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1、1,2.3 最小方差无偏估计,2,一、最小方差无偏估计,由定义2.4知，最小方差无偏估计（MVUE）是在无偏估计类中，使均方误差达到最小的估计量，即在均方误差最小意义下的最优估计。它是在应用中，人们希望寻求的一种估计量。,3,4,5,6,7,定理2.7给出了最小方差无偏估计的一种判别方法，但由上例可见，该判别法使用并不方便，而且还只是一个充分条件。为了寻求更好的方法，需要借助充分统计量甚至充分完备统计量的概念。,8,定理2.8的说明：如果无偏估计不是充分统计量的函数，则将之对充分统计量求条件期望可以得到一个新的无偏估计，该估计的方差比原来的估计的方差要小，从而降低了无偏估计的方差。换言之，考虑
2、 的估计问题只需要在基于充分统计量的函数中进行即可，该说法对所有的统计推断问题都是正确的，这便是所谓的充分性原则。,9,10,11,12,13,14,15,16,17,2.要直接验证某个估计量是最小方差无偏估计量是困难的.若能求出无偏估计中方差的下界,而且又能说明参数 的一切无偏估计中存在某个估计 的方差能达到这个下界，那么 就是 的最小方差无偏估计.下面给出一个判别准则：,1.最小方差无偏估计提供了一种优良的估计，然而一个更深入的问题是：无偏估计的方差是否可以任意小？如果不可以，那么它的下界是多少？这个下界等否达到？,定理2.10(Cramer-Rao不等式)设X1,X2,Xn是从密度函数为
3、 的总体抽取的样本,是 的一个无偏估计,若集合 与 无关;对 积分与微分可交换且 存在，即(3),则有,其中,常称,为Fisher信息量.特别当,有,常用的另一个表达式,常称为C-R不等式.,费希尔信息量是数理统计学中一个基本概念，很多的统计结果都与费希尔信息量有关。如极大似然估计的渐近方差，无偏估计的方差的下界等都与费希尔信息量I()有关。I()的种种性质显示，“I()越大”可被解释为总体分布中包含未知参数 的信息越多。,例2.22 设总体服从泊松分布，X1,X2,Xn 是来自总体的一个样本，试求参数 的无偏估计的下界？,解:(1)写出密度函数(2)求密度函数对数、再求导(3)计算fishe
4、r信息量(4)代入C-R不等式求方差下界,1.写出密度函数，求对数,2.计算fiser信息量,3.代入C-R不等式求方差下界,例2.23 设 X1,X2,Xn 是取自总体 X 的一个样本,求 的无偏估计的方差下界.解:(1)写出密度函数(2)求密度函数对数、再求导(3)计算(4)代入C-R不等式求方差下界 最后寻找无偏估计中满足方差下界的估计量.,1.写出密度函数,2.求密度函数对数,3.计算fiser信息量,4.代入C-R不等式求方差下界,2.求密度函数对数的导数,3.计算fiser信息量,4.代入C-R不等式求方差下界,5.计算最小方差无偏估计的方差,26,2、有效估计,1)定义2.8 P57,例2.24 设 X1,X2,Xn 是取自总体 XB(N,p)的一个样本，验证 是参数P的有效估计量.,1.写出概率函数,再求对数,2.计算fiser信息量,3.代入C-R不等式求方差下界,4.计算无偏估计的方差,5.计算效率,可能不是无偏估计,
