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1、第十三章 早期量子论和量子力学基础,13-5 德布罗意波 微观粒子的波粒二象性13-6 不确定关系13-7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程13-8 一维定态薛定谔方程的应用13-9 量子力学中的氢原子问题13-10 电子的自旋 原子的电子壳层结构,一、德布罗意波,自然界在许多方面都是明显对称的，既然光具有波粒二象性，那么实物粒子，如电子，是否也应具有波粒二象性？,1924 年法国青年物理学家德布罗意,在光的波粒二象性的启发下提出了此问题,他认为：19世纪物理学家对光的研究只重视了光的波动性而忽视了光的微粒性,而在实物粒子(即中子，质子，电子，原子,分子等)的研究上可能发生了相反的情况，即过分重
2、视了实物粒子的微粒性，而没有考虑其波动性。因此他提出实物粒子也具有波动特性的观点。,1、实物粒子具有波粒二象性,实物粒子的能量 E 和动量 p 与它相应的波动频率 和波长的关系与光子一样,这种和实物粒子相联系的波通常称为德布罗意波,或叫物质波。,具有静止质量m0的实物粒子以速度v 运动，则和该粒子相联系的平面单色波的波长为：,德布罗意公式,2、电子的德布罗意波波长的数量级,设电子的运动速度 vc，即不考虑相对论效应,则,时,又设电子由热阴极逸出时,加速电势差为 U,于是电子的德布罗意波长为,这说明德布罗意波的波长一般很短,因而在普通的实验条件下难以观察出其波动性。,例如，当时，104时，0.1
3、2,将e1.61019C，m09.1 1031kg，h6.632 1034JS代入,例1（1）估算：m=5g，v=300m/s 的子弹的波长。,子弹对应的波长太小，波动性无法表现出来！,（2）电子质量 m0=9.110-31kg，Ek=100 eV 的电子的物质波波长：,波动是所有物质的客观属性。对宏观物体，其物质波的波长太小，显示不出波动性。它只能在微观粒子的运动中表现出来。(h是很小的量),德布罗意把物质波假设用于氢原子认为：如果电子在经典的圆轨道上运动，它对应于一个环形驻波，满足,玻尔轨道角动量量子化条件,德布罗意用物质波的概念成功地解释了玻尔提出的轨道量子化条件。,二、德布罗意波的实验
4、验证,1、戴维孙革末的电子衍射实验,德布罗意波是1924年提出的，1927年便得到了验证。戴维孙革末看到电子的德布罗意波波长与 X 射线的波长相近，因此想到可用与 X 射线衍射相同的方法验证。,电流出现了周期性变化,实验结果的解释,戴维孙和革末在实验中，保持d和不变，则波长满足布拉格公式时：,如果电子束确有波动，则入射到晶体上的电子,当其满足布拉格公式时，,按德布罗意假设，电子加速后的波长满足,当 U 逐渐变化时（即波长逐渐变化时），其平方根值等于一个常数 C 的整数倍时，接收器测到的电子数量应出现峰值，结果理论和实验符合很好。,应在反射方向上观察到最强电流,例如，对d=0.91的镍片,使60
5、0，当加速电压U=54V时,电流有第一级极大,布拉格公式,算得,2、电子多晶薄膜的衍射实验（G.P.汤姆孙实验）,德布罗意公式,算得,在此之后，人们陆续用实验证实了原子，分子，中子，质子也具有波动性。,实物粒子波动性的一个重要应用就是电子显微镜，其分辨本领比普通光学仪器要高几千倍，如我国制造的电子显微镜，其放大率高达万倍,其分辨本领达 1.44,可分辨到单个原子的尺度，为研究分子结构提供了有力武器。,量子围栏,镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表面的扫描隧道显微镜照片。48 个 Fe 原子形成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波。,3.电子双缝干涉实验,约恩孙(C.Jonsson),1961年,
6、德国的鲁斯卡（E.Ruska）等人研制成功第一台电子显微镜。,分辨率：10 nm,微观粒子波动性的应用,鲁斯卡：电子物理领域的基础研究工作，设计出世界上第一台电子显微镜，1986年诺贝尔物理学奖。,1933年,三、微观粒子的波粒二象性,少女？,老妇？,两种图象不会同时出现在你的视觉中。,例2 试估算热中子的得布罗意波长(中子的质量mn=1.6710-27)。,热中子是指在室温下(T=300K)与周围处于热平衡的中子，平均动能：,方均根速率：,德布罗意波长：,解：,第一级最大的条件是：,按德布罗意公式：,解：,例3 电子在铝箔上散射时,第一级最大(k=1)的偏转角 为，铝的晶格常数 a 为 4.
7、0510-10m，求电子速度。,四、德布罗意波的统计解释,机械波是机械振动在介质中的传播，电磁波是变化的电磁场在空间的传播,那么实物粒子波是什么形式呢?,1926 年,玻恩提出了物质波是一种概率波的观点。,爱因斯坦已从统计学的观点指出：光强的地方，光子到达的概率大；光弱的地方，光子到达的概率小。,玻恩有同样的观点，认为微观粒子也一样对个别粒子在何处出现，有一定的偶然性；对大量粒子在空间何处出现的空间分布服从一定的统计规律。,按照经典物理的观点，粒子是分立的，集中在一定的范围内，而波是连续的，是弥漫在整个空间的。二者如何统一起来呢?,物质波是一种既不同于机械波,又不同于电磁波的一种概率波。,物质
8、波的这种统计性解释把粒子的波动性和粒子性正确地联系起来了，成为量子力学的基本观点之一。,用电子双缝衍射实验说明概率波的含义：,(1)强电子束入射,单位时间内许多电子通过双缝，底片上很快出现衍射图样。,这是许多电子在同一个实验中的统计结果。,1961年琼森（Claus Jnsson）将一束电子加速到50Kev，让其通过一缝宽为a=0.510-6m，间隔为d=2.010-6m的双缝,当电子撞击荧光屏时,发现了类似的双缝衍射图样。,(2)弱电子束入射,底片上出现一个一个的点子显示出电子具有粒子性。开始时底片上的点子无规分布，随着电子增多，逐渐形成衍射图样，衍射图样来源于“一个电子”具有的波动性。,一
9、个电子重复许多次相同实验表现出的统计结果。,电子几乎是一个一个地通过双缝，衍射图样不是电子相互作用的结果。,实验说明电子的干涉图样是大量电子的一种统计运动的结果。对于单个电子，在某一时刻，它到底是通过哪一个缝,过缝后落在屏上哪一点是随机的，无规律的；对于大量电子(或一个电子的多次行为)来说，它们到达光屏上的位置则是遵从某种统计规律的。,(3)概率波的干涉结果。,练习1 已知某电子的德布罗意波长和光子的波长相同。（1）它们的动量大小是否相同？为什么？（2）它们的（总）能量是否相同？为什么？,答(1)电子和光子的动量大小相同因为对两者都成立，而相同，故 p 相同。,(2)电子和光子的能量不相等。,
10、由（1）知，电子和光子的动量相等,即,E1 E m1 m,E1E,=c v,m1v=mc,电子的能量 E1 m1c2 光子的能量 E mc2,练习2 为使电子的德布罗意波长为1，需要的加速电压为多少V。,解:,练习3能量为 15 eV的光子，被处于基态的氢原子吸收，使氢原子电离发射一个光电子，求此光电子的德布罗意波长。,解：远离核的光电子动能为（非相对论效应）,光电子的德布罗意波长为,第十三章 早期量子论和量子力学基础,13-5 德布罗意波 微观粒子的波粒二象性13-6 不确定关系13-7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程13-8 一维定态薛定谔方程的应用13-9 量子力学中的氢原子问题13-1
11、0 电子的自旋 原子的电子壳层结构,对于宏观粒子来说,我们可以用某个时刻粒子确定的坐标、速度、能量等来描述它在这个时刻的运动状态（自然也就导致了轨道的出现）。,由于德布罗意波的存在，使我们不得不接受一个经典概念无法理解的原理，即海森伯的不确定原理，这是一个普遍原理。,微观粒子具有波粒二象性，如果我们也把经典力学表征宏观粒子运动状态的位置和动量的概念应用于微观粒子时，那么粒子的波动性就会不可避免地要对这种观念加以某种“限制”。,理论和实验都证明：波动性使微观粒子的坐标和动量（或时间和能量）不能同时取确定值。,动量的不确定量：,坐标的不确定量：,按照经典波动理论，约束在空间某区域内的波不可能是单色
12、的不可能具有唯一的波长。,这一结论对物质波同样正确：被束缚在某区域的粒子不可能具有确定的动量，即粒子的坐标和动量不能同时取确定值。,由于微观粒子的波粒二象性，粒子的位置是不确定的。,位置和动量的不确定量存在一个关系 不确定关系。,海森伯（W.Heisenberg）位置 动量不确定关系,我们来研究光子在单缝处的位置和动量的不确定程度,光子在单缝的何处通过是不确定的!只知是在宽为a的缝中通过。,光子沿y轴方向通过狭缝后散布在一衍射角为 2 的范围内,衍射角、缝宽 x(a)和入射波波长间满足衍射反比关系,狭缝处的光子在 x 方向坐标不确定范围：,考虑中央极大,K=1,x 方向动量的不确定范围：,又由
13、,即，如果对光子的坐标测量得越精确(x 越小)，动量Px 不确定性就越大；反之亦然。,再考虑其它衍射条纹,海森堡（1926）严格的理论给出光子坐标与动量的不 确定关系为,海森伯获1932年诺贝尔物理学奖。,1.不确定性与测量没有关系，是微观粒子波粒二象性的体现。,3.当(即L)时，可作为经典粒子处理。,2.对于微观粒子，不能同时用确定的位置和动量来描述。因此，微观粒子：(1)没有“轨道”，(2)不可能静止（对任何惯性系）。,说 明,4.能量和时间的不确定关系：,称为原子激发态的能级宽度,为原子处于该激发态的平均寿命,枪口直径可以当作子弹射出枪口时位置的不确定量：,和子弹飞行速度每秒几百米相比，
14、这速度的不确定性是微不足道的，所以子弹的运动速度是确定的。,例1 设子弹的质量为0.01kg枪口的直径为0.5cm。试求子弹射出枪口时的横向速度的不确定量。,解：,例2 电视显象管中电子的加速度电压为10kV，电子枪的枪口的直径为0.01cm。试求电子射出电子枪后的横向速度的不确定量。,电子横向位置的不确定量,所以电子运动速度相对来说仍然是相当确定的，波动性不起什么实际影响。,解：,例3 氢原子中的电子的轨道运动速度为106m/s，求电子速度的不确定度。,可见波动性十分明显，原子中电子在任一时刻没有完全确定的位置和速度，也没有确定的轨道，不能看成经典粒子。,解：,原子中电子位置的不确定量：,例4 设电子的动能=10ev，试说明在原子中电子的运动不存在轨道。,速度的不确定程度,速度的不确定程度与速度本身数值属同一数量级，故轨道概念 不适用。,解：因能量很低，故属非相对论效应，所以速度为,式中 x=0.5310m,由测不准关系，,
