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1、弹性力学中的五个基本假定。关于材料性质的假定及其在建立弹力理论中的作用：（1）连续性 假定物体是连续的。各物理量可用连续函数表示。（2）完全弹性 假定物体是,a.完全弹性外力取消,变形恢复,无残余变形。b.线性弹性应力与应变成正比。即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。（3）均匀性 假定物体由同种材料组成。E、等与位置 无关（4）各向同性 假定物体各向同性。E、等与方向无关。符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体。,（5）小变形假定 假定位移和形变为很小。a.位移物体尺寸,例：梁的挠度v梁高h.a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。b.简化几何方
2、程：在几何方程中，由于 可略去 等项,使几何方程成为线性方程。,弹性力学中几个基本概念,外力其他物体对研究对象（弹性体）的作用力 体力作用于物体体积内的力。如重力、惯性力和电磁力。以单位体积内所受的力来量度，面力作用于物体表面上的力。如流体压力和接触力。以单位面积所受的力来量度 集中力如牵引力 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。,正负号规定：、沿坐标正向为正，负向为负。,量纲（因次）：,fy,fz,P,f,fx,矢量 方向沿 的极限方向,、沿坐标轴正向为正、负向为负,量纲：,P,方向沿 极限方向,正负号规定：,内力假想切开物体，截面两边互相作用的力（合力和合力矩，称为内力。,应力截面上某一点
3、处，单位截面面积上的内力值。正应力是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着X轴方向作用的。剪应力是作用在垂直于X轴的面上而沿着y轴方向作用的。应力成对出现，坐标面上的应力以正面正向，负面负向为正。(如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。),P,m,n,矢量 方向沿 的极限方向,量纲：,沿截面切向和法向分解为 和,应力分量的空间方位，注意每个分量的作用面与作用方向！,剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪
4、应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。,应力分量一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。,六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：,位移、应变、刚体位移,弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：1、给出各点的位移；2、给出各微元体的变形 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。这三个投影称为位移分量。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负.一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标
5、的函数。,微元体的变形可以分为两类：1、长度的变化，2、角度的变化。任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正应变)，用符号 来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用 来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变，用符号 来表示。两坐标轴之间的角应变，则加上相应的角码，分别用 来表示。规定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应(正的 引起正的，等等)。,描述变形体的基本方程,已知量：物体的形状和大小、材料性质、体力、边界上的面力或约束
6、。待求量：应力、形变和位移。,弹性力学的研究方法,解法：,根据微分体上力的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上应变位移的几何条件，建立几何方程；根据应力应变间的物理条件，建立物理方程,在弹性体边界上：根据面力条件，建立应力边界条件；根据约束条件，建立位移边界条件。,在弹性体内部：,弹性力学基本方程,考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体力平衡，注意应力从一个面到对面是变化的，即有增量，将作用于微元体各个方向的力求和，略去高阶项，可得平衡方程（受力状态的描述）：,平衡微分方程的推导过程,二、几何方程空间独立的应变分量,正应变分量：,切应变分量：,应变分量列阵：,如何计算正应变和切应变？
7、,正应变,切应变,如何描述位移分量？,几何方程,几何方程描述应变分量与位移分量之间的关系！,如何推导几何方程？,几何坐标：,几何位移：,因此，正应变,切应变,采用同样的思路，分析微单元体在xoz与yoz上的投影及之后的几何变形，可获得其他三个分量（1个正应变分量和2个切应变分量)。,几何方程,应变分量,三、物理方程对均匀、连续、各向同性的弹性材料，存在虎克定律,未知数 位移3个+应力6个+应变6个=15方程个数 平衡方程3个+几何方程6个+物理方程6个=15原则上15个方程可以求解15个未知量，但实际上先求出一部分，再通过方程求剩下的。,四、边界条件,4.1 位移边界条件给出边界面上所有点的位
8、移,给定边界上位移,4.2 应力边界条件,给出边界面abc上表面力!,目前有限元法采用位移法，以三个位移分量为基本未知量。位移产生变形，变形产生应变，应变产生应力，应力于外力平衡。,协调的含义：不重叠、不开裂！,图a示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程：图b表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图：综合可得：即：式是以功的形式表述的。表明：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。,五、虚功原理,进一步分析。当杠杆处于平衡状态时，和 这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足上式的关系。将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分
9、析和计算结构。,对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图a中的 和 所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的，不存在位移)，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。,必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可以任
10、意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约束力叫做被动力。(如上图中的反力，由于支点C没有位移，故 所作的虚功等于零)。反之，如上图中的 和 是在位移过程中作功的力，称为主动力。因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。,虚功原理表述如下：在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的虚刚体位移时，体系上的主动力在虚位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。虚功原理用公式表示
11、为：这就是虚功方程，其中P和 相应的代表力和虚位移。,虚功方程是按刚体的情况得出的，即假设上图的杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程中没有内功项出现，而只有外功项。将虚功原理用于弹性变形时，总虚功 要包括外力虚功 和内力虚功 两部分，即：内力功前面有一负号，由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值 根据虚功原理，总功等于零得：外力虚功=内力虚功 弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。,虚功原理-用于
12、弹性体的情况,虚位移：满足物体内变形连续条件，边界上位移约束条件的任何可能的无限小位移。虚功：真实外力在虚位移上所做的功。虚应变：对可变形的弹性体，虚位移也必将导致虚应变，虚应变和虚位移之间满足弹性体几何方程。虚功原理：外力作用下处于平衡状态的弹性体，外力在虚位移上做的总虚功等于弹性体内真实应力在虚应变上做的总虚变形功。,刚体虚位移原理：对刚体而言，如果它处于平衡状态，则其上作用力在虚位移上做的总虚功等于零。刚体：刚体受力后，仅发生刚体位移，无变形和应变发生。如何导出弹性体虚功原理？外力虚功；作用在弹性体上的外力在虚位移上做的功体积力 表面力,外力虚功=体积力虚功+表面力虚功,内力虚功即应力在
13、虚应变上做的虚功，也称虚应变能。,正应力虚功,切应力虚功,外力虚功=总变形虚功,弹性力学平面问题基础,任何实际变形体的力学问题都是空间问题（三维问题），所受的外力一般都是空间力系。,在某些特殊情况下，比如物体具有特殊形状，受特殊的外力，特殊的位移约束时，空间问题就可以简化成平面问题。此时，问题的几何和力学量仅仅是二维坐标的函数。所求未知力学量只是二维空间内的分量。,这种平面问题模型下，所得到的结果能满足工程上的精度要求，而分析计算工作量大大减少。,大量的固体力学问题都可以简化为平面问题。,平面问题包括：平面应力问题和平面应变问题。,一、平面应力问题,平面应力问题的基本特征：,平面应力问题模型,
14、1）几何特征,2）受力特征,薄板的两个侧面上无载荷作用；,边缘上受到平行于板面且沿板厚均匀分布的面力作用；,体力平行于板面且不沿板厚变化（x,y的函数）。,物体在一个方向（z)的尺寸远远小于其它两个方向（x,y)的尺寸。几何为均匀薄板。,以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于薄板两表面没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三个应力分量，即，所以称为平面应力问题。,应力分量：,x,y的函数,应变分量：,x,y的函数,位移分量：,（非独立）,由基本
15、特征推出：,二、平面应变问题,平面应变问题的例子,平面应变问题的基本特征：,1）几何特征,一个方向（z)尺寸远远大于其它两个方向（x,y)的尺寸,呈现为无限长等截面柱体。,2）受力特征,外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿纵向不变化。,平面应变问题的应力、应变、位移分量,（非独立）,应变分量：,x,y的函数,x,y的函数,应力分量：,位移分量：,平面应变问题的例子,由基本特征推出：,三、平面问题基本方程和边界条件,平面应力和平面应变问题都归结为求解平面内的3个应力分量、3个应变分量、2个位移分量。,要求解这些未知力学量，需要通过研究弹性体的平衡、几何、物理关系得到足够的方程。,一）平面问题
16、几何方程应变位移关系,算子矩阵,几何方程对于平面应力和平面应变问题相同,物理方程中后两式可见，这时的剪应变：由第三式可见：一般，并不一定等于零，但可由 及 求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑三个应变分量即可，于是应变矩阵,二）平面问题的物理方程应力应变关系,转化成应力分量用应变分量表示的形式：,用矩阵方程表示：,平面应力弹性矩阵，对称方阵。,平面应变问题弹性矩阵按如下办法得到。,因此，对于平面问题的推导和编程，只按平面应力问题处理。,将平面应力弹性矩阵中的弹性常数作如下变换：,通过研究微分单元体平衡，得到下列平衡微分方程：,三）平面问题的平衡方程,四）平面问题边界条件,平面弹性体的边界分为位移边界 和应力边界,通过前面的基本方程求解弹性力学问题时，必须考虑上述边界上位移的协调和力的平衡。,边界条件描述如下：,在 上,2）应力边界条件,1）位移边界条件,
