程情况如下图。（1）这辆汽车下午行驶多少千米？（2）中午从 时到 时停车休息；（3）上午平均每小时行驶多少千米？,六、运算能力,主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。,运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的各个数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力去学习和掌握关于各种运算的知识及技能。,（一）对运算能力的认识,根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过计算得出确定结果的过程，称为运算。能够按照一定的程序与步骤进行运算称为
35、运算技能；不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径，称为运算能力。,运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，设计运算程序，使运算符合算理，合理简洁。因此，运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。,运算能力是数学思考的重要内涵,总目标的四个方面之一数学思考中这样表达：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维和抽象思维。”,（二）运算能力的特征,运算的正确、灵活、合理和简洁是运算能力的主
36、要特征。,首先要保证运算的正确。在适度训练、逐步熟悉的基础上，清楚地意识到实施运算的算理。,要充分重视估算。估算是重要的运算技能，进行估算需要掌握一定的方法，积累一定的经验，需要避免出现过大的误差。估算又是运算能力的特征之一，进行估算需要经过符合逻辑的思考，需要有一定的依据，需要使估算的结果尽量接近实际情境，能对实际问题作出合理的解释。,运算能力发展的“三性”,运算能力应该贯穿师生共同参与数学教学活动的全过程，并体现发展的适度性、层次性和阶段性。,（三）运算能力的培养与发展,由具体到抽象。同法则到算理。由常量到变量。由单向思维到逆向、多向思维。,案例赏析：两位数乘两位数,算用结合算估结合以理驭
37、算,江苏省电化教育馆制作,我家订一份牛奶,一份牛奶(每天一瓶)全月28元,订一份牛奶2个月要花多少钱？,我家订一份牛奶,订一份牛奶一年要花多少钱？,（一个月）,12个月,一份牛奶(每天一瓶)全月28元,江苏省电化教育馆制作,2812=(),2810=280，2812要比280多，可能是300多。,估一估：,2812=(),3012=360,2812大约是360。,估一估：,你能想办法帮他算出精确的结果吗？,我家订一份牛奶,订一份牛奶一年要花多少钱？,28元,（一个月）,28元,12个月,28元,28元,28元,28元,28元,28元,28元,28元,28元,28元,一份牛奶(每天一瓶)全月28
38、元,2812=(),2812,2810,282,6,5,8,2,6,3,3,1,2,280+56,=336,2,8,1228=,1,2,调换28和12的位置相乘，结果会怎样？,6,9,4,2,6,3,3,336,对号入座,（把相乘的结果放在正确的位置）,2,对号入座,（把相乘的结果放在正确的位置）,9,2,3,2,4,4,1,6,2,7,2,1,3,大显身手,是谁的靴子？,对算用结合的三点思考,以用引算以用促算算用并重,案例一：二年级“千以内的进位加法”,师问：根据这些数学信息，你们可以提出哪些用加法计算的问题？生1：一年级和二年级一共借书多少本？生2：一年级和三年级一共借书多少本？生3：一年
39、级和六年级一共借书多少本？师：你们能会列式解答吗？,这里的“以用引算”，最后的落脚点在于“算”，“用”仅仅是一个“引子”，由于呈现的问题所涉及的数量关系比较简单，因此有利于学生在列出算式后把注意力迅速集中到计算方法的探究上来。,案例2：三年级下册“两位数乘两位数”,教材精心设计数学问题情境的呈现方式，适当暗示计算思路，以激活学生的思维，并通过自主的活动实现对新算法的“再创造”，使学生在获得新算法的同时，基本的数学能力、创新意识都得到相应的发展。,案例3：四年级下册含有“中括号”的混合运算,四则混合运算的教学，将计算与解决应用问题相结合，让学生在解决问题的过程中分析数量关系，并在计算过程中不断地
40、与解决问题的目标相对照，把计算作为解决问题的工具，使数量关系成为解释运算顺序的依据，形成运算与解决问题的联动关系，这样解决问题以运算为基础，运算以解决问题为目标。,案例赏析：心算暖身，让孩子们爱上计算,雷夫：好，孩子们，每个人心里想着7乘以4（孩子们默默地想着28）加倍（56）减50（6）给我看答案,还可以把其他主题加到心算游戏里,雷夫：从美国的州数开始（50）加上一打（他们现在想着62）减去最高法院的法官人数（孩子们减去9得到53）加上半个月的周数（有两周，现在孩子们得到55）除以11，然后给我看答案。,雷夫：从一加仑有几品脱开始（8）加上棒球赛的局数（17）乘以厘米之于毫米的倍数（170）
41、减去美国参议员总人数（70）减去半打（64）给我看平方根 摘自第56号教室的奇迹第65页,应试技巧,教师在黑板上出一道题目:63+28=有四个选项：A B C D 雷夫：好，同学们，假装这是斯坦福九号测验的题目。我们都知道，斯坦福九号测验会决定你们未来的快乐、成功，还有你们在银行里有多少钱（孩子们咯咯地笑了）。谁知道答案？,全班：91雷夫：很好。我们把91放在选项c.有谁告我选项A会是什么？伊索：35雷夫：太棒了！为什么是35呢？伊索？伊索：好让把加法弄错成减法的学生选。雷夫：完全正确。谁来给选项B设计一个错的答案？凯文：81.给忘记进位的学生选。雷夫：又说对了。班上有没有很聪呢的侦探会给选项
42、D设计答案？保罗：811可以吗？给乱加一通又忘记进位的学生选（全班大笑）,在第56号教室里，孩子们知道选择题是精心设计的结果，在正确答案以外的其他选项很少是随便填写的。设计考题的人都是预测学生会在哪里犯错的专家。学生喜欢扮演侦探，“找出”以及“回避”潜在陷阱的过程让他们乐在其中。,算理怎么考？,对于三年级一道选择题的分析,试题链接：（三年下册期末试卷）,2 3257，用57十位上的5乘32，得（）160 150 1600,七、推理能力,推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。,“双基”还缺什么？“双基”都是知识，没有教智慧，没有教从条件预测结果的能力，也没有教从结果探
43、究成因的能力。这种能力靠的是什么？靠的是归纳推理。（史宁中）数学是很讲“道理”的学科！,“推理能力”的内涵变化不大，但是两种表述完全不同，它们的侧重点不同，实验版数学课标侧重从“推理能力”外显行为的角度进行阐述，强调“猜想验证”的能力、“有条理进行表达”的能力以及“合乎逻辑进行讨论与质疑”的能力等三个方面。而2011年版数学课标侧重从“推理”的内涵、外延以及外延的相互关系等角度进行详细阐述，强调推理能力发展的长期性和持续性。,“推理能力”的的理解：,推理能力的特性。推理能力是数学学习的重要内容，推理能力的发展具有长期性和持续性，应该贯穿在整个数学学习的过程中，长期、持续地加以培养。推理的内涵。
44、推理是数学的基本思维方式，是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理的外延。推理一般包括合情推理和演绎推理，这两种推理在思维的起点、过程和结果上有着明显的差异。,（二）新课程标准中的推理能力,推理能力在数学中属于数学思考能力中的一种。课标在数学思考的目标表述中指出“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等活动中，发展合情推理和演绎推理能力。”,合情推理与演绎推理。,合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。,首先，思维的起点不完全相同。
45、合情推理的思维起点是“已有的事实”，这里的“事实”不仅可以是生活实际中的“事实”情况，而且还可以是数学中的“事实”知识（包括定义、公理、定理等）；而逻辑推理的思维起点是“已有的事实”和“确定的规则”，这里的“事实”主要是指数学中的“事实”知识（包括定义、公理、定理等），这里的“规则”主要是指确定的运算规则（包括运算的定义、法则、顺序等）。,其次，思维的过程不同。合情推理的思维过程主要凭借“经验”和“直觉”，通过“归纳”“类比”“统计”等推断结果；而演绎推理的思维过程主要是按照逻辑推理的“法则”证明结论和计算结果。,最后，思维的结果不同。合情推理的思维结果，可能是正确的，也可能是不正确的；而演绎
46、推理的思维结果一定是正确的。第四，推理外延的关系。,合情推理和演绎推理功能不同，相辅相成，合情推理用于探索思路，发现结论，演绎推理用于证明结论，也就是合情推理常常用于发现真理，而演绎推理常常用于证明真理，它们相辅相成，共同构筑一个完善的数学体系，二者缺一不可。在数学学科发展过程中，这两种思维都起到十分重要的作用。,（三）关于学生推理能力的培养,推理能力的发展应贯穿在整个数学的学习过程中。（1）贯穿于整个数学课程的各个学习内容。（2）贯穿于数学家课堂教学教学的各种活动过程。（3）贯穿于整个数学学习的环节。,通过多样化的活动，培养学生的推理能力。使学生多经历“猜想-证明”的问题探索过程。,一道上海
47、幼升小的数学题,1236=12569=23333=04589=38888=84455=06666=46089=5,2867=？,“寓理于算”的思想,例1：正方形的面积是5平方分米,求这个正方形的内切圆的面积。,例2：一个正方形中有一个画阴影的长方形，求阴影部分的长方形周长。,“数形结合”VS“寓理于算”,例3,例4：用3 6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。,“长与宽越接近，长方形的面积越大”,“两个因数的差越小，积越大”,“寓理于算”的推理题,1.如果从900减去下面选项中的一个数，结果大于300，那么这个数是（）A.823 B.712 C.667 D.5792.小吉想
48、用他的计算器算1379加上243，他不小心输入了1279+243，下列哪种做法可以弥补他的错误A加100 B加1 C减去1 D减去1003.Lia正在练习加法和减法问题。Lia用什么数加上142得到369？4.37=702 那么376=？,5Mano做家庭作业减法题，但是在上面洒了饮料，其中一个数字他无法看出来。他的答案是415是正确的。那么丢失的数字是多少？,6.数字游戏，得20。,有10张写有数字的卡片，下面是这个游戏的规则每个人抽出3张卡片每个人用这3张数字卡片摆出一个加法算式，使得它的和最接近20例如，这是一个人抽出了1，4，5所得到的式子：他就应该出示得数是19的式子，因为它最接近2
49、0。,把计算转化为推理。引导学生认识计算和推理的关系,从计算发展到推理,是很重要的。这里有很值得研究的问题。（张景中）随着学生数感的增加，学生应该能够用数进行推理。（全美数学教师理事会）,从过去典型的、大量的、标准计算程序的“演算和练习”转变到应用数学上来，让孩子们用数学的方法进行交流，并培养他们的数学推理能力。如何培养学生的数感,八、模型思想,（一）对数学建模的认识,所谓数学模型，就是根据特定的研究目的采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程及各种图表、图形等都是数
50、学模型。,实际情景,实际问题,数学问题（模型）,数学结果,检验数学结果,实际结果,观察、加工、整理,分析抽象，作数学化处理,求解数学问题,结合实际,（5）数学结果合乎实际,数学结果不合乎实际，修正、改进、重建数学模型。,审题,列式,解答,检验,模型思想是此次新增的核心概念。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。,（二）模型思想的含义及要求,模
